2021-2022学年广东省广州市荔湾区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省广州市荔湾区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 直线上有三个点，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列方差最大的一组数据是(    )

A. ，，，， B. ，，，，
C. ，，，， D. ，，，，

6. 如图，在中，，，点，分别是直角边，的中点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B. 或 C.  D.

8. 关于函数，下列结论正确的是(    )

A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、二、三象限
C. 当时， D. 随的增大而增大

9. 如果直角三角形斜边上的中线和高分别是和，那么它的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点是菱形对角线上任一点，点是上任一点，连接，当，时，的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若，则______．
12. 在直线坐标系中，点到原点的距离是______．
13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
14. 已知一组数据、、、、的平均数为，则 ______ ．
15. 如果将直线向右平移个单位，那么所得直线与坐标轴所围成的三角形面积等于______．
16. 已知：如图，正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点点，不与线段，的端点重合且，连接，，在点，运动的过程中，有下列四个说法：是等腰直角三角形；面积的最小值是；至少存在一个，使得的周长是；四边形的面积是其中正确的是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 解方程：．
18. 如图，在菱形中，，相交于点，过，两点分别作，的平行线，相交于点，求证：四边形是矩形．

19. 计算：
    ；
    ．
20. 如图，过点的两条直线，分别交轴于点，，其中点在原点上方，点在原点下方，已知．
    求点的坐标；
    若的面积是，求直线的解析式．

21. 已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．

22. 某乡镇企业生产部有技术工人人，生产部为了合理计划产品的月生产定额，统计这人某月加工零件个数如下：

写出人该月加工零件个数的平均数、中位数和众数；
假设生产部负责人把每位工人的月加工零件个数定为，你认为是否合理？为什么？若不合理，请你设定一个较为合理的定额，并说明理由．

23. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
    若每件商品降价元，则平均每天盈利多少元？
    当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为元？
24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴交于点．
    线段的长度______；
    求直线所对应的函数表达式；
    若点在线段上，在线段上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

25. 如图，为等边三角形，四边形为正方形，，点以每秒个单位的速度从点沿向点运动，同时点以同样的速度从点沿向点运动，当点达到点时，，同时停止运动，设点的运动时间为．
    当时，求的度数；
    ，求线段的长；
    当点，在运动时，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据二次根式的性质得，则，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式的性质：也考查了绝对值的意义．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
．
故选：．
根据方程的系数结合两根之和等于，即可求出．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
随增大而增大，
，
，
故选：．
由解析式可得随增大而增大，根据三个点的横坐标大小可判断函数值的大小关系．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：、这组数据的平均数为，
方差为；
B、这组数据的平均数为，
方差为；
C、这组数据的平均数为，
方差为；
D、这组数据的平均数为，
方差为；
故选：．
先计算出各组数据的平均数，再根据方差公式计算出各方差即可得出答案．
本题主要考查方差，熟练掌握方差的计算方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是含角的直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
由“度角所对的直角边等于斜边的一半”求得，然后根据三角形中位线定理求得．
【解答】
解：在中，，，
．
又点、分别是，的中点，
是的中位线，
．  

7.【答案】 

【解析】解：把代入得：
，
，
解得：，，
是一元二次方程，
，
，
，
故选：．
首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值．
此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于．
 

8.【答案】 

【解析】解：、当时，，故图象不经过点，故此选项错误；
B、，经过第一、二、四象限，故此选项错误；
C、由与轴交点为，当时，，故此选项正确；
D、随的增大而减小，故此选项错误；
故选：．
根据凡是函数图象经过的点比能使解析式左右相等，故A错误；根据、的值进行分析可得B错误；根据解析式求出与轴交点，由图象易得结论；根据一次函数的性质可得D错误．
此题主要考查了一次函数的性质，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
 

9.【答案】 

【解析】解：直角三角形斜边上的中线是，
斜边长，
直角三角形斜边上的高是，
直角三角形的面积，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线先求出斜边长，再利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
点与点关于对称，
过作交于，
则此时，的值最小，
的最小值，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：．
过作交于，则此时，的值最小，的最小值，根据已知条件得到是等腰直角三角形，于是得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

12.【答案】 

【解析】解：点到原点的距离是，
故答案为：．
根据点的坐标和勾股定理，可以计算出点到原点的距离．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
即的取值范围为．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意知，平均数，
所以．
故答案为：．
只要运用求平均数公式计算即可求出，为简单题．
本题考查了平均数的概念．熟记公式是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：直线向右平移个单位得直线的解析式为，即．
则与坐标轴的交点为和，
所以平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为：
．
故答案为：．
根据函数图象向右平移减，可得函数解析式，根据三角形的面积公式，可得答案．
本题考查了一次函数图象与几何变换，平移的规律“左加右减，上加下减”．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，，相交于点，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，正确．
当时，最小，此时，
，错误．
，
，
设长为，则，
，
，
，
，
至少存在一个，使得的周长是正确．
≌，
四边形的面积等于三角形的面积，即，正确．
故答案为：．
通过证明≌可判断，当时可得面积的最小值，从而判断，由可得的值为，即由长度取值范围可判断，由≌可得四边形的面积等于三角形的面积，从而判断．
本题考查正方形的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质，掌握解直角三角形的方法．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
或，
解得：，． 

【解析】移项后把方程的坐标分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据乘法分配律和完全平方公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
 

20.【答案】解：点，；
又；
；
点的坐标为；
的面积为，
，
，即．
，
，
，
设的解析式为，
则，
解得，
解析式为． 

【解析】先根据勾股定理求得的长，再写出点的坐标；
先根据的面积为，求得的长，再根据点、的坐标，运用待定系数法求得直线的解析式．
本题主要考查了两条直线的交点问题，解题的关键是掌握勾股定理以及待定系数法．注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，反之也成立．
 

21.【答案】解：连结，
在中，
，，，
，
，
在中，
，，，
，
是直角三角形，
 
四边形的面积． 

【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，分别求出和的面积，即可得出答案．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出和的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

22.【答案】解：平均数是：个，
将表中的数据按照从大到小的顺序排列，可得出第名工人的加工零件数为个，则中位数个；
因为出现了次，出现的次数最多，所以众数是个；

不合理，如果定为个，只有人能完成，大多数的都完不成，不利于调动职工的积极性． 

【解析】利用平均数、中位数、众数的求法分别计算即可，
从调动职工的积极性上做出判断．
考查平均数、中位数、众数的意义及求法，明确平均数、中位数、众数的意义是解决问题的前提，掌握计算方法是关键．
 

23.【答案】解：根据销售单价每降低元，平均每天可多售出件，可得若降价元，
则平均每天可多售出件，即平均每天销售数量件，
利润为：．
设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为元，
由题意得：，
整理得：，
，
，，
每件盈利不少于元，
应舍去．
答：每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为元． 

【解析】根据销售单价每降低元，平均每天可多售出件，可得若降价元，则平均每天可多售出件，即平均每天销售数量为件；
利用商品平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：由题意，得：点的坐标为，，，
，
故答案为：．
设，则，，
，即，
，
，
点的坐标为．
设直线所对应的函数表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线所对应的函数表达式为；
存在，理由：过点作轴于点，如图所示．

，

，
，
在中，，
点的坐标为
设点的坐标为，
四边形为平行四边形，，，点的纵坐标为，
，解得：，
点的坐标为
存在，点的坐标为
由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长；
设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式；
过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标，设点的坐标为，由平行四边形的性质结合点，，的纵坐标，可求出的值，再将其代入点的坐标中即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：通过解直角三角形，求出点的坐标；利用面积法及勾股定理，求出点的坐标．
 

25.【答案】解：如图中，当时，

都是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
；

如图中，连接，，设交于点，交于点，过点作于点．

，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
点是，的交点，
，，
，
，
，
，，
，
；

如图中，过点作于点，交于点．

，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
时，的值最小，最小值为． 

【解析】证明是顶角为的等腰三角形即可；
如图中，连接，，设交于点，交于点，过点作于点当，证明点是正方形的中心，求出，，可得结论；
如图中，过点作于点，交于点利用勾股定理，非负数的性质求出最小值即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．