2021-2022学年广东省广州市增城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省广州市增城区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 二次根式有意义，那么(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一次函数的图象不经过的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 甲、乙两位学生各进行次一分钟跳绳训练，经统计两人的平均成绩相同，方差分别为，，则成绩更为稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙
C. 甲、乙成绩一样稳定 D. 无法确定

4. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 已知点，都在直线上，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法比较

6. 已知菱形中，，，边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，平分，为中点，连接，则(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，矩形的对角线的垂直平分线分别交、、于点、、，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，已知：函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. ______．
12. 数据，，，，，的中位数是______．
13. 设一次函数，若当时，；当时，，则的取值范围是______．
14. 如图，在平行四边形中，平分，交边于点，，，则的长为______．

15. 如图，在中，，，，点在边上，，，垂足分别为点、，连接，则线段的最小值等于______．

16. 如图，已知边长为的正三角形，两顶点，分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点在第一象限，连接，则长的最大值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 如图，已知、别是平行四边形的边、上的两点，且，求证：≌．

19. 如图所示，有一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积．
    
     

20. 直线交轴于点，交轴于点，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．
    求点坐标；
    求直线对应的函数解析式．
21. 年月日，教育部发布关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，明确了学生睡眠时间要求，其中，初中生每天睡眠时间应达到小时．某校为了了解初中学生每天的睡眠时间是否达到要求，随机调查了该校的部分初中学生每天的睡眠时间，根据调查结果绘制出如图不完整的统计图．
    
    请根据相关信息，解答下列问题：
    补全条形统计图；
    若该校有名初中学生，睡眠时间小于小时的学生要参加相关科普讲座，请你估计该校有多少初中学生要参加科普讲座？
22. 如图，，平分，且交于点．
    作的平分线交于点尺规作图，保留痕迹，不写作法；
    根据中作图，连接，求证：四边形是菱形．

23. 为了抗击新冠疫情，全国人民众志成城，守望相助．某地一水果购销商安排辆汽车装运，，这种水果共吨进行销售，所得利润全部捐给国家抗疫．已知辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种水果．每种水果所用车辆均不少于辆．汽车对不同水果的运载量和销售每吨水果获利情况如下表所示：

设装运种水果的车辆数为辆，装运种水果的车辆数为辆，求与之间的函数关系式；
若原有获利不变的情况下，当地政府按每每元的标准实行运费补贴．该经销商打算将获利连同补贴全部捐出．问：哪种车辆安排方案可以使这次捐款数元最多？捐款数最多是多少元？

24. 如图所示，菱形的顶点，在轴上，点在点的左侧，点在轴的正半轴上．点的坐标为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，按照的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为秒．
    求菱形的面积；
    当时，问线段上是否存在点，使得最小，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；
    点至的距离为时，直接写出点的运动时间的值．
     

25. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．
    直接写出点、的坐标；
    点是直线图象上一点，设的面积为，请求出关于的函数关系式；并探究当点运动到什么位置时求出点坐标即可，的面积为，并说明理由；
    线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：一次函数，，，
该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：甲、乙两位学生的平均成绩相同，，，
，
成绩较为稳定的是乙．
故选：．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故是直角三角形，不符合题意；
B、，故是直角三角形，不符合题意；
C、，故是直角三角形，不符合题意；
D、，故不是直角三角形，符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小．
又点，都在直线上，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设与交于点，

四边形是菱形，
，且，．
在中利用勾股定理可得．
．
菱形的面积为．
设变上的高为，则，即，．
故选：．
先求出对角长，利用菱形的两个面积对角线乘积的一半和底乘以高求解边上的高．
本题主要考查了菱形的性质，解题的技巧是利用面积法求高．
 

7.【答案】 

【解析】解：，平分，
，
，
是的中位线，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，
是的垂直平分线，
，
设，则
在中，
．
解得：，
，
故选：．
根据矩形的性质，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数和的图象交于点，
则根据图象可得不等式的解集是，
故选：．
根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，则：，，，
，，都是非负数，
，，，
．

，
，
随的增大而减小．
当时，最小，
当时，最大．
的最大值与最小值之和为：．
故选：．
先消元，将用一个字母表示，再求最值．
本题考查方程组的解，消元之后转化为一次函数是求解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和法则．
 

12.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、、，
这组数据的中位数为，
故答案为：．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数，若当时，；当时，，
，
解得：，
故答案为：．
根据题意确定有关的不等式组，从而确定的取值范围．
考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据题意列出有关的不等式组，难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
，
，
解得，
．
故答案为：．
连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接、，
正三角形的边长为，
，，
在中，，
当、、三点共线时最长，最大值为．
故答案为：．
取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质求出的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得，判定当、、三点共线时最长，然后求解即可．
本题考查的是等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线，判定出、、三点共线时最长是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


． 

【解析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
≌． 

【解析】根据平行四边形的性质可知，，结合已知，可用证明≌．
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定，在解决平行四边形的问题时，一般转化为三角形问题解决，平行四边形的性质为三角形的全等提供的边或角的等量关系．
 

19.【答案】解：如图，连接．
在中，米，米，，
米，
又，
是直角三角形，
这块地的面积的面积的面积平方米． 

【解析】连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，那么的面积减去的面积就是所求的面积．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键，同时考查了直角三角形的面积公式．
 

20.【答案】解：把代入，
得，
解得，
，
点与点关于轴对称，
；

当时，，
，
点与点关于轴对称，
，
设直线的表达式为，
根据题意得．
解得，，
直线的表达式为． 

【解析】首先根据要求令求出点坐标，再根据点与点关于轴对称可求出点坐标；
令可得点坐标，再根据点与点关于轴对称求出点坐标，然后根据点与点坐标利用待定系数法求出直线对应的函数解析式．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
 

21.【答案】解：根据题意，
调查的总人数为人，
则睡眠时间为的人数为人，
补全统计图如图：
；
根据题意可得，
人．
答：估计该校有名初中学生要参加科普讲座． 

【解析】根据条形统计图和扇形统计图可知，睡眠时间为人数为人，占调查总人数的，即可算出调查总人数，根据条形统计图即可算出睡眠时间为的人数，补全条形统计图；
根据用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，熟练掌握条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，射线为所求；

证明：，
，
平分，
．
，
，
同理可证，
．
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形． 

【解析】利用基本作图作的平分线；
利用角平分线和平行线的性质证明，则，同理可证，所以，于是可判断四边形是平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作已知角的角平分线也考查了菱形的性质．
 

23.【答案】解：设装运种水果的车辆数为辆，装运种水果车辆数为辆，则装种水果的车辆是辆，
则，
即，
则；
根据题意得：
，
解得：．
，
，
根据一次函数的性质，当时，有最大值，是元．
应采用、、三种的车辆数分别是：辆、辆、辆．捐款数最多是元． 

【解析】等量关系为：车辆数之和，由此可得出与的关系式；
关系式为：装运每种水果的车辆数；总利润为：装运种水果的车辆数装运种水果的车辆数装运种水果的车辆数运费补贴，然后按的取值来判定．
本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定的范围是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：，，
，，
四边形为菱形，
．
菱形的面积；

存在，如图所示：

在菱形中，点关于的对称点为，，
连接交于点，连接，
．
四边形为菱形，
．
，
，
，
在中，
，
，
．
的最小值为；

如图所示：当点在上时，过点作，垂足为．

，，，
，，
由菱形的性质可知：，
，，，
．
．
当点在上时，如图所示：

由菱形的性质可知：，
，，，
．
．
．
如图所示：当点在上时．

由菱形的性质可知：，
，，，
．
．
．
如图所示；点在上时．

由菱形的性质可知：，
，，，
．
．
．
综上所述，当或或或时，点到的距离是． 

【解析】根据菱形的面积底高求解即可；
如图所示：在菱形中，点关于的对称点为，，连接交于点，连接，则求出，从而得到的最小值；
分为当点在上，点在上、点在上、点在上四种情况求解即可．例如当点在上时，可过点作，由含直角三角形的性质求得的长，从而求得的值．
本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、含直角三角形的性质、轴对称的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：在中，令，则，
，
在中，令，则，
，
点是直线图象上一点，
，
；
当时，，
解得或，
或；
存在点，使为等腰三角形，理由如下：
设，
，，，
当时，，
解得舍或，
；
当时，，
解得舍或，
；
当时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或 

【解析】在，中，分别令，即可求点、的坐标；
由，可求；再令，即可求点的坐标；
设，则，，，分三种情况讨论：当时，；当时，；当时，
本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．