广东省广州市天河区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（试卷+解析）

2020-2021学年广东省广州市天河区

八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．

【详解】由题意得，，

解得，，

故选：C．

【点睛】本题考查是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

2. 下列选项中，属于最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【详解】解：A、，是最简二次根式，符合题意；

B、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；

C、能化简，不是最简二次根式，不符合题意；

D、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；

故选A．

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．

3. 一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9．这5个数据的众数是（    ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，进行求解即可．

【详解】解：∵6，7，9，8，9这5个数中9出现了两次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数为9，

故选D．

【点睛】本题主要考查了众数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握众数的定义．

4. 在中，，分别是，的中点，若，，则的长为（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由于DE分别是AB、AC的中点，根据中位线性质可知中位线是底边长度的一半．

【详解】∵DE分别是AB、AC的中点

∴DE为△ABC的中位线

∴DE= ==5

故选B

【点睛】本题考查中位线的判定和性质，掌握这两点是解体的关键．

5. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ACB为等腰直角三角形即可得到∠ABC的度数．

【详解】解：连接AC，

由勾股定理得：AC=BC=，AB=，
∵AC2+BC2=AB2=10，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故选B．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，由勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形．

6. 甲、乙、丙三人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数均是8.9环，方差分别是，，，则成绩最稳定的是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定

【6题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲、乙、丙的方差可作出判断．

【详解】解：由于 ，

∴成绩较稳定的是丙．
故选C．

【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

7. 小明向东走后，沿方向又走了，再沿方向走了回到原地，则方向是（    ）

A. 南向或北向 B. 东向或西向 C. 南向 D. 北向

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】设小明一开始的位置为O，向东走到的位置为C，沿A方向走到的位置为D，由题意得OC=80m，CD=60m，OD=100m，然后利用勾股定理的逆定理得到∠OCD=90°即可求解．

【详解】解：设小明一开始的位置为O，向东走到的位置为C，沿A方向走到的位置为D，

∴由题意得OC=80m，CD=60m，OD=100m，

∴，

∴∠OCD=90°，

∵OC的方向为东，

∴CD的方向为南或北，即A的方向为南或北，

故选A．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

8. 若函数的图象如图所示，则函数的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据一次函数的图象的性质确定的符号，进而解答即可．

【详解】解：由函数的图象可得：，

所以函数的大致图象经过第一、二、四象限，

故选：D．

【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，关键是根据一次函数的图象的性质确定的符号．

9. 如图，将边长分别是4，8的矩形纸片折叠，使点与点重合，则的长是（    ）

A. 2 B. 3 C.  D. 4

【9题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由折叠的性质可得出AF＝CF，设BF＝m，则AF＝8−m，在Rt△ABF中，利用勾股定理可得出关于m的方程，解之即可得出结论．

【详解】解：由折叠的性质可知：AF＝CF．

设BF＝m，则AF＝CF＝8−m，

在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝4，BF＝m，AF＝8−m，

∴ ，即 ，

∴m＝3．

故选：B．

【点睛】本题考查了翻转变换、矩形的性质以及勾股定理，在Rt△ABF中，利用勾股定理找出m（AF的长）的方程是解题的关键．

10. 已知矩形的对角线为1，面积为，则矩形的周长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】设矩形的长、宽分别为a、b，根据矩形的性质和面积、周长公式计算即可．

【详解】解：设矩形长、宽分别为a、b，
∵矩形的对角线为1，面积为m，
∴，，
∴，
∴矩形的周长为，
故选：C．

【点睛】本题考查矩形的性质，关键是用和表示出．

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11. 在中，，则______．

【11题答案】

【答案】50°

【解析】

【分析】利用平行四边形的对角相等，进而求出即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C=50°．

故答案为：50°．

【点睛】考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．

12. 若，，则．的逆命题为______（填“真”或“假”）命题．

【12题答案】

【答案】假

【解析】

【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题，进行求解即可．

【详解】解：若，，则的逆命题为：若，则，，这是一个假命题，

故答案为：假．

【点睛】本题主要考查了判定命题的真假和命题的逆命题，解题的关键在于能够熟练掌握逆命题的定义．

13. 如图，在中，，，，则______．

【13题答案】

【答案】8

【解析】

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．

【详解】解：∵∠ABC=90°，AD=DC，BD=4，

∴AC=2BD=8．

故答案为：8．

【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

14. 如图，已知直线与直线相交于点，若，则的取值范围为______．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据函数图像，写出直线的图像在直线的下方所对应的自变量的范围即可．

【详解】由题意知，直线与直线相交于点，

当时，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

15. 一组数据4，2，，6，3的平均数是4，则这组数据的中位数是______．

【15题答案】

【答案】4

【解析】

【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据中位数的定义求出这组数的中位数即可．

【详解】解：利用平均数的计算公式，得（4+2+x+6+3）=4×5，

解得x=5，

这组数据为2，3，4，5，6，中位数为4．

故答案为：4．

【点睛】本题考查了中位数、平均数，将数据从小到大依次排列是解题关键．

16. 观察3个式子：，，．猜想第四个式子得：_____；依此类推，按照每个等式反映的规律，第个二次根式的计算结果是______．

【16题答案】

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用题中的等式可得第四个式子的结果为，第n个二次根式的结果为，然后进行分式的加减运算即可．

【详解】解：∵；

；

；

∴第四个式子为；

第n个二次根式为．

故答案为；．

【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，列代数式．找出结果与序号之间的关系是解题的关键．

三、解答题（本大题有8小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）

17. 计算：．

【17题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据实数的计算规则与顺序按步骤计算即可，注意结果能开出来的要开出来．

【详解】

解：原式

故答案为

【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握运算定律和顺序是解题关键．

18. 在中，，，，求的长．

【18题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由30°角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可求解．

【详解】解：∵，

∴

在中，

解得．

【点睛】本题主要考查含30° 角的直角三角形的性质，勾股定理，由含30度角的直角三角形的性质得是解题的关键．

19. 如图，在中，点，分别在，上，且．

求证：四边形是平行四边形．

【19题答案】

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据一组对边平行且相等判断四边形DEBF是平行四边形即可．

【详解】解：∵四边形是平行四边形，

∴，．

又，

∴．

即．

∴四边形是平行四边形．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定定理进行求解．

20. 某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如表所示．

（1）这个公司平均每人所创年利润是多少？

（2）公司规定，个人所创年利润由高到低前40%的人可以获奖．试判断部门的员工能否获奖，并说明理由．

【20题答案】

【答案】（1）5.4万元；（2）不能，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用加权平均数，即可求解；

（2）算出能获奖的人数，然后个人所创年利润由高到低进行排列，进而即可求解．

【详解】解：（1）公司平均每人所创年利润=（万元）

答：这个公司平均每人所创年利润是5．4万元；

（2）部门员工不能获奖，理由如下：获奖人数为：（人）

个人所创年利润由高到低分别为部门3人，部门2人，部门1人，共6人，所以部门不能获奖．

【点睛】本题主要考查加权平均数以及统计表，准确找出表格中的相关数据是解题的关键．

21. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．

（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB为邻余线，E，F在格点上．

【21题答案】

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC，则可得∠DAB与∠DBA互余，即∠FAB与∠EBA互余，从而可得答案；
（2）根据邻余四边形的概念画出图形即可．

【详解】（1）证明：∵AB＝AC  AD是△ABC的中线    

∴AD⊥BC

∴∠ADB＝90°                                   

∴∠FAB+∠B＝90°  

∴四边形ABEF是邻余四边形    

（2）如图所示，即为所求．

点睛】

本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．

22. 、两家物流公司为了吸引顾客，推出不同的优惠方案，其中公司原运费是5元/千克，现按8折计费．公司原运费是6元/千克，优惠方案为：10千克以内不优惠，超过10千克部分按5折计费．

（1）以（单位：千克）表示商品重量，（单位：元）表示运费，分别就两家公司的优惠方案写出关于的函数解析式；

（2）在同一直角坐标系中画出（1）中两个函数的大致图象．

【22题答案】

【答案】（1）A公司：（），B公司：；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据两个公式的优惠政策进行求解即可得到答案；

（2）根据（1）求得的结果，在坐标系中描点连线画出函数图像即可

【详解】解：（1）A公司：（），

B公司：

（2）如图所示，即为所求．

【点睛】本题主要考查了画一次函数图像，求函数关系式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

23. 如图，直线与直线相交于点，且与轴相交于点．

（1）求和值；

（2）求的边上的高．

【23题答案】

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】（1）先把A点坐标代入直线求出A点的坐标，然后代入到求解即可；

（2）过点作于点，然后求出B点的坐标，即可得到AB的长，设的边上的高为，根据求解即可．

【详解】解：（1）把点代入得：，

∴

把点代入得，

∴；

（2）把代入得

令，得

∴，．

过点作于点，

∵

∴，，

在中，

设的边上的高为，

∴

，

解得，

∴△AOB的边AB上的高为．

【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，两直线的交点问题，三角形的高，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

24. 已知在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．

（1）求、的坐标；

（2）平移线段，使得点、的对应点，分别落在直线：和直线：上，求，的坐标；

（3）试证明直线恒平分四边形的面积，其中．

【24题答案】

【答案】（1），；（2），；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）与x相交时，y=0；与y轴相交时，x=0；据此解出第一问；

（2）设其中一个变化后的点的坐标为未知数，再根据平移的数量关系和一次函数等量关系建立等式，解出未知数从而求出M、N坐标．

（3）根据直线的解析式，求出直线恒过的点的坐标，再证明这个坐标就是平行四边形对角线的交点，从而证明该直线横平分平行四边形面积．

【详解】解：（1）在直线中，

令得，，∴

令，∴，∴

（2）点在直线上，可设，

又线段是由线段平移得到，由移动到点，

则相应移动到点

把代入直线，

得

解得

∴，

另解：设移动到点，则相应移动到点，

分别代入直线解析式中，得方程组

解得，∴，

（3）∵

当时，

∴直线过定点

∵线段平移得到线段

∴四边形是平行四边形

∵，

的对角线的交点为，即

∴直线恒平分四边形的面积，其中．

【点睛】本题考查平面直角坐标系中的平移问题，一次函数的表达式，平行四边形的性质，掌握基础知识是解题关键．