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高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 抛体运动的规律课文课件ppt
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 抛体运动的规律课文课件ppt，共44页。PPT课件主要包含了刷基础，刷易错，刷提升，刷素养，第4节综合训练，刷能力，匀速直线，自由落体等内容，欢迎下载使用。
1．[陕西西安长安一中2020高一下月考](多选)如图所示，将一小球从空中A点以水平速度v0抛出，经过一段时间后，小球以大小为2v0的速度经过B点，不计空气阻力，则小球从A到B(重力加速度为g)( )A．下落高度为 B．经过的时间为3v0/gC．速度变化量为v0，方向竖直向下 D．运动方向改变的角度为60°
课时1 平抛运动的基本规律 一般抛体运动
小球经过B点时竖直分速度 ；由vy＝gt得 ，根据h＝gt2/2得， ，A正确，B错误；速度变化量为 ，方向竖直向下，C错误；小球经过B点时速度与水平方向夹角的正切值 ，α＝60°，即运动方向改变的角度为60°，D正确．
解答本题的关键是要知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，运用平行四边形定则研究分运动的速度，要知道分运动具有等时性．
2．如图所示，一架在2 000 m高空中以200 m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别炸山脚和山顶的目标A和B.已知山高为720 m，山脚与山顶的水平距离为1 000 m，若不计空气阻力，g取10 m/s2，则投弹的时间间隔应为( )A．4 s B．5 s C．9 s D．16 s
第一颗炸弹的飞行时间 20 s，轰炸机投第一颗炸弹时离山脚的水平距离x1＝vt1＝4 000 m．第二颗炸弹的飞行时间 ，飞行的水平距离x2＝vt2＝3 200 m，则投弹的时间间隔t＝ ，故选C.
3．[浙江省2020学业水平考试模拟]乒乓球是青少年比较喜爱的一项体育活动，如图甲所示．相同的乒乓球1，2恰好在等高处水平越过球网，不计乒乓球的旋转和空气阻力，若把乒乓球看成一个质点，乒乓球自最高点到落台的过程简化成如图乙所示模型，下列说法正确的是( )A．过网时球1的速度大小小于球2的速度大小B．球1的飞行时间大于球2的飞行时间C．球1的速度变化率等于球2的速度变化率D．落台时，球1的速率等于球2的速率
由题图乙知，两球下落的高度相同，根据h＝gt2/2知，h相同，则两球的飞行时间相等，B错误；平抛运动在水平方向是匀速直线运动，球1的水平位移大，根据x＝v0t知，球1过网时的速度大小大于球2过网时的速度大小，A错误；两球的速度的变化率即加速度大小，均为重力加速度，C正确；在竖直方向上，由vy2＝2gh知，两球落台时的竖直分速度大小相等，根据速度的合成，则 ，故落台时球1的速率大于球2的速率，D错误．
4.[四川双流中学2019高一下月考节选]某同学采用频闪摄影的方法拍摄到如图所示的“小球做平抛运动”的照片．图中每个小方格的边长为L＝10 cm，则由图可求得拍摄时每________s曝光一次，该小球做平抛运动的初速度大小为________ m/s，经过b点时速度大小为________ m/s.(g取10 m/s2)
平抛运动可分解为竖直方向的自由落体运动与水平方向的匀速直线运动；在竖直方向，由Δh＝gt2可得 ，小球平抛的初速度为v0＝2L/t＝ 2 m/s；小球经过b点时，在竖直方向上有 ，小球经过b点时的速度大小为
5.如图是某同学根据实验画出的小球的平抛运动轨迹，O为平抛的起点，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，在轨迹上任取三点A、B、C，测得A、B两点的纵坐标分别为y1＝5.0 cm、y2＝45.0 cm，A、B两点水平间距Δx为60.0 cm.则平抛小球的初速度v0等于________ m/s，若C点的纵坐标y3＝80.0 cm，则小球在C点的速度vC等于________ m/s.(结果均保留两位有效数字，g取10 m/s2)
6．[安徽师范大学附属中学2020高一下期中](多选)如图所示，水平地面上不同位置的三个物体沿三条不同的路径抛出，最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的，若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )A．沿路径1抛出的物体落地的速率最大 B．沿路径3抛出的物体在空中运动的时间最长C．三个物体抛出时初速度的竖直分量相等 D．三个物体抛出时初速度的水平分量相等
三个物体上升的最大高度相同，则三个物体的运动时间相同，B错误；由对称性知，物体上升时间与下落时间相同，由vy＝gt知，三个物体抛出的初速度的竖直分量相等，C正确；由题图知，沿路径1抛出的物体水平位移最大，由x＝vxt知，沿路径1抛出的物体初速度的水平分量最大，D错误；物体落地时的速率v＝ ，则沿路径1抛出的物体落地的速率最大，A正确．
斜上抛运动的对称性：(1)轨迹对称：轨迹关于过最高点的竖直线对称；(2)速度对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点的速度大小相等；(3)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的两段过程，上升时间等于下降时间．
7．[河南开封五校2020高一下期中]如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，已知重力加速度为g.则( )A．物块由P点变加速运动到Q点B．物块由P点以加速度a＝gcs θ匀加速运动到Q点C．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝D．物块的初速度
对物块进行受力分析可知，物块受到恒定的合外力，故物块做匀变速运动，根据牛顿第二定律得，物块的加速度为 ，故A、B错误；根据l＝at2/2，有 ，故C错误；根据b＝v0t，有 ，故D正确．
8．如图所示，水平房顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离l＝3 m，墙外马路宽d＝10 m．欲使小球从房顶水平飞出落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0应满足的条件．(墙的厚度不计，g取10 m/s2)
5 m/s≤v0≤13 m/s
如图甲所示，设球刚好触墙而过时小球离开房顶的速度为v1，则小球自房顶飞出后做平抛运动到达墙头时，水平位移大小为l，竖直位移大小为(H－h)，则y＝H－h＝(5－3.2) m＝1.8 m，由y＝gt12/2得小球自飞出后运动到墙头所用的时间为由l＝v1t1得小球离开房顶时的速度为设小球飞出后恰好落在墙外的马路边缘时离开房顶的速度为v2，如图乙所示，此过程水平位移大小为(l＋d)，竖直位移大小为H，则小球在空中的飞行时间t2满足H＝gt22/2，则由l＋d＝v2t2得即小球恰好落在马路边缘时从房顶飞出的速度大小为13 m/s.综上分析知，欲使小球离开房顶后能落在马路上，则小球离开房顶时的速度v0应满足v1≤v0≤v2，即5 m/s≤v0≤13 m/s.
小球要落在马路上，落地点不能在马路的外侧，即水平位移大小要小于等于l＋d，竖直位移大小为H，代入计算得初速度的最大值；同时还得满足小球能从墙顶水平飞出，水平位移大小为l，竖直位移大小为(H－h)，代入计算得初速度的最小值．对有障碍物的平抛运动，要分析清楚障碍物对水平及竖直位移的影响，再代入公式进行计算，不能把题目中的数据盲目地代入公式．
1．[山东青岛二中2020高一下期中](多选)如图所示，a、b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为P，则以下说法正确的是( )A．a、b两球同时落地B．b球先落地C．a、b两球在P点相遇D．无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇
做平抛运动时，运动的时间取决于小球下落的高度，从题图中可知a球下落的高度大于b球，根据 可知，a球下落的时间长，故b球先落地，A错误，B正确；由于a、b两球距离P点的高度不同，所以到达P点的时间不同，故不能在P点相遇，同理可知两球总不能相遇，C错误，D正确．
2．[四川遂宁二中2020高一下月考](多选)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达一竖直墙面时，速度与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( )A．小球水平抛出时的初速度大小为gt·tan θB．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ/2C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变短D．若小球初速度增大，则tan θ减小
小球到达竖直墙面时沿竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为vy＝gt，v0＝vytan θ＝gt·tan θ，所以小球水平抛出时的初速度为gt·tan θ，A项正确；设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，则 B项错误；由于小球到墙的水平距离一定，初速度增大，运动的时间变短，C项正确；若小球初速度增大，由抛出点到墙的时间变短，由tan θ＝v0/gt可知，tan θ增大，D项错误．故选A、C.
平抛运动的推论一：利用速度与水平方向的夹角θ满足tan θ＝vy/v0＝gt/v0，位移与水平方向的夹角α满足tan α＝y/x＝gt/2v0，则tan θ＝2tan α，注意不是θ＝2α.
3．如图所示，在同一竖直面内的三个不同位置A、B、C分别以水平向右抛出三个小球，其中AC在同一竖直线上，BC在同一水平线上．要使三球同时落到地面上的D点，不计空气阻力，则必须满足( )A．先同时抛出A、C两处小球，且vAvB>vCC．后同时抛出A、C两处小球，且vA>vC>vB D．后同时抛出B、C两处小球，且vA
解答本题的关键是知道平抛运动的时间由高度决定，水平位移由初速度和时间共同决定．
4．[福建师大附中2020高一下期中]如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线( )A．交于OA上的同一点B．交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点C．交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点D．因为小球的初速度和OA距离未知，所以无法确定
设小球到达墙壁时速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，如图所示，则 解得tan θ＝2tan α，由几何关系知，速度的反向延长线经过AO的中点，即所有小球在碰到墙壁前瞬间速度的反向延长线交于OA上的同一点，A正确．
平抛运动的推论二：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定过此时水平位移的中点，本题容易理所当然地认为撞到墙上的点越低，其反向延长线与水平位移的交点越靠右．
5．[重庆渝东六校2019高一下期中]利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏．如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好从纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角．若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是( )A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
在P点减小初速度，则纸团下降到纸篓上沿这段时间内，水平位移变小，则纸团不能进入篓中，故A错误．在P点增大初速度，则纸团下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据 知，纸团水平位移可以减小，且不会与篓的左边沿相撞，可能落在篓底的正中间，故C正确．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团能进篓，但不能击中篓底正中间，故D错误．
6．(多选)某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图像如图所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是( )A．第1 s内物体下落的高度为5 mB．第1 s内物体下落的高度为10 mC．物体的初速度为5 m/sD．物体的初速度为10 m/s
平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．物体在竖直方向上做自由落体运动，第1 s内物体下落高度h1＝gt2/2＝5 m，故A正确，B错误；根据图像，t＝1 s时， ，故v0＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，故C错误，D正确．
7．[黑龙江哈尔滨六中2019高一下月考](多选)如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，依次垂直打在竖直木板上的M、N、P三点．假设不考虑飞刀的转动及空气阻力，并可将其看成质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面的高度分别为h、10h、5h、2h，下列说法正确的是( )A．三把飞刀击中M、N、P三点时速度之比为2∶3∶6B．三把飞刀击中M、N、P三点时速度之比为1∶2∶3C．到达M、N、P三点的飞刀飞行时间之比为D．到达M、N、P三点的飞刀初速度的竖直分量之比为3∶2∶1
将抛出飞刀的过程逆向分析，可以看成将飞刀分别从M、N、P三点沿水平方向抛出，并落到O点．由于飞刀竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，所以飞刀下落的时间为t＝ ，则飞刀到达M、N、P三点的飞行时间之比为3∶2∶1，由vy＝gt可知，到达M、N、P三点的飞刀初速度的竖直分量之比为3∶2∶1，故C错误，D正确．设O点与木板的距离为s，则飞刀水平运动的速度为 ，根据题中条件可以得到三把飞刀击中M、N、P三点时的速度之比为2∶3∶6，故A正确，B错误．
8．[第32届全国中学生物理竞赛]如图，O点是小球平抛运动抛出点；在O点有一个频闪点光源，闪光频率为30 Hz；在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，小球初速度方向与毛玻璃平面垂直．在小球抛出时点光源开始闪光．当点光源闪光时，在毛玻璃上有小球的一个投影点．已知图中O点与毛玻璃水平距离L＝1.20 m，测得第一、二个投影点之间的距离为s＝0.05 m．取重力加速度g＝10 m/s2.下列说法正确的是( )A．小球做平抛运动的初速度为4 m/sB．小球做平抛运动过程中，在相等时间内的速度变化不相等C．小球投影点的速度在相等时间内的变化量越来越大D．小球第二、三个投影点之间的距离0.15 m
取任意时刻作图，如图所示，根据相似三角形可知，有Y/y＝L/x，即Y＝yL/x＝ ，故小球在毛玻璃上的投影点做匀速运动，C、D选项错误，解得v0＝4 m/s，A选项正确．平抛运动是匀加速曲线运动，加速度不变，故小球做平抛运动过程中，在相等时间内的速度变化相等，B选项错误．
课时2 平抛运动综合应用（平抛运动与斜面、曲面相结合的问题 追及问题）
1.[河南南阳2020高一下期中](多选)如图所示，斜面倾角为θ，高度为h.已知重力加速度为g.将位于斜面底端A点正上方高为h的小球以速度v0正对斜面顶点B水平抛出，要使小球做平抛运动的位移最小，则( )A．小球做平抛运动的时间 B．小球做平抛运动的时间C．小球的初速度 D．小球的初速度
课时2 平抛运动综合应用（平抛运动与斜面、 曲面相结合的问题 追及问题）
小球做平抛运动的位移最小时，其位移方向与AB垂直，由几何知识知， ，解得小球做平抛运动的时间为 ，A错误；由几何知识知，hcs θ·sin θ＝v0t，由以上两式解得，小球做平抛运动的时间为 ，小球的初速度为 ，B、C正确，D错误．
2.(多选)如图所示，倾角为30°和45°的两斜面下端紧靠在一起，固定在水平面上，将两个小球a和b，从左侧斜面上的A点以不同的初速度水平向右抛出，下落相同高度，a落到左侧的斜面上，b恰好垂直击中右侧斜面，忽略空气阻力，则下列说法正确的是( )A．a、b运动的初速度之比为 B．a、b运动的水平位移之比为1∶3C．a、b击中斜面时的速率之比为 D．若减小初速度，a球落到斜面上时速度方向改变
两球做平抛运动，下落相同的高度时运动时间相同，由vy＝gt知落在斜面上时两球竖直分速度大小相等；对于a球有 ，设a球落在斜面上时速度与水平方向的夹角为α，则有tan α＝gt/va0，可得tan α＝2tan 30°，即α与初速度无关，所以若减小初速度，a球落到斜面上时速度方向不变，故选项D错误；对于b球有tan 45°＝gt/vb0，结合tan 30°＝gt/2vb0,可得，a、b两球的初速度之比为 ，由x＝v0t可得a、b运动的水平位移之比为xa∶xb＝ ，故选项A正确，B错误；a球击中斜面时的速率为 ，b球击中斜面时的速率为vb＝ ，所以va∶vb＝ ，故选项C正确．
3．[辽宁沈阳铁路实验中学2020高一下期中](多选)如图，地面上固定有一半径为R的半圆形凹槽，O为圆心，AB为水平直径．现将小球(可视为质点)从A处以初速度v1水平抛出后恰好落到D点；若将该小球从A处以初速度v2水平抛出后恰好落到C点，C、D两点等高，OC与水平方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )A．小球从开始运动到落到凹槽上，前后两次的时间之比为1∶2B．v1∶v2＝1∶3C．小球从开始运动到落到凹槽上，速度的变化量两次相同D．小球从开始运动到落到凹槽上，前后两次的平均速度之比为1∶2
平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，两次下落的高度相同，因此下落时间相同，A错误；第一次水平位移x1＝R(1－cs 60°)＝R/2，第二次水平位移x2＝R(1＋cs 60°)＝3R/2，由x＝v0t知，v1/v2＝x1/x2＝1/3，B正确；由Δv＝gΔt知，两次的速度变化量相同，C正确；第一次位移s1＝R，第二次位移s2＝ R，则平均速度之比为v1∶v2＝s1∶s2＝1∶ ，D错误．
4．[湖北武汉三校联合体2020高一下期中]如图所示，ACB是一个半径为R的半圆柱面的横截面，直径AB水平，C为截面上的最低点，AC间有一斜面，从A点以大小不同的初速度v1、v2沿AB方向水平抛出两个小球a和b，分别落在斜面AC和圆弧面CB上，不计空气阻力，下列判断正确的是( )A．初速度v1可能大于v2B．a球的飞行时间可能比b球长C．若v2大小合适，可使b球垂直撞击到圆弧面CB上D．a球接触斜面前的瞬间，速度与水平方向的夹角为45°
若v1>v2，则下落相同时间a球的位移大，则小球a不可能落在斜面AC上，故初速度v1不可能大于v2，A错误；a球下落的高度可能大于b球下落的高度，由h＝gt2/2知，a球的飞行时间可能比b球长，B正确；平抛运动的瞬时速度的反向延长线通过水平位移的中点，b球的水平位移小于直径，其速度延长线不可能通过圆心O，故b球不可能垂直撞击到圆弧面CB上，C错误；由几何知识知，AC面的倾角为45°，作出a球落到斜面上的速度的反向延长线，由几何知识知，瞬时速度与水平方向的夹角大于45°，D错误．
5.[吉林省吉林一中2019高一下月考]如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
设第一次抛出时A球的速度为v1，B球的速度为v2，则A、B间的水平距离为x＝(v1＋v2)t，第二次两球的速度均为第一次的2倍，但两球间的水平距离不变，则x＝2(v1＋v2)t′，联立得t′＝t/2，所以C正确．
6．如图所示，倾角θ＝30°的斜面AB，在斜面顶端B向左水平抛出小球1，同时在底端A正上方与B点等高度处C水平向右抛出小球2，小球1、2同时落在P点，P点为斜边AB的中点，则( )A．小球2一定垂直撞在斜面上B．小球1、2的初速度大小可以不相等C．小球1落在P点时速度方向与斜面的夹角为30°D．改变小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向都平行)
两个小球同时做平抛运动，又同时落在P点，说明运动时间相同，又水平位移大小相等，由x＝v0t，知初速度大小相等，小球1落在斜面上时， ，小球2落在斜面上的速度与竖直方向的夹角的正切值 ，故α≠θ，所以小球2没有垂直撞在斜面上，故A、B错误；小球1落在P点时速度与水平方向夹角的正切值 ，则有β<60°，则小球1落在P点时速度方向与斜面的夹角为β－θ<60°－30°＝30°，所以小球1落在P点时与斜面的夹角小于30°，故C错误；根据tan β＝2tan θ知，改变小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角不变，速度相互平行，故D正确．
7.[四川阆中中学2020高一下开学考试]如图，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，则小球的初速度v0可能为( )A．1 m/s或2 m/s B．2 m/s或3 m/s C．3 m/s或4 m/s D．1 m/s或4 m/s
根据题意可知小球下降的高度h＝gt2/2＝（1/2）×10×0.42 m＝0.8 m，平抛运动轨迹如图所示，若小球落在左边圆弧上，根据几何关系有R2＝h2＋(R－x)2，解得水平位移x＝0.4 m，则初速度 1m/s；若小球落在右边圆弧上，根据几何关系有R2＝h2＋x′2，解得x′＝0.6 m，则水平位移x2＝R＋x′＝1.6 m，初速度v′0＝x2/t＝4 m/s，D正确，A、B、C错误．
小球从A点做平抛运动，可能落在左边圆弧，也可能落在右边圆弧，因此需要分情况分析，充分考虑圆的几何关系与平抛运动的特点．
8．[河南省实验中学2019高一下月考](多选)如图所示，一个半径为R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的右上方C点掠过．已知O为半圆柱体侧面半圆的圆心，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度g取10 m/s2，则( )A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 sC．小球做平抛运动的初速度为4 m/s D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
从B点到C点，小球做平抛运动，由题可知小球在C点的速度方向与水平方向成37°角，由速度的分解可知，竖直分速度大小为vy＝v0tan 37°＝gt，水平方向有R＋Rcs 53°＝v0t，联立解得t＝0.3 s，v0＝4 m/s，故选A、C.
一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，最终恰好与半圆轨道相切于C点，给出的是速度的方向，即tan 37°＝gt/v0.学生容易联想到小球在斜面上的运动，认为给出的是位移的方向，而代入公式 ＝tan 37°，造成错解．
1．(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向上．图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．小球a从(0，2L)处抛出，落在(2L，0)处；小球b、c从(0，L)处抛出，分别落在(2L，0)和(L，0)处．不计空气阻力，下列说法正确的是( )A．a和b的初速度相同B．b和c运动的时间相同C．b的初速度是c的两倍D．a运动的时间是b的两倍
a和b运动的水平位移相等，但a运动的时间比b的长，所以a的初速度小于b的初速度，故A项错误．b和c从同一高度平抛，在竖直方向上均做自由落体运动，即运动时间相同，故B项正确．b和c运动的时间相同，b的水平位移是c的两倍，即b的初速度是c的两倍，故C项正确．a的竖直位移是b的两倍，a和b在竖直方向上均做自由落体运动，根据公式h＝gt2/2，得a运动的时间是b的 倍，故D项错误．
2.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)．从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s.则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，g取10 m/s2)( )A．(3 m，3 m) B．(2 m，4 m)C．(1 m，1 m) D．(1 m，2 m)
设小球经过时间t打在曲面上的点M(x，y)，由平抛运动规律得，x＝v0t，6－y＝gt2/2，又y＝x2，由以上三式解得，x＝1 m，y＝1 m，C正确．
3．[北京市十一学校2019高一下期末]中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是( )A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为v0，则
根据h＝gt2/2可得，小面圈运动的时间t＝ ，所有小面圈在空中运动的时间都相同，故选项A正确；根据Δv＝gΔt可得，所有小面圈的速度的变化量都相同，故选项B正确；因为水平位移的范围为L≤x≤L＋2L＝3L，则最小初速度为vmin＝L/t＝ ，最大初速度为 ，水平初速度的范围为 ，故选项D正确；小面圈落入锅中时的最大速度 最小速度为v′min＝ ，故选项C错误．本题选错误的，故选C.
4.[黑龙江哈尔滨第六中学2019高一下月考]如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球1，小球1将击中坑壁上的最低点D；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球2也能击中D点．已知∠COD＝60°，两小球均可视为质点，两小球初速度大小之比v1∶v2等于( )
设截面半圆的半径为R，由题图可知小球1的水平位移和竖直位移都是R，由平抛运动的公式有R＝gt12/2，R＝v1t1，可得v1＝ ，由题图可知小球2的水平位移x2＝Rsin 60°＝ ，竖直位移h2＝R－Rcs 60°＝R/2，由 ， 可得 ，故A正确．
5．[湖南湘东六校2019高一下联考]某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸．圆心为O的圆弧槽BCD上开有小孔P，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上( )A．位于B点时，只要弹丸射出速度合适就能过关B．只要高于B点，弹丸射出速度合适都能过关C．只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关D．有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关
根据平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，弹射器位于B点时，不管速度多大，弹丸都不可能从P点射出，故A错误；如图所示，根据平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可得，CN＝R(1＋cs α)/2，竖直位移PN＝CN·tan α＝R(1＋cs α)tan α/2 ，弹射器到B点的高度为y＝PN－Rsin α＝R(tan α－sin α)/2，所以只有一个位置且弹丸以某一速度射出才能过关，故B、D错误，C正确．
6．有两个与水平面成相同角度的斜面．某人在左侧斜面上的P点向对面水平抛出三个质量不等的小石块，分别落在A、B、C三处，不计空气阻力，A、C两处在同一水平面上，则下列说法正确的是( )A．落到A、B、C三处的小石块末速度方向均相同B．落到A、B两处的小石块末速度方向相同C．落到C处的小石块水平抛出的初速度最小D．落到C处的小石块在空中运动的时间最长
对于做平抛运动的物体，某时刻速度方向与水平方向的夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，落在A、B两点的小石块位移方向相同，与落在C点的小石块位移方向不同，所以落在A、B两点的小石块末速度方向相同，与落在C点的小石块末速度方向不同，故A错误，B正确．下落高度决定平抛运动的时间，则落在C处的小石块运动时间比落在B处的小石块运动时间短，与落在A处的小石块运动时间相同，但水平位移最大，则落到C处的小石块水平抛出的初速度最大，选项C、D错误．
7．[四川成都外国语学校2020高一下开学考试]电视综艺节目《加油向未来》中有一个橄榄球空中击剑游戏：宝剑从空中B点自由下落，同时橄榄球从A点以速度v0沿AB方向抛出，恰好在空中C点沿水平方向击中剑尖，不计空气阻力．关于橄榄球，下列说法正确的是( )A．在空中运动的加速度大于宝剑下落的加速度B．若以大于v0的速度沿原方向抛出，一定能在C点上方击中剑尖C．若以小于v0的速度沿原方向抛出，一定能在C点下方击中剑尖D．无论以多大速度沿原方向抛出，都能击中剑尖
橄榄球在空中做斜抛运动，其在空中运动的加速度等于宝剑下落的加速度，选项A错误；当橄榄球速度大于v0时，水平方向分速度增加，而水平方向位移不变，所以时间减小，宝剑从B点下落的距离减小，橄榄球肯定在C点上方击中剑尖，选项B正确；如果橄榄球速度小于v0，宝剑落地时橄榄球水平方向位移可能小于A点到BC的水平距离，此时不能击中剑尖，选项C、D错误．
8.[安徽合肥一中2019高一下期末]如图所示，一可看作质点的小球从一台阶顶端以4 m/s的水平速度抛出，每级台阶的高度和宽度均为1 m，如果台阶数足够多，重力加速度g取10 m/s2，则小球将首先落在标号为几的台阶上？( )A．3 B．4 C．5 D．6
设小球从抛出到落到台阶上经历的时间为t，水平位移为x＝v0t，竖直位移为y＝gt2/2，因为每级台阶的高度和宽度均为1 m，所以小球落在台阶上时位移与竖直方向的夹角小于等于45°，即x/y≤tan 45°＝1，代入数据解得t≥0.8 s；相应的水平位移x≥4×0.8 m＝3.2 m．台阶数n≥3.2m/1m＝3.2，可知小球抛出后首先落到标号为4的台阶上．故B正确，A、C、D错误．
9．[湖北十堰郧阳中学等三校2019高二下期中](多选)如图所示，将小球从斜面的顶端以不同的初速度沿水平方向抛出，落在倾角θ一定、足够长的斜面上．不计空气阻力，下列说法正确的是( )A．小球落到斜面上时的速度方向与初速度无关B．小球落到斜面上时的速度大小与初速度的大小成正比C．小球运动到距离斜面最远处所用的时间与初速度的大小无关D．当用一束平行光垂直照射斜面时，小球在斜面上的投影做匀速运动
因为做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，小球落在斜面上时位移的方向相同，则速度方向相同，故A正确；小球落在斜面上的时间为 小球落在斜面上的竖直分速度为vy＝gt＝2v0tan θ，根据平行四边形定则知，小球落在斜面上的速度 可知小球落到斜面上时的速度大小与初速度的大小成正比，故B正确；当小球的速度方向与斜面平行时，距离斜面最远，将速度分解到沿平行和垂直斜面方向，垂直斜面方向小球先做匀减速直线运动，后做匀加速直线运动；当小球的速度方向与斜面平行时垂直斜面方向的分速度等于0，则时间 所用的时间与初速度的大小有关，故C错误；将速度分解到沿平行和垂直斜面方向，平行斜面方向小球做匀加速直线运动，可知小球在斜面上的投影加速移动，故D错误．
小球从飞出到落回到斜面上，其位移与水平方向的夹角等于θ，则 A错误；根据速度与水平方向夹角的正切值与位移与水平方向夹角的正切值关系得，tan α＝2tan θ，由数学知识知， 故小球落到斜面上时的速度大小为 B错误；减小速度后，小球落到斜面上的位移与水平方向的夹角不变，因此小球落到斜面上的速度方向不变，C错误；由v＝ 知，小球落回斜面的速度大小与初速度的大小成正比，故小球以2v0水平飞出落回到斜面上的速度大小是原来落回到斜面上速度大小的2倍，D正确．
在求小球落回斜面的速度时，可以直接用公式 计算．解析中给出的是用平抛运动的推论的方法．
在斜面上平抛物体，落点仍在斜面上时，遵循以下规律：(1)物体落在斜面上，位移方向相同，均沿斜面方向，竖直位移与水平位移的比值为斜面倾角的正切值，与初速度大小无关；(2)物体落在斜面上时的速度方向相互平行，当速度方向与斜面平行时，物体离斜面的距离最大；(3)物体的运动时间与初速度大小成正比．
11．[辽宁营口高级中学2020高一下月考](多选)如图所示，乒乓球台长为L，球网高为h，某乒乓球爱好者在球台上方离球台高度为2h处以一定的初速度水平发出一个球，结果球经球台反弹一次后(无能量损失)恰好能贴着球网边缘飞过球网，忽略空气阻力，则球的初速度大小可能为( )
若球反弹后在上升过程中刚好能过球网，则2h＝gt12/2，x1＝v0t1，球反弹后从飞过球网到上升至最高点的过程中，h＝gt22/2，x2＝v0t2，2x1－x2＝L/2，由以上各式解得，v0＝ 若球反弹后在下降过程中刚好能飞过球网，则2h＝gt′21/2，x′1＝v′0t′1，球反弹后从最高点到下降飞过球网的过程中，h＝gt′22/2，x′2＝v′0t′2，2x′1＋x′2＝L/2，解得， , A、B正确，C、D错误．
处理平抛运动的临界问题时注意从题干中提取临界状态的关键词，比如“恰好”“不大于”等，确定临界状态及临界轨迹．本题中球反弹后恰好能飞过球网，可根据此条件列出方程求解．
12．[重庆2020高一上期末]如图甲所示，点光源位于S点，紧靠着点光源的正前方有一个小球A，光照射A球在竖直屏幕上形成影像P，现打开高速数码相机，同时将小球向着垂直于屏幕的方向水平抛出，小球的影像在屏幕上的移动情况即被数码相机用连拍功能拍摄下来，该高速数码相机每秒拍摄10次，空气阻力忽略不计．(1)小球在空中运动过程中，水平方向做________________运动，竖直方向做________ 运动．(2)小球的影像P在屏幕上移动情况应当是图乙中的________(填“a”或“b”)．(3)已知图甲中点光源S与屏幕间的距离L＝1.0 m，根据图乙中的相关数据，可知小球A水平抛出的初速度为________m/s.(g＝9.8 m/s2，结果保留两位有效数字)
(1)小球在空中运动过程中，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动．(2)设经过时间t照相机拍摄一次，从抛出开始经时间t后到达C点，经时间2t后经过B点，如图所示．根据几何关系有 平抛运动的水平方向做匀速运动，所以 竖直方向做自由落体运动，所以 ，解得 即PG＝GQ，所以小球的影像P在屏上移动情况应当是等间距的，故选b.(3)由图可知，PG＝0.1 m，AP＝1.0 m，CE＝gt2/2＝9.8×（0.1）2m/2＝0.049 m，根据几何关系得 解得AE＝0.49 m，小球A水平抛出的初速度
13．[河南名校大联考2020高一下测试]如图所示，ABC为半球形容器的竖直截面，O是半球球心，直径AB水平，长度是 m，C是半圆圆弧的中点．在圆弧BC段的中点开有一个孔洞N，过OC的直杆上面的M点固定一个激光笔，发射出的一细束激光照射到圆弧上并穿过孔洞N.某时刻让一个小球从圆心O沿OB方向水平抛出，结果发现小球也刚好能够从孔洞N穿过，且穿出时速度方向与光线方向相同．g取10 m/s2，求：(1)小球做平抛运动的初速度大小；(2)M点与圆心O的距离．
(1)如图所示，图中OD表示小球的水平位移x，ND表示小球的竖直位移y，因为N是圆弧BC段的中点，所以平抛运动的水平位移和竖直位移相等，x＝y＝Dcs 45°/2＝2 m，由于y＝gt2/2，解得飞行时间为t＝ ＝ s，小球做平抛运动的初速度为(2)由题意可知MN为小球在N处时速度的反向延长线，设MN与半径OB的交点为E，可知E为OD中点，则△MOE与△NDE全等，则MO＝ND＝2 m.
1．[陕西西安长安一中2020高一下月考](多选)如图所示，将一小球从空中A点以水平速度v0抛出，经过一段时间后，小球以大小为2v0的速度经过B点，不计空气阻力，则小球从A到B(重力加速度为g)( )A．下落高度为 B．经过的时间为3v0/gC．速度变化量为v0，方向竖直向下 D．运动方向改变的角度为60°
课时1 平抛运动的基本规律 一般抛体运动
小球经过B点时竖直分速度 ；由vy＝gt得 ，根据h＝gt2/2得， ，A正确，B错误；速度变化量为 ，方向竖直向下，C错误；小球经过B点时速度与水平方向夹角的正切值 ，α＝60°，即运动方向改变的角度为60°，D正确．
解答本题的关键是要知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，运用平行四边形定则研究分运动的速度，要知道分运动具有等时性．
2．如图所示，一架在2 000 m高空中以200 m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别炸山脚和山顶的目标A和B.已知山高为720 m，山脚与山顶的水平距离为1 000 m，若不计空气阻力，g取10 m/s2，则投弹的时间间隔应为( )A．4 s B．5 s C．9 s D．16 s
第一颗炸弹的飞行时间 20 s，轰炸机投第一颗炸弹时离山脚的水平距离x1＝vt1＝4 000 m．第二颗炸弹的飞行时间 ，飞行的水平距离x2＝vt2＝3 200 m，则投弹的时间间隔t＝ ，故选C.
3．[浙江省2020学业水平考试模拟]乒乓球是青少年比较喜爱的一项体育活动，如图甲所示．相同的乒乓球1，2恰好在等高处水平越过球网，不计乒乓球的旋转和空气阻力，若把乒乓球看成一个质点，乒乓球自最高点到落台的过程简化成如图乙所示模型，下列说法正确的是( )A．过网时球1的速度大小小于球2的速度大小B．球1的飞行时间大于球2的飞行时间C．球1的速度变化率等于球2的速度变化率D．落台时，球1的速率等于球2的速率
由题图乙知，两球下落的高度相同，根据h＝gt2/2知，h相同，则两球的飞行时间相等，B错误；平抛运动在水平方向是匀速直线运动，球1的水平位移大，根据x＝v0t知，球1过网时的速度大小大于球2过网时的速度大小，A错误；两球的速度的变化率即加速度大小，均为重力加速度，C正确；在竖直方向上，由vy2＝2gh知，两球落台时的竖直分速度大小相等，根据速度的合成，则 ，故落台时球1的速率大于球2的速率，D错误．
4.[四川双流中学2019高一下月考节选]某同学采用频闪摄影的方法拍摄到如图所示的“小球做平抛运动”的照片．图中每个小方格的边长为L＝10 cm，则由图可求得拍摄时每________s曝光一次，该小球做平抛运动的初速度大小为________ m/s，经过b点时速度大小为________ m/s.(g取10 m/s2)
平抛运动可分解为竖直方向的自由落体运动与水平方向的匀速直线运动；在竖直方向，由Δh＝gt2可得 ，小球平抛的初速度为v0＝2L/t＝ 2 m/s；小球经过b点时，在竖直方向上有 ，小球经过b点时的速度大小为
5.如图是某同学根据实验画出的小球的平抛运动轨迹，O为平抛的起点，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，在轨迹上任取三点A、B、C，测得A、B两点的纵坐标分别为y1＝5.0 cm、y2＝45.0 cm，A、B两点水平间距Δx为60.0 cm.则平抛小球的初速度v0等于________ m/s，若C点的纵坐标y3＝80.0 cm，则小球在C点的速度vC等于________ m/s.(结果均保留两位有效数字，g取10 m/s2)
6．[安徽师范大学附属中学2020高一下期中](多选)如图所示，水平地面上不同位置的三个物体沿三条不同的路径抛出，最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的，若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )A．沿路径1抛出的物体落地的速率最大 B．沿路径3抛出的物体在空中运动的时间最长C．三个物体抛出时初速度的竖直分量相等 D．三个物体抛出时初速度的水平分量相等
三个物体上升的最大高度相同，则三个物体的运动时间相同，B错误；由对称性知，物体上升时间与下落时间相同，由vy＝gt知，三个物体抛出的初速度的竖直分量相等，C正确；由题图知，沿路径1抛出的物体水平位移最大，由x＝vxt知，沿路径1抛出的物体初速度的水平分量最大，D错误；物体落地时的速率v＝ ，则沿路径1抛出的物体落地的速率最大，A正确．
斜上抛运动的对称性：(1)轨迹对称：轨迹关于过最高点的竖直线对称；(2)速度对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点的速度大小相等；(3)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的两段过程，上升时间等于下降时间．
7．[河南开封五校2020高一下期中]如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，已知重力加速度为g.则( )A．物块由P点变加速运动到Q点B．物块由P点以加速度a＝gcs θ匀加速运动到Q点C．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝D．物块的初速度
对物块进行受力分析可知，物块受到恒定的合外力，故物块做匀变速运动，根据牛顿第二定律得，物块的加速度为 ，故A、B错误；根据l＝at2/2，有 ，故C错误；根据b＝v0t，有 ，故D正确．
8．如图所示，水平房顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离l＝3 m，墙外马路宽d＝10 m．欲使小球从房顶水平飞出落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0应满足的条件．(墙的厚度不计，g取10 m/s2)
5 m/s≤v0≤13 m/s
如图甲所示，设球刚好触墙而过时小球离开房顶的速度为v1，则小球自房顶飞出后做平抛运动到达墙头时，水平位移大小为l，竖直位移大小为(H－h)，则y＝H－h＝(5－3.2) m＝1.8 m，由y＝gt12/2得小球自飞出后运动到墙头所用的时间为由l＝v1t1得小球离开房顶时的速度为设小球飞出后恰好落在墙外的马路边缘时离开房顶的速度为v2，如图乙所示，此过程水平位移大小为(l＋d)，竖直位移大小为H，则小球在空中的飞行时间t2满足H＝gt22/2，则由l＋d＝v2t2得即小球恰好落在马路边缘时从房顶飞出的速度大小为13 m/s.综上分析知，欲使小球离开房顶后能落在马路上，则小球离开房顶时的速度v0应满足v1≤v0≤v2，即5 m/s≤v0≤13 m/s.
小球要落在马路上，落地点不能在马路的外侧，即水平位移大小要小于等于l＋d，竖直位移大小为H，代入计算得初速度的最大值；同时还得满足小球能从墙顶水平飞出，水平位移大小为l，竖直位移大小为(H－h)，代入计算得初速度的最小值．对有障碍物的平抛运动，要分析清楚障碍物对水平及竖直位移的影响，再代入公式进行计算，不能把题目中的数据盲目地代入公式．
1．[山东青岛二中2020高一下期中](多选)如图所示，a、b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为P，则以下说法正确的是( )A．a、b两球同时落地B．b球先落地C．a、b两球在P点相遇D．无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇
做平抛运动时，运动的时间取决于小球下落的高度，从题图中可知a球下落的高度大于b球，根据 可知，a球下落的时间长，故b球先落地，A错误，B正确；由于a、b两球距离P点的高度不同，所以到达P点的时间不同，故不能在P点相遇，同理可知两球总不能相遇，C错误，D正确．
2．[四川遂宁二中2020高一下月考](多选)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达一竖直墙面时，速度与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( )A．小球水平抛出时的初速度大小为gt·tan θB．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ/2C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变短D．若小球初速度增大，则tan θ减小
小球到达竖直墙面时沿竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为vy＝gt，v0＝vytan θ＝gt·tan θ，所以小球水平抛出时的初速度为gt·tan θ，A项正确；设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，则 B项错误；由于小球到墙的水平距离一定，初速度增大，运动的时间变短，C项正确；若小球初速度增大，由抛出点到墙的时间变短，由tan θ＝v0/gt可知，tan θ增大，D项错误．故选A、C.
平抛运动的推论一：利用速度与水平方向的夹角θ满足tan θ＝vy/v0＝gt/v0，位移与水平方向的夹角α满足tan α＝y/x＝gt/2v0，则tan θ＝2tan α，注意不是θ＝2α.
3．如图所示，在同一竖直面内的三个不同位置A、B、C分别以水平向右抛出三个小球，其中AC在同一竖直线上，BC在同一水平线上．要使三球同时落到地面上的D点，不计空气阻力，则必须满足( )A．先同时抛出A、C两处小球，且vA
解答本题的关键是知道平抛运动的时间由高度决定，水平位移由初速度和时间共同决定．
4．[福建师大附中2020高一下期中]如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线( )A．交于OA上的同一点B．交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点C．交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点D．因为小球的初速度和OA距离未知，所以无法确定
设小球到达墙壁时速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，如图所示，则 解得tan θ＝2tan α，由几何关系知，速度的反向延长线经过AO的中点，即所有小球在碰到墙壁前瞬间速度的反向延长线交于OA上的同一点，A正确．
平抛运动的推论二：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定过此时水平位移的中点，本题容易理所当然地认为撞到墙上的点越低，其反向延长线与水平位移的交点越靠右．
5．[重庆渝东六校2019高一下期中]利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏．如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好从纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角．若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是( )A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
在P点减小初速度，则纸团下降到纸篓上沿这段时间内，水平位移变小，则纸团不能进入篓中，故A错误．在P点增大初速度，则纸团下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据 知，纸团水平位移可以减小，且不会与篓的左边沿相撞，可能落在篓底的正中间，故C正确．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团能进篓，但不能击中篓底正中间，故D错误．
6．(多选)某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图像如图所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是( )A．第1 s内物体下落的高度为5 mB．第1 s内物体下落的高度为10 mC．物体的初速度为5 m/sD．物体的初速度为10 m/s
平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．物体在竖直方向上做自由落体运动，第1 s内物体下落高度h1＝gt2/2＝5 m，故A正确，B错误；根据图像，t＝1 s时， ，故v0＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，故C错误，D正确．
7．[黑龙江哈尔滨六中2019高一下月考](多选)如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，依次垂直打在竖直木板上的M、N、P三点．假设不考虑飞刀的转动及空气阻力，并可将其看成质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面的高度分别为h、10h、5h、2h，下列说法正确的是( )A．三把飞刀击中M、N、P三点时速度之比为2∶3∶6B．三把飞刀击中M、N、P三点时速度之比为1∶2∶3C．到达M、N、P三点的飞刀飞行时间之比为D．到达M、N、P三点的飞刀初速度的竖直分量之比为3∶2∶1
将抛出飞刀的过程逆向分析，可以看成将飞刀分别从M、N、P三点沿水平方向抛出，并落到O点．由于飞刀竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，所以飞刀下落的时间为t＝ ，则飞刀到达M、N、P三点的飞行时间之比为3∶2∶1，由vy＝gt可知，到达M、N、P三点的飞刀初速度的竖直分量之比为3∶2∶1，故C错误，D正确．设O点与木板的距离为s，则飞刀水平运动的速度为 ，根据题中条件可以得到三把飞刀击中M、N、P三点时的速度之比为2∶3∶6，故A正确，B错误．
8．[第32届全国中学生物理竞赛]如图，O点是小球平抛运动抛出点；在O点有一个频闪点光源，闪光频率为30 Hz；在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，小球初速度方向与毛玻璃平面垂直．在小球抛出时点光源开始闪光．当点光源闪光时，在毛玻璃上有小球的一个投影点．已知图中O点与毛玻璃水平距离L＝1.20 m，测得第一、二个投影点之间的距离为s＝0.05 m．取重力加速度g＝10 m/s2.下列说法正确的是( )A．小球做平抛运动的初速度为4 m/sB．小球做平抛运动过程中，在相等时间内的速度变化不相等C．小球投影点的速度在相等时间内的变化量越来越大D．小球第二、三个投影点之间的距离0.15 m
取任意时刻作图，如图所示，根据相似三角形可知，有Y/y＝L/x，即Y＝yL/x＝ ，故小球在毛玻璃上的投影点做匀速运动，C、D选项错误，解得v0＝4 m/s，A选项正确．平抛运动是匀加速曲线运动，加速度不变，故小球做平抛运动过程中，在相等时间内的速度变化相等，B选项错误．
课时2 平抛运动综合应用（平抛运动与斜面、曲面相结合的问题 追及问题）
1.[河南南阳2020高一下期中](多选)如图所示，斜面倾角为θ，高度为h.已知重力加速度为g.将位于斜面底端A点正上方高为h的小球以速度v0正对斜面顶点B水平抛出，要使小球做平抛运动的位移最小，则( )A．小球做平抛运动的时间 B．小球做平抛运动的时间C．小球的初速度 D．小球的初速度
课时2 平抛运动综合应用（平抛运动与斜面、 曲面相结合的问题 追及问题）
小球做平抛运动的位移最小时，其位移方向与AB垂直，由几何知识知， ，解得小球做平抛运动的时间为 ，A错误；由几何知识知，hcs θ·sin θ＝v0t，由以上两式解得，小球做平抛运动的时间为 ，小球的初速度为 ，B、C正确，D错误．
2.(多选)如图所示，倾角为30°和45°的两斜面下端紧靠在一起，固定在水平面上，将两个小球a和b，从左侧斜面上的A点以不同的初速度水平向右抛出，下落相同高度，a落到左侧的斜面上，b恰好垂直击中右侧斜面，忽略空气阻力，则下列说法正确的是( )A．a、b运动的初速度之比为 B．a、b运动的水平位移之比为1∶3C．a、b击中斜面时的速率之比为 D．若减小初速度，a球落到斜面上时速度方向改变
两球做平抛运动，下落相同的高度时运动时间相同，由vy＝gt知落在斜面上时两球竖直分速度大小相等；对于a球有 ，设a球落在斜面上时速度与水平方向的夹角为α，则有tan α＝gt/va0，可得tan α＝2tan 30°，即α与初速度无关，所以若减小初速度，a球落到斜面上时速度方向不变，故选项D错误；对于b球有tan 45°＝gt/vb0，结合tan 30°＝gt/2vb0,可得，a、b两球的初速度之比为 ，由x＝v0t可得a、b运动的水平位移之比为xa∶xb＝ ，故选项A正确，B错误；a球击中斜面时的速率为 ，b球击中斜面时的速率为vb＝ ，所以va∶vb＝ ，故选项C正确．
3．[辽宁沈阳铁路实验中学2020高一下期中](多选)如图，地面上固定有一半径为R的半圆形凹槽，O为圆心，AB为水平直径．现将小球(可视为质点)从A处以初速度v1水平抛出后恰好落到D点；若将该小球从A处以初速度v2水平抛出后恰好落到C点，C、D两点等高，OC与水平方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )A．小球从开始运动到落到凹槽上，前后两次的时间之比为1∶2B．v1∶v2＝1∶3C．小球从开始运动到落到凹槽上，速度的变化量两次相同D．小球从开始运动到落到凹槽上，前后两次的平均速度之比为1∶2
平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，两次下落的高度相同，因此下落时间相同，A错误；第一次水平位移x1＝R(1－cs 60°)＝R/2，第二次水平位移x2＝R(1＋cs 60°)＝3R/2，由x＝v0t知，v1/v2＝x1/x2＝1/3，B正确；由Δv＝gΔt知，两次的速度变化量相同，C正确；第一次位移s1＝R，第二次位移s2＝ R，则平均速度之比为v1∶v2＝s1∶s2＝1∶ ，D错误．
4．[湖北武汉三校联合体2020高一下期中]如图所示，ACB是一个半径为R的半圆柱面的横截面，直径AB水平，C为截面上的最低点，AC间有一斜面，从A点以大小不同的初速度v1、v2沿AB方向水平抛出两个小球a和b，分别落在斜面AC和圆弧面CB上，不计空气阻力，下列判断正确的是( )A．初速度v1可能大于v2B．a球的飞行时间可能比b球长C．若v2大小合适，可使b球垂直撞击到圆弧面CB上D．a球接触斜面前的瞬间，速度与水平方向的夹角为45°
若v1>v2，则下落相同时间a球的位移大，则小球a不可能落在斜面AC上，故初速度v1不可能大于v2，A错误；a球下落的高度可能大于b球下落的高度，由h＝gt2/2知，a球的飞行时间可能比b球长，B正确；平抛运动的瞬时速度的反向延长线通过水平位移的中点，b球的水平位移小于直径，其速度延长线不可能通过圆心O，故b球不可能垂直撞击到圆弧面CB上，C错误；由几何知识知，AC面的倾角为45°，作出a球落到斜面上的速度的反向延长线，由几何知识知，瞬时速度与水平方向的夹角大于45°，D错误．
5.[吉林省吉林一中2019高一下月考]如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
设第一次抛出时A球的速度为v1，B球的速度为v2，则A、B间的水平距离为x＝(v1＋v2)t，第二次两球的速度均为第一次的2倍，但两球间的水平距离不变，则x＝2(v1＋v2)t′，联立得t′＝t/2，所以C正确．
6．如图所示，倾角θ＝30°的斜面AB，在斜面顶端B向左水平抛出小球1，同时在底端A正上方与B点等高度处C水平向右抛出小球2，小球1、2同时落在P点，P点为斜边AB的中点，则( )A．小球2一定垂直撞在斜面上B．小球1、2的初速度大小可以不相等C．小球1落在P点时速度方向与斜面的夹角为30°D．改变小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向都平行)
两个小球同时做平抛运动，又同时落在P点，说明运动时间相同，又水平位移大小相等，由x＝v0t，知初速度大小相等，小球1落在斜面上时， ，小球2落在斜面上的速度与竖直方向的夹角的正切值 ，故α≠θ，所以小球2没有垂直撞在斜面上，故A、B错误；小球1落在P点时速度与水平方向夹角的正切值 ，则有β<60°，则小球1落在P点时速度方向与斜面的夹角为β－θ<60°－30°＝30°，所以小球1落在P点时与斜面的夹角小于30°，故C错误；根据tan β＝2tan θ知，改变小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角不变，速度相互平行，故D正确．
7.[四川阆中中学2020高一下开学考试]如图，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，则小球的初速度v0可能为( )A．1 m/s或2 m/s B．2 m/s或3 m/s C．3 m/s或4 m/s D．1 m/s或4 m/s
根据题意可知小球下降的高度h＝gt2/2＝（1/2）×10×0.42 m＝0.8 m，平抛运动轨迹如图所示，若小球落在左边圆弧上，根据几何关系有R2＝h2＋(R－x)2，解得水平位移x＝0.4 m，则初速度 1m/s；若小球落在右边圆弧上，根据几何关系有R2＝h2＋x′2，解得x′＝0.6 m，则水平位移x2＝R＋x′＝1.6 m，初速度v′0＝x2/t＝4 m/s，D正确，A、B、C错误．
小球从A点做平抛运动，可能落在左边圆弧，也可能落在右边圆弧，因此需要分情况分析，充分考虑圆的几何关系与平抛运动的特点．
8．[河南省实验中学2019高一下月考](多选)如图所示，一个半径为R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的右上方C点掠过．已知O为半圆柱体侧面半圆的圆心，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度g取10 m/s2，则( )A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 sC．小球做平抛运动的初速度为4 m/s D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
从B点到C点，小球做平抛运动，由题可知小球在C点的速度方向与水平方向成37°角，由速度的分解可知，竖直分速度大小为vy＝v0tan 37°＝gt，水平方向有R＋Rcs 53°＝v0t，联立解得t＝0.3 s，v0＝4 m/s，故选A、C.
一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，最终恰好与半圆轨道相切于C点，给出的是速度的方向，即tan 37°＝gt/v0.学生容易联想到小球在斜面上的运动，认为给出的是位移的方向，而代入公式 ＝tan 37°，造成错解．
1．(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向上．图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．小球a从(0，2L)处抛出，落在(2L，0)处；小球b、c从(0，L)处抛出，分别落在(2L，0)和(L，0)处．不计空气阻力，下列说法正确的是( )A．a和b的初速度相同B．b和c运动的时间相同C．b的初速度是c的两倍D．a运动的时间是b的两倍
a和b运动的水平位移相等，但a运动的时间比b的长，所以a的初速度小于b的初速度，故A项错误．b和c从同一高度平抛，在竖直方向上均做自由落体运动，即运动时间相同，故B项正确．b和c运动的时间相同，b的水平位移是c的两倍，即b的初速度是c的两倍，故C项正确．a的竖直位移是b的两倍，a和b在竖直方向上均做自由落体运动，根据公式h＝gt2/2，得a运动的时间是b的 倍，故D项错误．
2.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)．从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s.则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，g取10 m/s2)( )A．(3 m，3 m) B．(2 m，4 m)C．(1 m，1 m) D．(1 m，2 m)
设小球经过时间t打在曲面上的点M(x，y)，由平抛运动规律得，x＝v0t，6－y＝gt2/2，又y＝x2，由以上三式解得，x＝1 m，y＝1 m，C正确．
3．[北京市十一学校2019高一下期末]中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是( )A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为v0，则
根据h＝gt2/2可得，小面圈运动的时间t＝ ，所有小面圈在空中运动的时间都相同，故选项A正确；根据Δv＝gΔt可得，所有小面圈的速度的变化量都相同，故选项B正确；因为水平位移的范围为L≤x≤L＋2L＝3L，则最小初速度为vmin＝L/t＝ ，最大初速度为 ，水平初速度的范围为 ，故选项D正确；小面圈落入锅中时的最大速度 最小速度为v′min＝ ，故选项C错误．本题选错误的，故选C.
4.[黑龙江哈尔滨第六中学2019高一下月考]如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球1，小球1将击中坑壁上的最低点D；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球2也能击中D点．已知∠COD＝60°，两小球均可视为质点，两小球初速度大小之比v1∶v2等于( )
设截面半圆的半径为R，由题图可知小球1的水平位移和竖直位移都是R，由平抛运动的公式有R＝gt12/2，R＝v1t1，可得v1＝ ，由题图可知小球2的水平位移x2＝Rsin 60°＝ ，竖直位移h2＝R－Rcs 60°＝R/2，由 ， 可得 ，故A正确．
5．[湖南湘东六校2019高一下联考]某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸．圆心为O的圆弧槽BCD上开有小孔P，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上( )A．位于B点时，只要弹丸射出速度合适就能过关B．只要高于B点，弹丸射出速度合适都能过关C．只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关D．有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关
根据平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，弹射器位于B点时，不管速度多大，弹丸都不可能从P点射出，故A错误；如图所示，根据平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可得，CN＝R(1＋cs α)/2，竖直位移PN＝CN·tan α＝R(1＋cs α)tan α/2 ，弹射器到B点的高度为y＝PN－Rsin α＝R(tan α－sin α)/2，所以只有一个位置且弹丸以某一速度射出才能过关，故B、D错误，C正确．
6．有两个与水平面成相同角度的斜面．某人在左侧斜面上的P点向对面水平抛出三个质量不等的小石块，分别落在A、B、C三处，不计空气阻力，A、C两处在同一水平面上，则下列说法正确的是( )A．落到A、B、C三处的小石块末速度方向均相同B．落到A、B两处的小石块末速度方向相同C．落到C处的小石块水平抛出的初速度最小D．落到C处的小石块在空中运动的时间最长
对于做平抛运动的物体，某时刻速度方向与水平方向的夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，落在A、B两点的小石块位移方向相同，与落在C点的小石块位移方向不同，所以落在A、B两点的小石块末速度方向相同，与落在C点的小石块末速度方向不同，故A错误，B正确．下落高度决定平抛运动的时间，则落在C处的小石块运动时间比落在B处的小石块运动时间短，与落在A处的小石块运动时间相同，但水平位移最大，则落到C处的小石块水平抛出的初速度最大，选项C、D错误．
7．[四川成都外国语学校2020高一下开学考试]电视综艺节目《加油向未来》中有一个橄榄球空中击剑游戏：宝剑从空中B点自由下落，同时橄榄球从A点以速度v0沿AB方向抛出，恰好在空中C点沿水平方向击中剑尖，不计空气阻力．关于橄榄球，下列说法正确的是( )A．在空中运动的加速度大于宝剑下落的加速度B．若以大于v0的速度沿原方向抛出，一定能在C点上方击中剑尖C．若以小于v0的速度沿原方向抛出，一定能在C点下方击中剑尖D．无论以多大速度沿原方向抛出，都能击中剑尖
橄榄球在空中做斜抛运动，其在空中运动的加速度等于宝剑下落的加速度，选项A错误；当橄榄球速度大于v0时，水平方向分速度增加，而水平方向位移不变，所以时间减小，宝剑从B点下落的距离减小，橄榄球肯定在C点上方击中剑尖，选项B正确；如果橄榄球速度小于v0，宝剑落地时橄榄球水平方向位移可能小于A点到BC的水平距离，此时不能击中剑尖，选项C、D错误．
8.[安徽合肥一中2019高一下期末]如图所示，一可看作质点的小球从一台阶顶端以4 m/s的水平速度抛出，每级台阶的高度和宽度均为1 m，如果台阶数足够多，重力加速度g取10 m/s2，则小球将首先落在标号为几的台阶上？( )A．3 B．4 C．5 D．6
设小球从抛出到落到台阶上经历的时间为t，水平位移为x＝v0t，竖直位移为y＝gt2/2，因为每级台阶的高度和宽度均为1 m，所以小球落在台阶上时位移与竖直方向的夹角小于等于45°，即x/y≤tan 45°＝1，代入数据解得t≥0.8 s；相应的水平位移x≥4×0.8 m＝3.2 m．台阶数n≥3.2m/1m＝3.2，可知小球抛出后首先落到标号为4的台阶上．故B正确，A、C、D错误．
9．[湖北十堰郧阳中学等三校2019高二下期中](多选)如图所示，将小球从斜面的顶端以不同的初速度沿水平方向抛出，落在倾角θ一定、足够长的斜面上．不计空气阻力，下列说法正确的是( )A．小球落到斜面上时的速度方向与初速度无关B．小球落到斜面上时的速度大小与初速度的大小成正比C．小球运动到距离斜面最远处所用的时间与初速度的大小无关D．当用一束平行光垂直照射斜面时，小球在斜面上的投影做匀速运动
因为做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，小球落在斜面上时位移的方向相同，则速度方向相同，故A正确；小球落在斜面上的时间为 小球落在斜面上的竖直分速度为vy＝gt＝2v0tan θ，根据平行四边形定则知，小球落在斜面上的速度 可知小球落到斜面上时的速度大小与初速度的大小成正比，故B正确；当小球的速度方向与斜面平行时，距离斜面最远，将速度分解到沿平行和垂直斜面方向，垂直斜面方向小球先做匀减速直线运动，后做匀加速直线运动；当小球的速度方向与斜面平行时垂直斜面方向的分速度等于0，则时间 所用的时间与初速度的大小有关，故C错误；将速度分解到沿平行和垂直斜面方向，平行斜面方向小球做匀加速直线运动，可知小球在斜面上的投影加速移动，故D错误．
小球从飞出到落回到斜面上，其位移与水平方向的夹角等于θ，则 A错误；根据速度与水平方向夹角的正切值与位移与水平方向夹角的正切值关系得，tan α＝2tan θ，由数学知识知， 故小球落到斜面上时的速度大小为 B错误；减小速度后，小球落到斜面上的位移与水平方向的夹角不变，因此小球落到斜面上的速度方向不变，C错误；由v＝ 知，小球落回斜面的速度大小与初速度的大小成正比，故小球以2v0水平飞出落回到斜面上的速度大小是原来落回到斜面上速度大小的2倍，D正确．
在求小球落回斜面的速度时，可以直接用公式 计算．解析中给出的是用平抛运动的推论的方法．
在斜面上平抛物体，落点仍在斜面上时，遵循以下规律：(1)物体落在斜面上，位移方向相同，均沿斜面方向，竖直位移与水平位移的比值为斜面倾角的正切值，与初速度大小无关；(2)物体落在斜面上时的速度方向相互平行，当速度方向与斜面平行时，物体离斜面的距离最大；(3)物体的运动时间与初速度大小成正比．
11．[辽宁营口高级中学2020高一下月考](多选)如图所示，乒乓球台长为L，球网高为h，某乒乓球爱好者在球台上方离球台高度为2h处以一定的初速度水平发出一个球，结果球经球台反弹一次后(无能量损失)恰好能贴着球网边缘飞过球网，忽略空气阻力，则球的初速度大小可能为( )
若球反弹后在上升过程中刚好能过球网，则2h＝gt12/2，x1＝v0t1，球反弹后从飞过球网到上升至最高点的过程中，h＝gt22/2，x2＝v0t2，2x1－x2＝L/2，由以上各式解得，v0＝ 若球反弹后在下降过程中刚好能飞过球网，则2h＝gt′21/2，x′1＝v′0t′1，球反弹后从最高点到下降飞过球网的过程中，h＝gt′22/2，x′2＝v′0t′2，2x′1＋x′2＝L/2，解得， , A、B正确，C、D错误．
处理平抛运动的临界问题时注意从题干中提取临界状态的关键词，比如“恰好”“不大于”等，确定临界状态及临界轨迹．本题中球反弹后恰好能飞过球网，可根据此条件列出方程求解．
12．[重庆2020高一上期末]如图甲所示，点光源位于S点，紧靠着点光源的正前方有一个小球A，光照射A球在竖直屏幕上形成影像P，现打开高速数码相机，同时将小球向着垂直于屏幕的方向水平抛出，小球的影像在屏幕上的移动情况即被数码相机用连拍功能拍摄下来，该高速数码相机每秒拍摄10次，空气阻力忽略不计．(1)小球在空中运动过程中，水平方向做________________运动，竖直方向做________ 运动．(2)小球的影像P在屏幕上移动情况应当是图乙中的________(填“a”或“b”)．(3)已知图甲中点光源S与屏幕间的距离L＝1.0 m，根据图乙中的相关数据，可知小球A水平抛出的初速度为________m/s.(g＝9.8 m/s2，结果保留两位有效数字)
(1)小球在空中运动过程中，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动．(2)设经过时间t照相机拍摄一次，从抛出开始经时间t后到达C点，经时间2t后经过B点，如图所示．根据几何关系有 平抛运动的水平方向做匀速运动，所以 竖直方向做自由落体运动，所以 ，解得 即PG＝GQ，所以小球的影像P在屏上移动情况应当是等间距的，故选b.(3)由图可知，PG＝0.1 m，AP＝1.0 m，CE＝gt2/2＝9.8×（0.1）2m/2＝0.049 m，根据几何关系得 解得AE＝0.49 m，小球A水平抛出的初速度
13．[河南名校大联考2020高一下测试]如图所示，ABC为半球形容器的竖直截面，O是半球球心，直径AB水平，长度是 m，C是半圆圆弧的中点．在圆弧BC段的中点开有一个孔洞N，过OC的直杆上面的M点固定一个激光笔，发射出的一细束激光照射到圆弧上并穿过孔洞N.某时刻让一个小球从圆心O沿OB方向水平抛出，结果发现小球也刚好能够从孔洞N穿过，且穿出时速度方向与光线方向相同．g取10 m/s2，求：(1)小球做平抛运动的初速度大小；(2)M点与圆心O的距离．
(1)如图所示，图中OD表示小球的水平位移x，ND表示小球的竖直位移y，因为N是圆弧BC段的中点，所以平抛运动的水平位移和竖直位移相等，x＝y＝Dcs 45°/2＝2 m，由于y＝gt2/2，解得飞行时间为t＝ ＝ s，小球做平抛运动的初速度为(2)由题意可知MN为小球在N处时速度的反向延长线，设MN与半径OB的交点为E，可知E为OD中点，则△MOE与△NDE全等，则MO＝ND＝2 m.
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