人教版 (2019)2 简谐运动的描述学案

第2节 简谐运动的描述

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一 描述简谐运动的物理量

振动物体离开平衡位置的 最大①距离，叫作振动的振幅。

一个 完整②的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的

物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期。物体完成全振动的次数与所用时间之比，叫作振动的频率。

要点二 简谐运动的表达式

做简谐运动的物体的位移 与运动时间 之间满足 正弦函数③关系，位移 的一般函数表达式为 ④。

自主思考

①振幅就是指振子的最大位移吗？

答案：提示 不是。振幅是标量，最大位移是矢量，它们在数值上相等。

②（1）物体两次通过平衡位置的过程是一个完整的振动过程吗？

（2）一弹簧振子在 、 、 间做简谐运动，如图所示，若弹簧振子从 向右运动时开始计时。则怎样的过程表示一个完整的振动过程？

答案：提示 （1）不一定。振动物体连续两次沿同一方向通过平衡位置的过程是一次全振动，

因此，物体两次通过平衡位置的过程不一定是一个完整的振动过程。

（2）从小球第一次经 点向右运动到小球下次回到 点且向右运动的过程，即 。

③简谐运动的表达式一定是正弦函数吗？

答案：提示 不一定，还可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。

④试写出表达式中各物理量的含义。

答案：提示① 表示简谐运动的振幅。

② 是简谐运动的圆频率。它也表示简谐运动振动的快慢， 。

代表简谐运动的相位， 是 时的相位，称作初相位，或初相。

名师点睛

1.振幅是标量，表示振动强弱，对于同一振动系统，振幅越大表示振动越强。

2.不管从哪儿作为开始研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点。

3.周期 与频率 的关系式 。

互动探究·关键能力

探究点一 描述简谐运动的物理量之间的关系

情境探究

1.弹簧振子的周期与什么因素有关呢？如果改变弹簧振子的振幅，其振动的周期是否会改变呢？我们可以提出哪些猜想？怎样设计一个实验来验证这个猜想？

答案：提示 猜想：影响弹簧振子周期的因素可能有：振幅、振子的质量、弹簧的劲度系数等。我们可以设计这样一个实验：弹簧一端固定，弹簧的另一端连着有孔小球，使小球在光滑的水平杆上滑动。通过分别改变振幅、振子的质量和弹簧的劲度系数，测量不同情况下振子的周期（注意在改变一个物理量的时候其他物理量应保持不变）。

探究归纳

1.对全振动的理解

（1）振动过程：如图所示，从 点开始，一次全振动的完整过程为 ；从 点开始，一次全振动的完整过程为 。

（2）一次全振动的四个特征

①物理量特征：位移 、加速度 、速度 三者第一次同时与初始状态相同。

②时间特征：历时一个周期。

③路程特征：振幅的4倍。

④相位特征：增加 。

2.简谐运动中振幅和几个物理量的关系

（1）振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移大小相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

（2）振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。

（3）振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与振幅无关。

特别提示 振幅大，振动物体的位移不一定大，但其最大位移一定大。

探究应用

例 如图所示，弹簧振子在 、 间做简谐运动， 为平衡位置， 、 间距离是 ，从 点到 点运动时间是 ，则 (      )

A.从 振子做了一次全振动

B.振动周期为 ，振幅是

C.从 点开始经过 ，振子通过的路程是

D.从 点开始经过 ，振子处在平衡位置

答案：

解析：振子从 只完成半个全振动，选项 错误；从 振子也只是半个全振动，半个全振动是 ，所以振动周期是 ，选项 错误； ，所以振子经过的路程为 ，选项 正确；从 点开始经过 ，振子处在最大位移 或 处，选项 错误。

方法探究

振动物体通过路程的计算方法

（1）求振动物体在一段时间内通过路程的依据：

①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在 个周期内通过的路程必为 。

②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。③振动物体在 内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时， 内通过的路程才等于一倍振幅。

（2）计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。

迁移应用

1.一质点做简谐运动，振幅是 、频率是 ，某时刻该质点从平衡位置向正方向运动，经 质点的位移和路程分别是(      )

A. ， B. ，

C. ， D. ，

答案：

解析：周期 ， ，质点在 时到达正向最大位移处，故位移为 ，路程为 ， 正确。

2.如图所示是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：

（1）振动的振幅；

（2）振动的频率；

（3）在 、 、 、 时质点的振动方向；

（4）质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；

（5）质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；

（6）在 至 这段时间内质点的运动情况。

答案：（1）振幅为最大位移的绝对值，从图像可知振幅 。

（2）从图像可知周期 ，则振动的频率 。

（3）由各时刻的位移变化过程可判断 、 时，质点的振动方向向上； 、 时，质点的振动方向向下。

（4）质点在 时通过平衡位置，首次具有负方向的速度最大值。

（5）质点在 时处于正向最大位移处，加速度首次具有负方向的最大值。

（6）在 至 这段时间内，从图像上可以看出，质点沿负方向的位移不断减小，说明质点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加速运动。

探究点二 简谐运动表达式的理解和应用

探究应用

1.简谐运动的表达式的认识

（1） 表示振动质点相对平衡位置的位移。

（2） 表示振幅，描述振动的强弱。

（3） ：表示圆频率，它与周期、频率的关系为 。

可见 、 、 描述的都是振动的快慢。

（4） 表示相位，描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于三角函数中的角度，相位每增加 ，意味着物体完成了一次全振动。

（5） ：是 时的相位，表示 时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。

2.简谐运动的表达式的理解和应用

（1）由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅 、圆频率 和初相 。根据 或 可求出周期 或频率 ，还可以求出某一时刻质点的位移 。

（2）相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同 的简谐运动，设其初相分别为 和 ，其相位差 。它反映出两个简谐运动的步调差异。

（3）关于两个相同频率的简谐运动的相位差的理解

①取值范围 。

② ，表明两振动步调完全相同，称为同相。

，表明两振动步调完全相反，称为反相。

③ ，表示振动2比振动1超前。

，表示振动2比振动1滞后。

迁移应用

1.物体 做简谐运动的振动位移为 ，物体 做简谐运动的振动位移为 。比较 、 的运动(      )

A.振幅是矢量， 的振幅是 ， 的振幅是

B.周期是标量， 、 的周期相等，为

C. 振动的频率 等于 振动的频率

D. 振动的频率 大于 振动的频率

答案：

解析：振幅是标量， 、 的振幅分别是 、 ， 错误；周期是标量， 、 的周期相等，均为 ， 错误；因为 ，故 ， 正确， 错误。

2.（多选）一弹簧振子 的位移 随时间 变化的关系式为 。则(      )

A.弹簧振子的振幅为

B.弹簧振子的周期为

C.在 时，振子的运动速度为零

D.若另一弹簧振子 的位移 随时间变化的关系式为 ，则振动 滞后振动 的相位为

答案： ;

解析：由振动方程为 ，可读出振幅 ，圆频率 ，周期 ，故 、 错误；在 时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故 正确；两振动的相位差 ，即振动 超前振动 的相位为 ，或者说振动 滞后振动 的相位为 ，故 正确。

3.一个小球和轻质弹簧组成的系统，按 的规律振动。

（1）求该振动的周期、频率、振幅和初相；

（2）另一简谐运动的表达式为 ，求它们的相位差。

答案：（1）  ;    ;    ;     （2）

解析：（1）已知 ，由 得

， ， ，

（2）由 得，

评价检测·素养提升

课堂检测

1.有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩 后释放让它振动，第二次把弹簧压缩 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(      )

A.1∶1，1∶1B.1∶1，1∶2

C.1∶4，1∶4D.1∶2，1∶2

答案：

解析：弹簧的压缩量即振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为 ；而对同一振动系统，其周期与振幅无关，故周期之比为 ， 正确。

2.（多选）如图所示，弹簧振子以 为平衡位置，在 、 间振动，则(      )

A. 为一次全振动

B. 为一次全振动

C. 为一次全振动

D. 的大小不一定等于

答案：  ;

解析： 为平衡位置， 、 为两侧最远点，则从 起始经 、 、 、 ,路程为振幅的4倍，即 正确；若从 起始经 、 、 、 路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即 错误；若从 起始经 、 、 、 路程为振幅的4倍，即 正确；因弹簧振子系统的摩擦不考虑，所以振幅一定，故 错误。

3.一个物体做简谐运动，下列说法中正确的是(      )

A.物体运动过程中相距最远的两点之间的距离等于振幅

B.物体先后两次经过同一位置所经历的时间等于振动周期

C.物体在1秒钟内完成全振动的次数等于振动频率

D.物体在各个时刻所处的不同状态叫作初相位

答案：

解析：偏离平衡位置最大的距离叫振幅，故 错误；物体先后以相同的运动状态通过同一位置所经历的时间等于振动周期，故 错误；物体在1秒钟内完成全振动的次数等于振动频率，故 正确；物体在各个时刻所处的不同状态叫作相位，故 错误。

4.两个简谐运动的表达式分别为 和 ，它们的振幅之比、频率之比是(      )

A.2∶1，2∶1B.1∶2，1∶2

C.2∶1，1∶2D.1∶2，2∶1

答案：

解析：由题意知 ， ， ， ，则 ， ，故 正确， 、 、 错误。

素养视角

科学思维

简谐运动的对称性和周期性

1.对称性

（1）瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点时，位移、速度、加速度的大小均相等。

（2）过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如 ；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如 ，如图所示。

2.

（1）若 ，则 、 两时刻，振动物体在同一位置，运动情况相同。

（2）若 ，则 、 两时刻，描述运动的物理量 均大小相等，方向相反。

（3）若 或 ，则当 时刻物体在最大位移处时， 时刻物体到达平衡位置；当 时刻物体在平衡位置时， 时刻物体到达最大位移处；若 时刻物体在其他位置， 时刻物体到达何处就要视具体情况而定。

素养演练

1.一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距 的 、 两点，且由 到 的过程中速度方向不变，历时 （如图）。过 点后再经过 ，质点以方向相反、大小相等的速度再次通过 点，则质点振动的周期是(      )

A.   B.  C.   D.

答案：

解析：根据题意，由振动的对称性可知： 的中点（设为 ）为平衡位置， 、 两点对称分布于 点两侧。质点从平衡位置 向右运动到 的时间应为 。质点从 向右到达最右方（设为 ）的时间 。所以质点从 到 的时间 。所以 ， 对。

2.（多选）一弹簧振子做简谐运动， 为平衡位置，当它经过 点时开始计时，经过 第一次到达 点，再经过 第二次到达 点，则弹簧振子的周期为(      )

A. B. C. D.

答案：  ; 

解析：如图甲所示， 或 的长度代表振幅，若振子一开始从平衡位置向 点运动，振子从 所需时间为 ，因为简谐运动具有对称性，所以振子从 所用时间和从 所用时间相等，故 ，解得 ；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向 运动，设 与 关于 点对称，则振子从 经 到 所用的时间与振子从 经 到 所需时间相等，为 ，振子从 到 和从 到 及从 到 和从 到 所需时间相等，则振子从 到 所需时间为 ，故周期为 。故 、 正确， 、 错误。

3.如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子经过 、 两点时的速度相同，若它从 经 到 历时 ，然后从 再回到 的最短时间为 ，则该振子的振动频率为(      )

A.     B.

C.     D.

答案：

解析：振子经过 、 两点时的速度相同，根据弹簧振子的运动特点，可知 、 两点相对平衡位置 一定是对称的，振子由 经 到 所用的时间也是 ，由于“从 再回到 的最短时间为 ”，即振子运动到 后第一次回到 点所用时间为 ，且 不是振子的振动过程中相对平衡位置的最大位移。设图中的 、 点为振动过程中相对平衡位置的最大位移处，则振子从 经 到 历时 ，同理，振子从 经 到 也历时 ，故该振子的周期 ，根据周期和频率互为倒数的关系，就可以确定该振子的振动频率为 ， 正确。

技巧点拨

此题利用振动的对称性解题。通过画草图讨论弹簧振子可能的运动情况，对于不是从平衡位置或不是从最大位移处开始计时的振动问题，分析的突破口是弄清从开始计时起的半个周期的轨迹或几个不规则的轨迹怎样组成一个振幅或若干个振幅。