物理选择性必修 第一册1 简谐运动学案及答案

第1节 简谐运动

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一 弹簧振子

小球和弹簧所组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。弹簧振子是一个 理想化模型①。

要点二 简谐运动

如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的 振动图像图像②是一条 正弦曲线③，这样的振动是一种简谐运动。

自主思考

①（1）若图中的小球是木头做的，或小球和杆之间的摩擦不能忽略，这个系统可称为弹簧振子吗？系统能看成弹簧振子需要满足什么条件？

（2）弹簧振子是一种理想化模型，以前我们还学过哪些理想化模型？

答案：（1）提示 不能看作弹簧振子。系统看成弹簧振子需要满足两个条件：①小球运动过程中不受阻力；②小球质量远大于弹簧质量。

（2）点电荷、质点等。

②振动图像的坐标系是如何建立的？

答案：提示 以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴。横坐标表示振子振动的时间，纵坐标表示振子相对平衡位置的位移。

③有同学说，既然弹簧振子的振动图像是一条正弦曲线，那么振子的运动轨迹也应是正弦曲线，结合水平方向的弹簧振子想一下，这种说法对吗？为什么？

答案：提示 不对，因为振动图像不是运动轨迹。例如，水平方向的弹簧振子振动时，振子的运动轨迹是一条直线。

名师点睛

1.弹簧振子的特点

2.弹簧振子的平衡也置，不一定在弹簧的原长位置。

如图所示，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。

互动探究·关键能力

探究点一 弹簧振子

情境探究

如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动。

（1）小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？

（2）在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？

（3）猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？

答案：（1）提示 小球的运动具有往复性。小球因受到摩擦力的作用最终停止运动。

（2）小球往复运动的次数增多，运动时间变长。

（3）小球将持续地做往复运动。

探究归纳

1.弹簧振子的运动是最典型的机械振动

振动特征：①有一个“中心位置”，即平衡位置；②运动具有往复性。如图所示。

2.弹簧振子是一种理想化模型

（1）弹簧振子是小球和弹簧组成的系统的名称，但有时也把这样的小球称为弹簧振子或振子。

（2）理想化的弹簧振子：一根没有质量的弹簧一端固定，另一端连接一个质点。

（3）弹簧振子理想化条件：忽略弹簧质量、忽略小球的大小和形状、忽略摩擦及其他阻力。

3.平衡位置

振子不振动时，保持静止状态的位置；振子振动时，速度最大的位置。平衡位置不一定是中心位置（如图甲所示物体的振动），物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态（如图乙所示物体的振动）。

4.弹簧振子的振动分析

（1）当振子从平衡位置向最大位移处移动时，位移在增大，速度在减小；当振子向平衡位置移动时，位移减小，速度增大，平衡位置处位移为零，速度最大；最大位移处速度为零。

（2）从合力的变化分析加速度的变化

水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力的矢量和是振子受到的合力。不管是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，在平衡位置所受的合力为零，加速度为零，而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大。

探究应用

例 小球和弹簧作如下连接，下列说法正确的是(      )

A.只有甲可以被看成弹簧振子

B.甲、乙都可以看成弹簧振子，丙、丁不可以

C.甲在任何情况下都可以看成弹簧振子

D.在一定条件下甲、乙、丙、丁都可以看成弹簧振子

答案：

解析：只要满足弹簧振子的振动规律的小球和弹簧的组合都可以看成弹簧振子，弹簧振子可以是水平的、竖直的、倾斜的，也可以是多个弹簧和小球的组合体，如图丁所示，故 、 、 错误， 正确。

解题感悟

弹簧振子有多种形式，对于不同形式的弹簧振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长（如竖直放置的弹簧振子），但运动方向上的合外力一定为零。

迁移应用

1.（多选）如图所示的弹簧振子， 点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是(      )

A.振子从 点运动到 点时位移大小为 ，方向向右

B.振子从 点运动到 点过程中位移大小为 ，方向向右

C.振子从 点运动到 点的过程中，速度在增大，加速度在减小

D.振子从 点运动到 点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大

答案： ;

解析：振子从 点运动到 点时的位移是以 点为起点， 点为终点，故位移大小为 ，方向向右， 正确；振子从 点运动到 点过程中位移是以 点为起点， 点为终点，故位移大小为 ，方向向右， 错误；振子的合外力为弹簧的弹力，振子从 点运动到 点的过程和从 点运动到 点的过程中，弹力都在减小，故加速度都在减小，速度方向与加速度方向相同，故速度在增大， 正确， 错误。

2.（多选）弹簧上端固定在 点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉小球，拉一小段距离后释放，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是(      )

A.在小球运动的最低点

B.在弹簧处于原长时的位置

C.在小球速度最大时的位置

D.在小球原来静止时的位置

答案： ;

解析：平衡位置是振动系统不振动时，小球（振子）处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即 ，也即小球原来静止的位置，故选项 正确， 、 错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项 正确。

探究点二 简谐运动及其图像

情境探究

甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的 图像：如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线 ，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从 点沿垂直于 方向振动画线，乙同学沿 方向水平向右匀速拖动白纸。

（1）白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？

（2）乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？

（3）沿 方向与垂直 方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么？用什么方法判断上述图像是否为正弦曲线？

答案：（1）提示 是一条垂直于 的直线。

（2）轨迹如图所示，类似于正弦曲线。

（3）垂直 方向的轴为位置坐标轴 （如果以 为出发点，也可以说是位移坐标轴），沿 方向的轴为时间轴 。图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移（以 为出发点）或位置。一种方法是用图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验，另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线，看看这条曲线可以用什么函数表示。

探究归纳

1.简谐运动

（1）定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的变化规律，即它的振动图像（ 图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。

（2）特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种周期性运动。弹簧振子的运动就是简谐运动。

2.简谐运动的 图像

（1）物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。

（2）应用

①确定位移及其变化

从简谐运动的 图像可直接读出不同时刻的位移值，从最大位移处向平衡位置运动过程中位移减小，从平衡位置向最大位移处运动过程中位移增大。

②确定各时刻速度的大小关系和方向

速度的方向结合质点的实际运动方向判断。

速度的大小根据位移情况判断：在平衡位置处，质点速度最大；在最大位移处，质点速度为0。在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大。

3.从数学角度认识简谐运动的 图像

简谐运动的图线随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜率的绝对值表示该时刻振子的速度大小。斜率的正负表示速度的方向，斜率为正表示速度方向为正方向，反之为负方向。

探究应用

例 一弹簧振子做简谐运动，有以下几种说法，其中正确的是(      )

A.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值

B.振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同

C.振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同

D.振子在平衡位置两侧对称的位置上，其速度、位移都反向

答案：

解析：加速度的方向与位移方向相反，位移方向为负时，加速度方向一定为正，但速度方向为振子运动方向，与位移方向无关，可正可负， 错误；振子每次经过平衡位置时，加速度为零且速度大小相等，但方向不一定相同， 错误；振子每次通过同一位置时，位移相同，故加速度相同，速度大小相等，但方向不一定相同， 正确；同理在平衡位置两侧对称的位置上，位移方向相反，速度方向可能相同，也可能相反， 错误。

易错提醒

（1）在机械振动中，位移是相对平衡位置而言的，规定平衡位置为位移的起始点。

（2）要注意结合运动学的知识分析简谐运动，矢量相同不仅仅是大小相等，方向也应该相同。

迁移应用

1.关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法正确的是(      )

A.位移减小时，加速度减小，速度也减小

B.位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同

C.物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同

D.物体向负方向运动时，加速度方向与速度方向相同；向正方向运动时，加速度方向与速度方向相反

答案：

解析：位移减小时，质点靠近平衡位置，加速度减小，速度增大，故 错误；位移方向总跟加速度方向相反，质点经过同一位置时，位移方向总是由平衡位置指向质点所在位置，而速度方向可能与位移方向相同，也可能与位移方向相反；加速度方向可能与速度方向相同或相反，故 、 错误；物体运动方向指向平衡位置时，位移方向由平衡位置指向物体所在位置，所以速度方向跟位移方向相反；背离平衡位置运动时，速度方向跟位移方向相同，故 正确。

2. 多选）如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移 时间图像，下列有关该图像的说法正确的是(      )

A.该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置

B.从图像可以看出小球在振动过程中是沿 轴方向移动的

C.为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直 轴方向匀速运动

D.图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化的快慢

答案：2. ; ;

解析：该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是沿 轴方向运动的，故 对， 错；由获得图像的方法知 对；频闪照相是间隔相同时间留下的小球的像，因此小球的疏密显示了它位置变化的快慢， 对。

评价检测·素养提升

课堂检测

1.关于简谐运动，下列说法正确的是(      )

A.位移的方向总是指向平衡位置

B.速度方向可能与位移方向相同，也可能与位移方向相反

C.位移方向总是与速度方向相反

D.速度方向与位移方向相同

答案：

解析：简谐运动的位移的初始位置是平衡位置，所以简谐运动中位移的方向总是背离平衡位置， 错误；位移方向与速度方向可能相同，也可能相反， 正确， 、 错误。

2.（多选）做简谐运动的物体在某段时间内速度越来越大，则这段时间内(      )

A.物体的位移越来越大

B.物体正向平衡位置运动

C.物体的速度方向与位移方向相同

D.物体的速度方向与位移方向相反

答案： ;

解析：做简谐运动的物体在某段时间内速度越来越大，说明它正向平衡位置运动，故位移越来越小， 错误， 正确；位移方向是从平衡位置指向物体所在的位置，故物体的速度方向与位移方向相反， 错误， 正确。

3.（多选）如图所示为获取弹簧振子的位移 时间图像的一种方法，小球的运动轨迹是往复运动的一段线段，而简谐运动的图像是正弦（或余弦）曲线。下列说法正确的是(      )

A.如果纸带不动，作出的振动图像仍然是正弦（或余弦）曲线

B.如果纸带不动，作出的振动图像是一段线段

C.图示时刻，振子正经过平衡位置向右运动

D.若纸带运动的速度不恒定，则纸带上描出的仍然是简谐运动的图像

答案： ;

解析：当纸带不动时，描出的是振子在平衡位置两侧往复运动的轨迹，是一段线段， 错误， 正确；由振动图像可以看出，图示时刻振子正由平衡位置向右运动， 正确；只有当纸带匀速运动时，振动图像才是正弦（或余弦）函数曲线，而简谐运动的图像一定是正弦（或余弦）函数曲线， 错误。

4.（多选）如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(      )

A. 时刻振子正通过平衡位置向正方向运动

B. 时刻振子的位移最大

C. 时刻振子正通过平衡位置向正方向运动

D.该图像是从平衡位置开始计时画出的

答案： ;

解析：从图像可以看出， 时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像， 错误； 时刻以后振子的位移为负，因此此时振子通过平衡位置向负方向运动， 错误； 时刻振子在负的最大位移处，因此可以说此时振子在最大位移处， 正确； 时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动， 正确。

素养视角

科学思维

简谐运动图像的理解与应用

1.对简谐运动图像（ 图像）的认识

（1）形状：正（余）弦曲线

（2）物理意义：表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。

2.简谐运动图像（ 图像）的应用

（1）获取信息

①任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在 、 时刻的位移分别为 和 。

②任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中 点，下一时刻离平衡位置更远，故质点此刻向上振动。

③任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小，如图乙中 点，从正位移向平衡位置运动，则速度为负且增大，位移、加速度正在减小， 从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。

（2）特别提醒

振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹。比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线。

素养演练

1.质点做简谐运动，其 关系图像如图。以 轴正向为速度 的正方向，该质点的 关系图像是(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：在 时刻，质点的位移最大，速度为0，则下一时刻质点应沿 轴负方向运动，故选项 、 错误；在 时刻，质点的位移为0，速率最大，故选项 正确， 错误。

2.如图甲所示，弹簧振子运动的最左端 （最右端 ）距离平衡位置的距离为 ，规定向右为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法中正确的是(      )

A.图中 应为

B. 时间内振子由 向 运动

C. 时间内振子由 向 运动

D. 时间内与 时间内振子运动方向相反

答案：

解析：结合甲、乙两图可以知道 时刻振子的位移为正值且最大，振子位于 ， 应为 ，故 正确； 时间内位移为正值，且逐渐增大，振子由 向 运动，故 错误； 时间内位移为正值，且逐渐减小，振子由 向 运动，故 错误； 时间内振子先沿正方向运动到最大位移处，再沿负方向运动到位移为零处， 时间内先沿负方向运动到负的最大位移处，再沿正方向运动到位移为零处，故 错误。

3.（多选）如图所示为某质点做简谐运动的图像，则下列说法正确的是(      )

A.质点在 时，正在远离平衡位置

B.质点在 时的位移最大

C. 到 ，质点的位移在增大

D. 到 ，质点的位移在增大

答案： ;

解析：由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，所以质点在 时正在向平衡位置运动， 错误；质点在 时的位移达到最大， 正确；质点在 到 时间内，正在远离平衡位置，所以其位移在增大， 正确； 到 时间内，质点正在向平衡位置运动，所以其位移在减小， 错误。