高中人教版 (2019)第二章 机械振动2 简谐运动的描述学案及答案

这是一份高中人教版 (2019)第二章 机械振动2 简谐运动的描述学案及答案，共12页。学案主要包含了课前预习，自主探究，探究过程，应用探究，归纳总结，总结感悟等内容，欢迎下载使用。

课题
简谐运动的描述
年级
高二
知识点来源
高中 物理 人教版（2019） 选择性必修 第一册 第二章 机械振动 2 简谐运动的描述
学习目标
物理观念：1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.
2.知道简谐运动的数学表达式，知道描述简谐运动的基本物理量．
科学思维：理解周期和频率的关系，结合简谐运动的图象会进行有关判断．
科学探究：观察简谐运动图象，结合数学知识，理解表达式中各物理量的含义．
学习重难点
理解周期和频率的关系，结合简谐运动的图象会进行有关判断．
【课前预习】
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅：振动物体离开平衡位置的 距离．
2．全振动(如图1所示)
图1
类似于O→B→O→C→O的一个 的振动过程．
3．周期和频率
(1)周期
①定义：做简谐运动的物体完成 所需要的时间．
②单位：国际单位是 ．
(2)频率
①定义：单位时间内完成全振动的 ．
②单位： ．
(3)T和f的关系： .
4．相位
描述周期性运动在各个时刻所处的不同 ．
二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x＝ ．
1．x表示振动物体相对于平衡位置的 ；t表示 ．
2．A表示简谐运动的 ．
3．ω叫做简谐运动的“ ”，表示简谐运动的快慢，ω＝eq \f(2π,T)＝ (与周期T和频率f的关系)．
4． 代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做 ．
5．相位差
若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，则相位差为Δφ＝
＝ .
【自主探究】
1．判断下列说法的正误．
(1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的．( )
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量．( )
(3)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间．( )
(4)按x＝5sin (8πt＋eq \f(1,4)π) cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25 s．( )
2．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时(t＝0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x＝__________________________ m.
【探究过程】
一、描述简谐运动的物理量
【应用探究】
如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称．
(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
【探究过程】
1．振幅和位移的区别

2．路程与振幅的关系

3．一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统 决定，与 无关．
典例1 如图2所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：
图2
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A到O的时间；
(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小．
典例2 (多选)如图3所示为一质点的振动图象，曲线满足正弦变化规律，则下列说法中正确的是( )
图3
A．该振动为简谐振动
B．该振动的振幅为10 cm
C．质点在前0.12 s内通过的路程为20 cm
D．0.04 s末，质点的振动方向沿x轴负方向
二、简谐运动表达式的理解
【归纳总结】
典例3 (多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin (2.5πt＋eq \f(π,4))，则A滞后Beq \f(π,4)
三、简谐运动的周期性和对称性
【归纳总结】
(如图4所示)
图4
(1)时间的对称

(2)速度的对称

(3)位移的对称

例4 如图5所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v，已知B、C之间的距离为25 cm.
图5
(1)求弹簧振子的振幅A；
(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f.
【总结感悟】
11.2《简谐运动的描述》课后巩固练习
一、选择题
考点一 描述简谐运动的物理量
1.如图所示，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在B、C间做无摩擦的往复运动．若小球从C点第一次运动到O点历时0.1 s，则小球振动的周期为( )
A．0.1 s B．0.2 s
C．0.3 s D．0.4 s
2．如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝
1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为( )
A．0.2 s B．0.4 s C．0.1 s D．0.3 s
3．关于弹簧振子的位置和路程，下列说法中正确的是( )
A．运动一个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的4倍
B．运动半个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的2倍
C．运动eq \f(3,4)个周期，位置可能不变，路程一定等于振幅的3倍
D．运动一段时间位置不变时，路程一定等于振幅的4倍
4.如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则( )
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
5．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
6．如图所示，物体A和B用轻绳相连挂在弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k.当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，则A振动的振幅为( )
A.eq \f(Mg,k) B.eq \f(mg,k)
C.eq \f(M＋mg,k) D.eq \f(M＋mg,2k)
考点二 简谐运动的表达式
7．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x＝Asin eq \f(π,4)t，则质点( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D．第3 s末与第5 s末的速度方向相同
8．(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100t＋\f(π,2))) m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100t＋\f(π,6))) m．比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位eq \f(π,3)
9．(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
考点三 简谐运动的周期性与对称性
10．一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为( )
A．0.4 Hz B．0.8 Hz C．2.5 Hz D．1.25 Hz
11．弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要多长时间( )
A．1.2 s B．1.0 s C．0.4 s D．1.4 s
12．(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(2,3) s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(4,5) s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
二、非选择题
13.如图所示，某质点做简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
(1)与a位移相同的点有哪些？
(2)与a速度相同的点有哪些？
(3)质点离平衡位置的最大距离为多大？
14．某个质点的简谐运动图象如图所示．
(1)求振动的振幅和周期；
(2)写出简谐运动的表达式．
参考答案
1.答案 D
解析 小球从C点第一次运动到O点的时间为0.1 s，对应的时间为一个周期的eq \f(1,4)，故小球振动的周期为0.4 s，D正确．
2．答案 A
解析 简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的eq \f(1,4)，故A正确．
3．答案 A
解析 运动一个周期，振子完成一次全振动，回到起始位置，故位置一定不变，路程是振幅的4倍，故A正确；当振子从一端开始运动，经过半个周期，则振子恰好到达另一端点，故位置变化，故B错误；若从最大位置到平衡位置的中间某点开始运动，运动eq \f(3,4)周期时由于速度不是均匀的，路程并不等于振幅的3倍，故C错误；只有振子振动一个周期时，路程才等于振幅的4倍，若回到出发点，但速度反向，则不是一个周期，路程不等于振幅的4倍，故D错误．
4.答案 C
解析 振子从O→B→O只完成了半个全振动，A错误；从A→B振子也只是完成了半个全振动，半个全振动是2 s，所以振动周期是4 s，B错误；振幅A＝eq \f(20,2) cm＝10 cm,6 s＝eq \f(3,2)T，所以振子经过的路程为6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在最大位移处(A或B)，D错误．
5．答案 C
解析 由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以A错误；质点在1 s即eq \f(1,4)个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B错误；因为t＝0时质点在最大位移处，0～3 s为eq \f(3,4)T，质点通过的路程为3A＝6 cm，所以C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为
2 cm，所以D错误．
6．答案 A
解析 轻绳断开前，弹簧的伸长量为x1＝eq \f(Mg＋mg,k).若弹簧下只挂有A，则静止时弹簧的伸长量x2＝eq \f(mg,k)，此位置为A在竖直方向上做简谐运动的平衡位置，则A振动的振幅为x1－x2＝eq \f(Mg＋mg,k)－eq \f(mg,k)＝eq \f(Mg,k)，故A正确．
7．答案 AD
解析 根据x＝Asin eq \f(π,4)t可求得该质点振动周期为T＝ 8 s，则该质点振动图象如图所示，图象切线的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但切线的斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点切线的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．
8．答案 CD
解析 振幅是标量，A、B的振幅分别为3 m、5 m，A错；A、B的周期均为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100) s＝6.28×10－2 s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝eq \f(π,3)，为定值，D对．
9．答案 AB
解析 t＝0.6 s时，物块的位移为x＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1 m，则对小球h＋|x|＝eq \f(1,2)gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π) s＝0.8 s，选项B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，选项C错误；t＝0.4 s＝eq \f(T,2)，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误．
10．答案 D
解析 由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间为：T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故频率为f＝eq \f(1,T)＝1.25 Hz，D正确．
11．答案 D
解析 若从O点开始向右振子按如图甲所示路线振动，则振子的振动周期为：T1＝4×(0.3＋eq \f(1,2)×0.2) s＝1.6 s，
则该质点再经过时间Δt1＝T1－0.2 s＝1.4 s，第三次经过P点．
若振子从O点开始向左振动，则按如图乙所示路线振动，
设从P到O的时间为t，则eq \f(1,2)×0.2 s＋t＝eq \f(0.3 s－t,2)，解得：t＝eq \f(1,30) s，可得周期为：T2＝4×(eq \f(1,30)＋0.1) s＝eq \f(8,15) s，则该质点再经过时间Δt2＝T2－0.2 s＝eq \f(1,3) s，故D正确，A、B、C错误．
12．答案 AD
解析 若振幅为0.1 m，则t＝eq \f(T,2)＋nT(n＝0,1,2，…)．
当n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝eq \f(2,3) s；n＝2时，T＝eq \f(2,5) s，
故选项A正确，选项B错误．
若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：
①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为eq \f(T,2)，周期最大为2 s.
②振子振动如图乙中实线所示．
由x＝Asin(ωt＋φ)知
t＝0时，－eq \f(A,2)＝Asin φ，φ＝－eq \f(π,6)，即振子由C点振动到O点用时至少为eq \f(T,12)，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为eq \f(T,6)，则T最大为6 s；
若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点，
则周期最大为2 s.
综上所述C错误，D正确．
13.答案 (1)b、e、f (2)d、e (3)2 cm
解析 (1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)质点离平衡位置的最大距离即质点最大位移的大小．由题图知最大距离为2 cm.
14．答案 (1)10eq \r(2) cm 8 s (2)x＝10eq \r(2)sin (eq \f(π,4)t) cm
解析 (1)由题图读出振幅A＝10eq \r(2) cm
简谐运动方程x＝Asin (eq \f(2π,T)t) cm
代入数据得－10＝10eq \r(2)sin (eq \f(2π,T)×7) cm
解得T＝8 s.
(2)x＝Asin (eq \f(2π,T)t)＝10eq \r(2)sin (eq \f(π,4)t) cm.