苏教版高中数学必修第一册第3章不等式专题强化练3利用基本不等式求最值取值范围含解析

专题强化练3　利用基本不等式求最值(取值范围)

一、选择题

1.(2020江苏苏州高一期中,)已知函数y=x+(x>-2),则 (　　)

A.y有最小值-1　　　　　　B.y有最大值-1

C.y有最小值3　　　　　　D.y有最大值3

2.(2020江苏海安曲塘高级中学高一月考,)已知正实数x,y,a满足2x+y=axy,若x+2y的最小值为3,则实数a的值为              (　　)

A.1　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9

3.(多选)(2020江苏盐城射阳中学高一期中,)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是              (　　)

A.ab≤1　　　　　　B.

C.a2+b2≥2　　　　　　D.≥2

4.(多选)(2020江苏宜兴中学高一月考,)下列不等式正确的是 (　　)

A.若x<0,则x+≤-2

B.若x∈R,则≥2

C.若x∈R,则<1

D.若x>0,则(1+x)≥4

5.(多选)(2020江苏苏州实验中学高一月考,)已知x+y=1,y>0,x≠0,则的值可能是 (　　)

A.

6.(2020江苏南京第九中学高一月考,)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)

A.　　　　　　B.[1,+∞)

C.(0,1]　　　　　　D.

二、填空题

7.(2020江苏吴江汾湖高级中学高一月考,)若一块矩形场地的面积为100m2,则该场地的一条对角线的长度的最小值为　　　　m. 

8.(2020江苏泰州中学高一期中,)已知不等式(x+y)·≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　. 

9.(2020江苏如皋中学高一期中,)已知x,y∈R,x2-xy+9y2=1,则x+3y的最大值为　　　　. 

三、解答题

10.()已知9x2+y2+4xy=10.

(1)分别求xy和3x+y的最大值;

(2)求9x2+y2的最小值和最大值.

11.()为了美化校园环境,学校打算在广场上建造一个矩形花园,中间有三个完全一样的矩形花坛,每个花坛的面积均为294平方米,花坛四周的过道宽度均为2米,如图所示,设矩形花坛的长为x米,宽为y米,整个矩形花园的面积为S平方米.

(1)试用x,y表示S;

(2)为了节约用地,当矩形花坛的长为多少米时,新建矩形花园占地最少?最少为多少平方米?

答案全解全析

专题强化练3　利用基本不等式求最值(取值范围)

一、选择题

1.C　∵x>-2,∴x+2>0,

∴y=x+=(x+2)++1≥2+1=3,当且仅当x+2=,即x=-1(x=-3舍去)时取等号,∴y有最小值3.

2.B　因为正实数x,y,a满足2x+y=axy,

所以=a,

所以x+2y=×(x+2y)

=

≥,

当且仅当,且=a时取等号.

由题意可得=3,解得a=3.故选B.

3.ACD　对于A,由2=a+b≥2得ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,故A正确;

对于B,当a=1,b=1时,不等式不成立,故B错误;

对于C,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,故C正确;

对于D,≥2,故D正确.

故选ACD.

4.AD　对于选项A,因为x<0,所以-x>0,所以-x+≥2,所以x+≤-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故A正确;

对于选项B,,设=t(t≥),则,易得t=时,t+取得最小值,最小值为,故B错误;

对于选项C,当x=0时,=1,故C错误;

对于选项D,因为x>0,所以(1+x)·≥4,当且仅当x=1时,等号成立,故D正确.故选AD.

5.CD　由x+y=1,y>0,x≠0,得y=1-x>0,则x<1且x≠0.

当0<x<1时,,当且仅当,即x=(x=-2舍去)时取等号.

当x<0时,,当且仅当,即x=-2时取等号.

综上,.故选CD.

6.B　∵xy>0,且x+y=2,

∴x>0,y>0,

∴(x+y)

=

≥

=(4+m+2),

当且仅当,即x=2y时,等号成立.

∵不等式恒成立,

∴(4+m+2)≥,

化简得m+4-5≥0,

解得≥1(≤-5舍去),即m≥1,

∴实数m的取值范围是[1,+∞).

二、填空题

7.答案　10

解析　设矩形场地的长与宽分别为xm,ym,则根据题意得xy=100,该场地的一条对角线的长度为m.

易得x2+y2≥2xy=200,当且仅当x=y=10时,等号成立,所以,

故该场地的一条对角线的长度的最小值为10m.

8.答案　9

解析　因为(x+y),当且仅当,x>0,y>0时取等号,

所以1+a+2≥16,整理得(+5)(-3)≥0,解得a≥9,故a的最小值为9.

9.答案　

解析　∵x2-xy+9y2=1,

∴x2+9y2=1+xy≥2=6xy,∴xy≤,当且仅当x=3y,即x=,y=,y=-时,等号成立.

∴(x+3y)2=x2+6xy+9y2=1+7xy≤1+7×,当且仅当x=,y=,y=-时,等号成立.

∴-,当且仅当x=,y=,y=-时,等号成立.

∴x+3y的最大值为.

三、解答题

10.解析　(1)10=9x2+y2+4xy≥2×3xy+4xy=10xy,当且仅当3x=y,即x=,y=,y=-时,等号成立,

∴xy≤1,∴xy的最大值为1.

∵9x2+y2+4xy=(3x+y)2-2xy=10,

∴(3x+y)2=10+2xy≤12,当且仅当x=,y=,y=-时,等号成立,

∴-2,当且仅当x=,y=,y=-时,等号成立,

∴3x+y的最大值为2.

(2)由(1)知xy≤1,当且仅当x=,y=,y=-时,等号成立.

∵9x2+y2+4xy=10,

∴9x2+y2=10-4xy≥10-4=6,当且仅当x=,y=,y=-时,等号成立,∴9x2+y2的最小值为6.

∵9x2+y2≥-2×3xy=-6xy,当且仅当y=-3x,即x=,y=-,y=时,等号成立,∴xy≥-.

∵9x2+y2+4xy=10,

∴,即9x2+y2≤30,

∴9x2+y2的最大值为30.

11.解析　(1)由题意得S=(x+4)(3y+8)=3xy+12y+8x+32.

(2)由题知x>0,xy=294,所以S=3×294+12×=1250,

当且仅当=x,即x=21时,等号成立.

故当矩形花坛的长为21米时,新建矩形花园占地最少,最少为1250平方米.