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2020-2021学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．（3分）＝（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．8
2．（3分）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）有15名学生参加学校举办的“最强大脑”智力竞赛，比赛结束后根据每个学生的成绩计算平均数、中位数、众数、方差，若去掉一个最高分，一个最低分，则一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．（3分）下列方程中有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣1）2＝0 B．（x﹣1）（x+1）＝0
C．（x﹣1）2＝4 D．x（x﹣1）＝0
5．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（ ）
A．（3，4） B．（﹣1，13） C．（﹣12，1） D．（﹣3，﹣4）
6．（3分）如图，将正五边形ABCDE的点C固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点D′落在直线BC上，则旋转的角度是（ ）
A．108° B．72° C．54° D．36°
7．（3分）某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个．则口罩日产量的月平均增长率是（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
8．（3分）在菱形ABCD中，记∠ABC＝α（0°＜α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作L，若AD＝2，则（ ）
A．L与α的大小有关 B．当α＝45°时，S＝
C．S随α的增大而增大 D．S随α的增大而减小
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y＝4b2﹣4b﹣3m+3，则（ ）
A．y＞﹣1 B．y≥﹣1 C．y≤1 D．y＜1
10．（3分）如图，矩形ABCD中，E，F是CD上的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD＝2，DE＝1，CF＝2，且AG＝CH，则EG+FH＝（ ）
A．+1 B． C．3 D．
二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）若在实数范围内有意义，则x满足 ．
12．（4分）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2 ．
13．（4分）已知一组数据：5，2，5，6，7，则这组数据的方差是 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连结BE，若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则BE＝ ．
15．（4分）在直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝（t＞0）的图象交点A（2，p），B（q，﹣3），则k＝ ．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，连结对角线AC，E为AC的中点，F为AB边上的动点，连结EF，作点C关于EF的对称点C′，连结C′E，C′F，若△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，则BF＝ ．
三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）请比较和的大小．
18．（8分）某区要举办中学生科普知识竞赛，我校要选拔一支代表队参赛，选拔赛满分为100分，规定85分及以上为“合格”，95分及以上为“优秀”．现将A，B两支预选队的竞赛成绩统计如表：
组别
A队
B队
平均分
88
87
中位数
90
a
方差
61
71
合格率
70%
b
优秀率
30%
25%
（1）求出表中a，b的值；
（2）若从A，B两队中选取成绩前20名（包括第20名）的学生组成代表队，小明的成绩正好是本队成绩的中位数，但他却落选了，那么小明应属于哪个队？请说明理由．
19．（8分）某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带（即图中阴影部分）．方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲；方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙．
（1）请用含a，b的代数式表示S甲和S乙；
（2）设k＝（a＞b＞0），求k的取值范围．
20．（10分）已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值；
（3）求证：M＞0．
21．（10分）如图，AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，点E是AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G，连结DF．
（1）求证：DF∥AC．
（2）连结DE，CF，若AB⊥BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形．
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，求BC的长．
22．（12分）已知反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．
（1）判断点P（﹣k，k）在第几象限；
（2）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1＝图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系；
（3）设反比例函数y2＝﹣，已知n＞0，且满足当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，求x为何值时，y1﹣y2＝2．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
2020-2021学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．（3分）＝（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．8
【分析】直接利用算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，即可得出答案．
【解答】解：＝4，
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
2．（3分）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够于原图形重合．
3．（3分）有15名学生参加学校举办的“最强大脑”智力竞赛，比赛结束后根据每个学生的成绩计算平均数、中位数、众数、方差，若去掉一个最高分，一个最低分，则一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响．
故选：B．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
4．（3分）下列方程中有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣1）2＝0 B．（x﹣1）（x+1）＝0
C．（x﹣1）2＝4 D．x（x﹣1）＝0
【分析】分别求出每个方程的根即可判断．
【解答】解：A、（x﹣1）2＝0中x1＝x2＝1，故符合题意；
B、（x﹣1）（x+1）＝0中x1＝1，x2＝﹣1，故不符合题意；
C、（x﹣1）2＝4中x1＝3，x2＝﹣1，故不符合题意；
D、x（x﹣1）＝0中x1＝0，x2＝1，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查解方程的能力，根据方程的特点灵活选择解方程的方法是解题的关键．
5．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（ ）
A．（3，4） B．（﹣1，13） C．（﹣12，1） D．（﹣3，﹣4）
【分析】根据反比例函数y＝中，系数k＝xy解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），
∴k﹣1＝3×（﹣4）＝﹣12，
符合题意的只有C：k﹣1＝﹣12×1＝﹣12．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数y＝图象上点的坐标特征，关键是熟练运用k＝xy解决问题．
6．（3分）如图，将正五边形ABCDE的点C固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点D′落在直线BC上，则旋转的角度是（ ）
A．108° B．72° C．54° D．36°
【分析】根据正多边形的性质求解正五边形ABCDE的内角的度数，由旋转的性质可得∠DCD'+∠BCD＝180°，进而可求解．
【解答】解：∵多边形ABCDE为正五边形，
∴∠BCD＝＝108°，
当按顺时针方向旋转后新五边形的顶点D′落在直线BC上时，旋转角∠DCD'+∠BCD＝180°，
∴旋转角∠DCD'＝180°﹣108°＝72°，
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握正多边形的内角的度数是解题的关键．
7．（3分）某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个．则口罩日产量的月平均增长率是（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【分析】设口罩日产量的月平均增长率是x，根据该口罩厂1月份及3月份的平均日产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设口罩日产量的月平均增长率是x，
依题意得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）在菱形ABCD中，记∠ABC＝α（0°＜α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作L，若AD＝2，则（ ）
A．L与α的大小有关 B．当α＝45°时，S＝
C．S随α的增大而增大 D．S随α的增大而减小
【分析】由菱形的性质可得AD＝AB＝BC＝CD＝2，可求L＝8，由S＝BC×AE＝2AE，可得S随AE的增大而增大，而AE随α的增大而增大，则S随α的增大而增大，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，
∴L＝AD+AB+BC+CD＝8，故选项A不合题意，
当α＝45°，AE⊥BC时，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AE，
∴AB＝BE＝2，
∴BE＝AE＝，
∴S＝BC×AE＝2，故选项B不合题意；
∵S＝BC×AE＝2AE，
∴S随AE的增大而增大，
∵AE随α的增大而增大，
∴S随α的增大而增大，故选项C符合题意，选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握菱形的面积的公式是解题的关键．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y＝4b2﹣4b﹣3m+3，则（ ）
A．y＞﹣1 B．y≥﹣1 C．y≤1 D．y＜1
【分析】先根据Δ＝1﹣m＞0得出m的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得4b2﹣4b+m＝0，整体代入，可得y的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1﹣m＞0，
∴m＜1，
∵b是方程的一个实数根，
∴b2﹣b+m＝0，
∴4b2﹣4b+m＝0，
∴y＝4b2﹣4b﹣3m+3＝3﹣4m，
∴m＝，
∴＜1，
∴y＞﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，E，F是CD上的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD＝2，DE＝1，CF＝2，且AG＝CH，则EG+FH＝（ ）
A．+1 B． C．3 D．
【分析】先过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形，四边形ADEM是矩形，先判定△FCH≌△QAG（ASA），得出AQ＝CF＝2，FH＝QG，然后在Rt△EMQ中，根据勾股定理求得EQ＝＝，即可得到EG+QG＝EG+FH＝．
【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形．
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF＝∠AGQ＝90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH＝∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ＝CF＝2，FH＝QG，
∵∠D＝∠DAM＝∠AME＝90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM＝DE＝1，EM＝AD＝2，
∴MQ＝2﹣1＝1，
∴Rt△EMQ中，EQ＝＝＝，
即EG+QG＝EG+FH＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形、矩形以及全等三角形，根据矩形对边相等及全等三角形对应边相等进行计算求解．
二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）若在实数范围内有意义，则x满足 x≥3 ．
【分析】根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：在实数范围内有意义，则x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
12．（4分）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2 x1＝2，x2＝1 ．
【分析】首先移项进而提取公因式（x﹣2），进而分解因式求出即可．
【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝1．
故答案为：x1＝2，x2＝1．
【点评】此题主要考查了分解因式法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
13．（4分）已知一组数据：5，2，5，6，7，则这组数据的方差是 2.8 ．
【分析】根据题意，先求出数据的平均数，由方差的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数据：其平均数＝＝5，
则其方差s2＝[（5﹣5）2+（2﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2.8；
故答案为：2.8．
【点评】本题考查数据的方差的计算，注意方差的计算公式，属于基础题．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连结BE，若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则BE＝ 8 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据线段中点的定义求出EC，根据勾股定理计算即，得到答案．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，AE＝6，DE＝5，
∴EC＝AE＝6，BC＝2DE＝10，
在Rt△BEC中，BE＝＝＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（4分）在直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝（t＞0）的图象交点A（2，p），B（q，﹣3），则k＝ ．
【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质判断点A和点B关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出A点坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值．
【解答】解：由于直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝（t＞0）的图象均关于原点对称，
∴两交点A、B关于原点对称，
∵A（2，p），B（q，﹣3），
∴q＝﹣2，p＝3，
∴A（2，3），
∵直线y＝kx经过点A，
∴3＝2k，
∴k＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例函数与一次函数的交点问题，注意反比例函数图象具有中心对称性，即关于原点对称．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，连结对角线AC，E为AC的中点，F为AB边上的动点，连结EF，作点C关于EF的对称点C′，连结C′E，C′F，若△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，则BF＝ 2﹣ ．
【分析】分两种情形，①如图1中，当点F在线段AB上时，连接C′E，C′A，作EM⊥BC于M，EN⊥PC′于N．只要证明四边形AFEC′是平行四边形即可解决问题；②如图2中，当点F在线段AB的延长线上时，同法可求．
【解答】解：如图1中，当点F在线段AB上时，连接C′E，C′A，作EM⊥CF于M，EN⊥FC′于N．
∵△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，
∴EG＝AG，
∵∠EFC＝∠EFC′，EM⊥BC于M，EN⊥FC′于N，
∴EM＝EN，
∴＝＝＝2，
∴FC＝2FG，
∵FC′＝FC，
∴FG＝C′G，
∵AG＝GE，
∴四边形AFEC′是平行四边形，
∴EC′＝AF＝EC＝AC＝＝，
∴FB＝2﹣；
故答案为2﹣．
【点评】本题属于中考填空题中的综合题．考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）请比较和的大小．
【分析】先将两数通分，然后将分子中根号外的数字平方后移到根号内，通过比较被开方数的大小得出结论．
【解答】解：∵，
，
又∵，
∴．
【点评】本题主要考查了实数大小的比较，算术平方根．将两个无理数适当变形后，通过比较被开方数的大小进行解答是解题的关键．
18．（8分）某区要举办中学生科普知识竞赛，我校要选拔一支代表队参赛，选拔赛满分为100分，规定85分及以上为“合格”，95分及以上为“优秀”．现将A，B两支预选队的竞赛成绩统计如表：
组别
A队
B队
平均分
88
87
中位数
90
a
方差
61
71
合格率
70%
b
优秀率
30%
25%
（1）求出表中a，b的值；
（2）若从A，B两队中选取成绩前20名（包括第20名）的学生组成代表队，小明的成绩正好是本队成绩的中位数，但他却落选了，那么小明应属于哪个队？请说明理由．
【分析】（1）结合条形图中的数据，根据合格率和中位数的计算方法求解即可；
（2）由A队的中位数为90分高于平均分85分可得答案．
【解答】解：（1）B队成绩的第10、11个数都是85，
B队成绩的中位数a＝＝85（分），
B队的合格率b＝×100%＝75%；
（2）小明应该属于B队．
理由：∵A队的中位数为90分高于B队的中位数85分，
∵小明的成绩正好是本队成绩的中位数，却不是A，B两队成绩的前20名，
∴小明应该属于B队．
【点评】此题考查了条形统计图，中位数，平均数，以及方差，解题的关键是根据图表得出解题所需数据及中位数的定义和意义．
19．（8分）某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带（即图中阴影部分）．方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲；方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙．
（1）请用含a，b的代数式表示S甲和S乙；
（2）设k＝（a＞b＞0），求k的取值范围．
【分析】（1）用两个长为a，宽为b的长方形面积减去中间重叠部分（边长为b的正方形面积）得S甲，用边长为（a+b）的大正方形面积减去两个边长分别为a和b的小正方形面积得S乙；
（2）根据题意列式，进行分式的化简，然后利用不等式的性质求k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，S甲＝2ab﹣b2；
S乙＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab；
（2）k＝，
∵a＞b＞0，
∴0＜＜1，
∴0＜＜，
∴﹣＜﹣＜0，
∴＜1﹣＜1，
即＜k＜1．
【点评】本题考查整式混合运算的应用，分式的化简计算及一元一次不等式的性质，准确识图，利用数形结合思想解题是关键．
20．（10分）已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值；
（3）求证：M＞0．
【分析】（1）将M＝3的值代入，解一元二次方程即可；
（2）令M相等，解一元二次方程即可；
（3）将M配方，即可得．
【解答】解：（1）当M＝3时，
x2﹣x+1＝3，
即x2﹣x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
（2）若M＝3x2+1，
则x2﹣x+1＝3x2+1，
即2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣，
当x1＝0时，M＝1，
当x2＝﹣时，M＝3×（﹣）2+1＝1+＝；
（3）M＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，
∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+≥，
∴M＞0．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，配方法的应用和偶次幂为非负数等知识，解题的关键是根据题意列出方程．
21．（10分）如图，AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，点E是AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G，连结DF．
（1）求证：DF∥AC．
（2）连结DE，CF，若AB⊥BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形．
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，求BC的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OB＝OD，再证OE是△BDF的中位线，即可得出结论；
（2）证△DFG≌△CEG（ASA），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD⊥BF，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得EF＝CD＝AB＝2，EF⊥CD，CG＝DG＝EG＝FG＝EF＝1，再求出BG＝BE+EG＝3，然后由勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF＝BE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴DF∥AC；
（2）证明：由（1）得：DF∥AC，
∴∠FDG＝∠ECG，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥BF，
∴CD⊥BF，
∴平行四边形CFDE是菱形；
（3）解：∵四边形CFDE是正方形，
∴EF＝CD＝AB＝2，EF⊥CD，
∴CG＝DG＝EG＝FG＝EF＝1，
∵BE＝EF＝2，
∴BG＝BE+EG＝3，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明△DFG≌△CEG是解题的关键．
22．（12分）已知反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．
（1）判断点P（﹣k，k）在第几象限；
（2）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1＝图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系；
（3）设反比例函数y2＝﹣，已知n＞0，且满足当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，求x为何值时，y1﹣y2＝2．
【分析】（1）由反比例函数图象经过一三象限确定k的取值范围，从而判断点P所在象限；
（2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断；
（3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时x的值，从而列方程求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限，
∴k＞0，﹣k＜0，
∴点P（﹣k，k）在第二象限；
（2）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限，
∴在每一象限内y1随x的增大而减小，
又∵点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）在反比例函数y1＝（k≠0）上，且点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）位于第一象限，
∴可得，
解得：a＞c＞b，
∴a，b，c的大小关系为：a＞c＞b；
（3）∵k＞0，
∴反比例函数y2＝﹣位于第二、四象限，
∴在每一象限内y2随x的增大而增大，
又∵n＞0，当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，
∴当x＝n时，y1＝2n；当x＝n+2时，y2＝﹣n，
∴2n2＝n（n+2），
解得：n＝0（不合题意，舍去）或n＝2，
∴当x＝n＝2时，y1＝4代入y1＝中，
k＝2×4＝8，
∴y1＝，y2＝﹣，
若y1﹣y2＝2，
∴﹣（﹣）＝2，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，
∴当x＝8时，y1﹣y2＝2．
【点评】本题考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
【分析】（1）由正方形的性质，求出∠ADE＝70°，再根据三角形内角和定理求解即可即可求解．
（2）由等腰三角形的性质可得DG是AE的垂直平分线，可得AG＝GE，由四边形内角和定理，可求∠GEA＝45°，即可求解．
（3）由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可求AC，AG的长，在Rt△ACG中，利用勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°．
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．
【点评】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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日期：2021/8/31 21:59:34；用户：初中数学；邮箱：hzjf555@xyh.com；学号：24117474
2020-2021学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．（3分）＝（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．8
2．（3分）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）有15名学生参加学校举办的“最强大脑”智力竞赛，比赛结束后根据每个学生的成绩计算平均数、中位数、众数、方差，若去掉一个最高分，一个最低分，则一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．（3分）下列方程中有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣1）2＝0 B．（x﹣1）（x+1）＝0
C．（x﹣1）2＝4 D．x（x﹣1）＝0
5．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（ ）
A．（3，4） B．（﹣1，13） C．（﹣12，1） D．（﹣3，﹣4）
6．（3分）如图，将正五边形ABCDE的点C固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点D′落在直线BC上，则旋转的角度是（ ）
A．108° B．72° C．54° D．36°
7．（3分）某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个．则口罩日产量的月平均增长率是（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
8．（3分）在菱形ABCD中，记∠ABC＝α（0°＜α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作L，若AD＝2，则（ ）
A．L与α的大小有关 B．当α＝45°时，S＝
C．S随α的增大而增大 D．S随α的增大而减小
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y＝4b2﹣4b﹣3m+3，则（ ）
A．y＞﹣1 B．y≥﹣1 C．y≤1 D．y＜1
10．（3分）如图，矩形ABCD中，E，F是CD上的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD＝2，DE＝1，CF＝2，且AG＝CH，则EG+FH＝（ ）
A．+1 B． C．3 D．
二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）若在实数范围内有意义，则x满足 ．
12．（4分）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2 ．
13．（4分）已知一组数据：5，2，5，6，7，则这组数据的方差是 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连结BE，若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则BE＝ ．
15．（4分）在直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝（t＞0）的图象交点A（2，p），B（q，﹣3），则k＝ ．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，连结对角线AC，E为AC的中点，F为AB边上的动点，连结EF，作点C关于EF的对称点C′，连结C′E，C′F，若△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，则BF＝ ．
三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）请比较和的大小．
18．（8分）某区要举办中学生科普知识竞赛，我校要选拔一支代表队参赛，选拔赛满分为100分，规定85分及以上为“合格”，95分及以上为“优秀”．现将A，B两支预选队的竞赛成绩统计如表：
组别
A队
B队
平均分
88
87
中位数
90
a
方差
61
71
合格率
70%
b
优秀率
30%
25%
（1）求出表中a，b的值；
（2）若从A，B两队中选取成绩前20名（包括第20名）的学生组成代表队，小明的成绩正好是本队成绩的中位数，但他却落选了，那么小明应属于哪个队？请说明理由．
19．（8分）某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带（即图中阴影部分）．方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲；方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙．
（1）请用含a，b的代数式表示S甲和S乙；
（2）设k＝（a＞b＞0），求k的取值范围．
20．（10分）已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值；
（3）求证：M＞0．
21．（10分）如图，AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，点E是AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G，连结DF．
（1）求证：DF∥AC．
（2）连结DE，CF，若AB⊥BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形．
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，求BC的长．
22．（12分）已知反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．
（1）判断点P（﹣k，k）在第几象限；
（2）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1＝图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系；
（3）设反比例函数y2＝﹣，已知n＞0，且满足当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，求x为何值时，y1﹣y2＝2．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
2020-2021学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．（3分）＝（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．8
【分析】直接利用算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，即可得出答案．
【解答】解：＝4，
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
2．（3分）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够于原图形重合．
3．（3分）有15名学生参加学校举办的“最强大脑”智力竞赛，比赛结束后根据每个学生的成绩计算平均数、中位数、众数、方差，若去掉一个最高分，一个最低分，则一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响．
故选：B．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
4．（3分）下列方程中有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣1）2＝0 B．（x﹣1）（x+1）＝0
C．（x﹣1）2＝4 D．x（x﹣1）＝0
【分析】分别求出每个方程的根即可判断．
【解答】解：A、（x﹣1）2＝0中x1＝x2＝1，故符合题意；
B、（x﹣1）（x+1）＝0中x1＝1，x2＝﹣1，故不符合题意；
C、（x﹣1）2＝4中x1＝3，x2＝﹣1，故不符合题意；
D、x（x﹣1）＝0中x1＝0，x2＝1，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查解方程的能力，根据方程的特点灵活选择解方程的方法是解题的关键．
5．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（ ）
A．（3，4） B．（﹣1，13） C．（﹣12，1） D．（﹣3，﹣4）
【分析】根据反比例函数y＝中，系数k＝xy解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），
∴k﹣1＝3×（﹣4）＝﹣12，
符合题意的只有C：k﹣1＝﹣12×1＝﹣12．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数y＝图象上点的坐标特征，关键是熟练运用k＝xy解决问题．
6．（3分）如图，将正五边形ABCDE的点C固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点D′落在直线BC上，则旋转的角度是（ ）
A．108° B．72° C．54° D．36°
【分析】根据正多边形的性质求解正五边形ABCDE的内角的度数，由旋转的性质可得∠DCD'+∠BCD＝180°，进而可求解．
【解答】解：∵多边形ABCDE为正五边形，
∴∠BCD＝＝108°，
当按顺时针方向旋转后新五边形的顶点D′落在直线BC上时，旋转角∠DCD'+∠BCD＝180°，
∴旋转角∠DCD'＝180°﹣108°＝72°，
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握正多边形的内角的度数是解题的关键．
7．（3分）某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个．则口罩日产量的月平均增长率是（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【分析】设口罩日产量的月平均增长率是x，根据该口罩厂1月份及3月份的平均日产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设口罩日产量的月平均增长率是x，
依题意得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）在菱形ABCD中，记∠ABC＝α（0°＜α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作L，若AD＝2，则（ ）
A．L与α的大小有关 B．当α＝45°时，S＝
C．S随α的增大而增大 D．S随α的增大而减小
【分析】由菱形的性质可得AD＝AB＝BC＝CD＝2，可求L＝8，由S＝BC×AE＝2AE，可得S随AE的增大而增大，而AE随α的增大而增大，则S随α的增大而增大，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，
∴L＝AD+AB+BC+CD＝8，故选项A不合题意，
当α＝45°，AE⊥BC时，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AE，
∴AB＝BE＝2，
∴BE＝AE＝，
∴S＝BC×AE＝2，故选项B不合题意；
∵S＝BC×AE＝2AE，
∴S随AE的增大而增大，
∵AE随α的增大而增大，
∴S随α的增大而增大，故选项C符合题意，选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握菱形的面积的公式是解题的关键．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y＝4b2﹣4b﹣3m+3，则（ ）
A．y＞﹣1 B．y≥﹣1 C．y≤1 D．y＜1
【分析】先根据Δ＝1﹣m＞0得出m的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得4b2﹣4b+m＝0，整体代入，可得y的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1﹣m＞0，
∴m＜1，
∵b是方程的一个实数根，
∴b2﹣b+m＝0，
∴4b2﹣4b+m＝0，
∴y＝4b2﹣4b﹣3m+3＝3﹣4m，
∴m＝，
∴＜1，
∴y＞﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，E，F是CD上的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD＝2，DE＝1，CF＝2，且AG＝CH，则EG+FH＝（ ）
A．+1 B． C．3 D．
【分析】先过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形，四边形ADEM是矩形，先判定△FCH≌△QAG（ASA），得出AQ＝CF＝2，FH＝QG，然后在Rt△EMQ中，根据勾股定理求得EQ＝＝，即可得到EG+QG＝EG+FH＝．
【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形．
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF＝∠AGQ＝90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH＝∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ＝CF＝2，FH＝QG，
∵∠D＝∠DAM＝∠AME＝90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM＝DE＝1，EM＝AD＝2，
∴MQ＝2﹣1＝1，
∴Rt△EMQ中，EQ＝＝＝，
即EG+QG＝EG+FH＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形、矩形以及全等三角形，根据矩形对边相等及全等三角形对应边相等进行计算求解．
二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）若在实数范围内有意义，则x满足 x≥3 ．
【分析】根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：在实数范围内有意义，则x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
12．（4分）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2 x1＝2，x2＝1 ．
【分析】首先移项进而提取公因式（x﹣2），进而分解因式求出即可．
【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝1．
故答案为：x1＝2，x2＝1．
【点评】此题主要考查了分解因式法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
13．（4分）已知一组数据：5，2，5，6，7，则这组数据的方差是 2.8 ．
【分析】根据题意，先求出数据的平均数，由方差的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数据：其平均数＝＝5，
则其方差s2＝[（5﹣5）2+（2﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2.8；
故答案为：2.8．
【点评】本题考查数据的方差的计算，注意方差的计算公式，属于基础题．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连结BE，若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则BE＝ 8 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据线段中点的定义求出EC，根据勾股定理计算即，得到答案．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，AE＝6，DE＝5，
∴EC＝AE＝6，BC＝2DE＝10，
在Rt△BEC中，BE＝＝＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（4分）在直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝（t＞0）的图象交点A（2，p），B（q，﹣3），则k＝ ．
【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质判断点A和点B关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出A点坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值．
【解答】解：由于直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝（t＞0）的图象均关于原点对称，
∴两交点A、B关于原点对称，
∵A（2，p），B（q，﹣3），
∴q＝﹣2，p＝3，
∴A（2，3），
∵直线y＝kx经过点A，
∴3＝2k，
∴k＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例函数与一次函数的交点问题，注意反比例函数图象具有中心对称性，即关于原点对称．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，连结对角线AC，E为AC的中点，F为AB边上的动点，连结EF，作点C关于EF的对称点C′，连结C′E，C′F，若△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，则BF＝ 2﹣ ．
【分析】分两种情形，①如图1中，当点F在线段AB上时，连接C′E，C′A，作EM⊥BC于M，EN⊥PC′于N．只要证明四边形AFEC′是平行四边形即可解决问题；②如图2中，当点F在线段AB的延长线上时，同法可求．
【解答】解：如图1中，当点F在线段AB上时，连接C′E，C′A，作EM⊥CF于M，EN⊥FC′于N．
∵△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，
∴EG＝AG，
∵∠EFC＝∠EFC′，EM⊥BC于M，EN⊥FC′于N，
∴EM＝EN，
∴＝＝＝2，
∴FC＝2FG，
∵FC′＝FC，
∴FG＝C′G，
∵AG＝GE，
∴四边形AFEC′是平行四边形，
∴EC′＝AF＝EC＝AC＝＝，
∴FB＝2﹣；
故答案为2﹣．
【点评】本题属于中考填空题中的综合题．考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）请比较和的大小．
【分析】先将两数通分，然后将分子中根号外的数字平方后移到根号内，通过比较被开方数的大小得出结论．
【解答】解：∵，
，
又∵，
∴．
【点评】本题主要考查了实数大小的比较，算术平方根．将两个无理数适当变形后，通过比较被开方数的大小进行解答是解题的关键．
18．（8分）某区要举办中学生科普知识竞赛，我校要选拔一支代表队参赛，选拔赛满分为100分，规定85分及以上为“合格”，95分及以上为“优秀”．现将A，B两支预选队的竞赛成绩统计如表：
组别
A队
B队
平均分
88
87
中位数
90
a
方差
61
71
合格率
70%
b
优秀率
30%
25%
（1）求出表中a，b的值；
（2）若从A，B两队中选取成绩前20名（包括第20名）的学生组成代表队，小明的成绩正好是本队成绩的中位数，但他却落选了，那么小明应属于哪个队？请说明理由．
【分析】（1）结合条形图中的数据，根据合格率和中位数的计算方法求解即可；
（2）由A队的中位数为90分高于平均分85分可得答案．
【解答】解：（1）B队成绩的第10、11个数都是85，
B队成绩的中位数a＝＝85（分），
B队的合格率b＝×100%＝75%；
（2）小明应该属于B队．
理由：∵A队的中位数为90分高于B队的中位数85分，
∵小明的成绩正好是本队成绩的中位数，却不是A，B两队成绩的前20名，
∴小明应该属于B队．
【点评】此题考查了条形统计图，中位数，平均数，以及方差，解题的关键是根据图表得出解题所需数据及中位数的定义和意义．
19．（8分）某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带（即图中阴影部分）．方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲；方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙．
（1）请用含a，b的代数式表示S甲和S乙；
（2）设k＝（a＞b＞0），求k的取值范围．
【分析】（1）用两个长为a，宽为b的长方形面积减去中间重叠部分（边长为b的正方形面积）得S甲，用边长为（a+b）的大正方形面积减去两个边长分别为a和b的小正方形面积得S乙；
（2）根据题意列式，进行分式的化简，然后利用不等式的性质求k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，S甲＝2ab﹣b2；
S乙＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab；
（2）k＝，
∵a＞b＞0，
∴0＜＜1，
∴0＜＜，
∴﹣＜﹣＜0，
∴＜1﹣＜1，
即＜k＜1．
【点评】本题考查整式混合运算的应用，分式的化简计算及一元一次不等式的性质，准确识图，利用数形结合思想解题是关键．
20．（10分）已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值；
（3）求证：M＞0．
【分析】（1）将M＝3的值代入，解一元二次方程即可；
（2）令M相等，解一元二次方程即可；
（3）将M配方，即可得．
【解答】解：（1）当M＝3时，
x2﹣x+1＝3，
即x2﹣x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
（2）若M＝3x2+1，
则x2﹣x+1＝3x2+1，
即2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣，
当x1＝0时，M＝1，
当x2＝﹣时，M＝3×（﹣）2+1＝1+＝；
（3）M＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，
∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+≥，
∴M＞0．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，配方法的应用和偶次幂为非负数等知识，解题的关键是根据题意列出方程．
21．（10分）如图，AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，点E是AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G，连结DF．
（1）求证：DF∥AC．
（2）连结DE，CF，若AB⊥BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形．
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，求BC的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OB＝OD，再证OE是△BDF的中位线，即可得出结论；
（2）证△DFG≌△CEG（ASA），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD⊥BF，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得EF＝CD＝AB＝2，EF⊥CD，CG＝DG＝EG＝FG＝EF＝1，再求出BG＝BE+EG＝3，然后由勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF＝BE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴DF∥AC；
（2）证明：由（1）得：DF∥AC，
∴∠FDG＝∠ECG，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥BF，
∴CD⊥BF，
∴平行四边形CFDE是菱形；
（3）解：∵四边形CFDE是正方形，
∴EF＝CD＝AB＝2，EF⊥CD，
∴CG＝DG＝EG＝FG＝EF＝1，
∵BE＝EF＝2，
∴BG＝BE+EG＝3，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明△DFG≌△CEG是解题的关键．
22．（12分）已知反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．
（1）判断点P（﹣k，k）在第几象限；
（2）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1＝图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系；
（3）设反比例函数y2＝﹣，已知n＞0，且满足当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，求x为何值时，y1﹣y2＝2．
【分析】（1）由反比例函数图象经过一三象限确定k的取值范围，从而判断点P所在象限；
（2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断；
（3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时x的值，从而列方程求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限，
∴k＞0，﹣k＜0，
∴点P（﹣k，k）在第二象限；
（2）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限，
∴在每一象限内y1随x的增大而减小，
又∵点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）在反比例函数y1＝（k≠0）上，且点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）位于第一象限，
∴可得，
解得：a＞c＞b，
∴a，b，c的大小关系为：a＞c＞b；
（3）∵k＞0，
∴反比例函数y2＝﹣位于第二、四象限，
∴在每一象限内y2随x的增大而增大，
又∵n＞0，当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，
∴当x＝n时，y1＝2n；当x＝n+2时，y2＝﹣n，
∴2n2＝n（n+2），
解得：n＝0（不合题意，舍去）或n＝2，
∴当x＝n＝2时，y1＝4代入y1＝中，
k＝2×4＝8，
∴y1＝，y2＝﹣，
若y1﹣y2＝2，
∴﹣（﹣）＝2，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，
∴当x＝8时，y1﹣y2＝2．
【点评】本题考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
【分析】（1）由正方形的性质，求出∠ADE＝70°，再根据三角形内角和定理求解即可即可求解．
（2）由等腰三角形的性质可得DG是AE的垂直平分线，可得AG＝GE，由四边形内角和定理，可求∠GEA＝45°，即可求解．
（3）由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可求AC，AG的长，在Rt△ACG中，利用勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°．
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．
【点评】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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日期：2021/8/31 21:59:34；用户：初中数学；邮箱：hzjf555@xyh.com；学号：24117474
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