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2020-2021学年浙江省杭州市滨江区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年浙江省杭州市滨江区八年级（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省杭州市滨江区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等边三角形
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前50%的选手晋级，选手拿到成绩后，要判断自己能否晋级，他只要知道所有参赛选手成绩的（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
4．（3分）若点（﹣2，3）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则该函数图象一定经过点（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
5．（3分）下列配方正确的是（ ）
A．x2+2x+5＝（x+1）2+6
B．x2+3x＝（x+）2﹣
C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2
D．x2﹣
6．（3分）用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°
7．（3分）正方形具有矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角互补 B．对角线相等
C．四个角相等 D．对角线互相垂直
8．（3分）如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，CD、BE的延长线交于点F，DF＝4，DE＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．6 B．8 C．20 D．24
9．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
10．（3分）关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算 （）2＝ ．
12．（4分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形．
13．（4分）若数据a，b，c的平均数是3，数据d，e平均数是2，则a，b，c，5，d，e这组数据的平均数是 ．
14．（4分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润20元．为扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价4元，平均每天可多售出20箱．若要使每天销售这种饮料获利1280元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，可列方程，得 ．
15．（4分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．若BC＝8，GH＝7，则EH＝ ．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4．若BD＝AB，则AC＝ ．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝0．
（2）．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的点，且DE＝BF，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若E是AD中点，且CE⊥AD，当CE＝4，AB＝5时，求▱ABCD的面积．
20．（10分）甲、乙二人加工同一批零件，零件内径合格尺寸是（单位：毫米）：297≤ΦD≤302．质检员分别从二人各自加工的100个零件中随机抽取5个，测得直径数据如下：
甲：302，299，296，299，299；乙：300，298，297，300，300．
（1）完成表：
平均数
中位数
众数
方差
甲
299
299
乙
299
300
（2）根据以上信息，你认为如何评价两人的加工质量？
21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AC，交边AD，AB于点F，H，连接CF，CH．
（1）求证：CF＝CH；
（2）若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．
22．（12分）反比例函数y＝（k≠0）和一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0＜x1＜x2．记s＝x1•y2，t＝x2•y1．
（1）若k＝2，
①计算s•t的值．
②当1≤s＜2时，求t的取值范围．
（2）当s：t＝1：4时，求y1和y2的值．
23．（12分）如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点．
（1）若F是CD的中点，连接OE，EF，求证：OC平分EF．
下面是小滨同学的证明过程：
证明：连接OF．
∵O是菱形ABCD对角线的交点，
∴O是BD中点．
又∵F是CD中点，
∴OF是△DBC的中位线，
∴ ， ．
又∵E是BC中点
∴ ，
∴OF＝EC．
∴OF∥EC且OF＝EC．
∴四边形OECF是平行四边形．（ ）
∴OC平分EF．（ ）
补全小滨同学的证明过程，并填写括号中的理由．
（2）如图2，点G是OD的中点，连接OE，EG．
①求证：OC平分EG．
②连接AG，若AG＝EG，求证：∠ABC+∠AGE＝180°．
2020-2021学年浙江省杭州市滨江区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等边三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项的计算错误；
B、与不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式＝×＝2，所以C选项的计算错误；
D、原式＝＝，所以D选项的计算正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法法则和乘法法则是解决问题的关键．
3．（3分）50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前50%的选手晋级，选手拿到成绩后，要判断自己能否晋级，他只要知道所有参赛选手成绩的（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
【分析】根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵有50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前50%的选手晋级，
∴晋级的有25名，
∴要判断他能否进入晋级，只需知道这些数据的中位数即可．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4．（3分）若点（﹣2，3）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则该函数图象一定经过点（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】将点（﹣2，3）代入y＝（k≠0），求出k的值，再根据k＝xy对各项进行逐一检验即可．
【解答】解：∵点（﹣2，3）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴符合此条件的只有B（﹣3，2），﹣3×2＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
5．（3分）下列配方正确的是（ ）
A．x2+2x+5＝（x+1）2+6
B．x2+3x＝（x+）2﹣
C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2
D．x2﹣
【分析】完全平方公式的掌握a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：A选项，（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4；故A不符合题意；
B选项，（x2+2×x+（）2）﹣（）2＝（x+）2﹣（）2，故B不符合题意；
C选项，3x2+6x+1＝3（x2+2x+1）﹣2＝3（x+1）2﹣2，故C符合题意；
D选项，x2﹣x+＝[x2﹣2×x+（）2]﹣（）2+＝（x﹣）2+，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式在配方法中的运用．
6．（3分）用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．（3分）正方形具有矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角互补 B．对角线相等
C．四个角相等 D．对角线互相垂直
【分析】根据正方形的性质、矩形的性质逐一进行判断即可．
【解答】解：A、对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以A选项不符合题意；
B、对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以B选项不符合题意；
C、四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以C选项不符合题意；
D、对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
8．（3分）如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，CD、BE的延长线交于点F，DF＝4，DE＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．6 B．8 C．20 D．24
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，证出∠ABE＝∠F，由AAS证明△BAE≌△FDE，得出BA＝DF＝4，即可求出平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝3，AD＝2DE＝6，
在△BAE和△FDE中，
，
∴△BAE≌△FDE（AAS），
∴AB＝DF＝4，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×（4+6）＝20．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
10．（3分）关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1
【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2﹣4a（b+1）＝0，
4a2﹣4ab﹣4a＝0，
又∵ab≠0，
∴a﹣b﹣1＝0，
即a＝b+1，
∴ax2+2ax+a＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1，
∴k＝﹣1，
，
当时，即，
，
∴a（a﹣1）＞0，
即或，
解得：a＞1或a＜0，
当时，即，
，
∴a（a﹣1）＜0，
即或，
解得：0＜a＜1，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算 （）2＝ 2 ．
【分析】直接计算即可．
【解答】解：原式＝2．
故答案是2．
【点评】本题考查了二次根式的乘方．掌握乘方的含义是关键．
12．（4分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 五 边形．
【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
故答案为：五．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键．
13．（4分）若数据a，b，c的平均数是3，数据d，e平均数是2，则a，b，c，5，d，e这组数据的平均数是 3 ．
【分析】根据数据a，b，c的平均数是3，数据d，e的平均数是2，可以得到a+b+c的和d+e的和，然后即可计算出数据a，b，c，5，d，e的平均数．
【解答】解：∵数据a，b，c的平均数是3，数据d，e的平均数是2，
∴a+b+c＝3×3＝9，d+e＝2×2＝4，
∴a，b，c，5，d，e的平均数是：（a+b+c+d+e+5）÷6＝（9+4+5）÷6＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用算术平均数的计算方法解答．
14．（4分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润20元．为扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价4元，平均每天可多售出20箱．若要使每天销售这种饮料获利1280元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，可列方程，得 （20﹣x）（100+×20）＝1280 ．
【分析】直接利用销量×每箱利润＝1280，进而得出方程求出答案．
【解答】解：设每箱应降价x元，则销售数量为：（100+×20）箱，
根据题意，得（20﹣x）（100+×20）＝1280，
故答案是：（20﹣x）（100+×20）＝1280．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每箱利润是解题关键．
15．（4分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．若BC＝8，GH＝7，则EH＝ ．
【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边BC的长．
【解答】解：∵∠HEM＝∠DEH，∠CEF＝∠FEM，
∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，
同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形．
∵AD＝AH+HD＝HM+MF＝HF＝BC＝8，GH＝7，
∴EH＝GF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】主要考查学生对翻转、折叠矩形、三角形等知识的掌握情况．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏简单的逻辑推理能力．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4．若BD＝AB，则AC＝ 2 ．
【分析】过D作DH⊥AB于点H，过C作CE⊥AB于点E，利用勾股定理即可求得AH和DH的长，进而得出AE和CE的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到AC的长．
【解答】解：如图所示，过D作DH⊥AB于点H，过C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
设AH＝x，则BH＝6﹣x，
由勾股定理得，AD2﹣AH2＝DB2﹣BH2，
即42﹣x2＝62﹣（6﹣x）2，
解得x＝，
Rt△ADH中，DH＝＝＝，
∴CE＝，
由题可得AB＝DC＝HE，
∴AH＝BE＝，
∴AE＝AB+BE＝，
Rt△ACE中，AC＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程进行计算是解决问题的关键．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；
（2）先把后面括号内提，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝（1+）×（﹣1）
＝×（2﹣1）
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
18．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝0．
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把这方程整理为3x2﹣8x﹣2＝0，然后利用公式法解方程．
【解答】解：（1）x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2；
（2）方程整理为3x2﹣8x﹣2＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝4×22，
∴x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的点，且DE＝BF，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若E是AD中点，且CE⊥AD，当CE＝4，AB＝5时，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AE＝CF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得DE＝3，则AD＝2DE＝6，再由平行四边形的面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE＝BF，
∴AD﹣DE＝BC﹣BF，
即AE＝CF，且AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，
∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝90°，
∴DE＝＝＝3，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE＝6，
∴▱ABCD的面积＝AD×CE＝6×4＝24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出DE的长是解题的关键．
20．（10分）甲、乙二人加工同一批零件，零件内径合格尺寸是（单位：毫米）：297≤ΦD≤302．质检员分别从二人各自加工的100个零件中随机抽取5个，测得直径数据如下：
甲：302，299，296，299，299；乙：300，298，297，300，300．
（1）完成表：
平均数
中位数
众数
方差
甲
299
299
299
乙
299
300
300
（2）根据以上信息，你认为如何评价两人的加工质量？
【分析】（1）将甲的数据重新排列，再根据中位数和方差的定义求解可得甲的中位数和方差，由众数的定义可得乙的众数；
（2）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可，答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）将甲数据重新排列为296、299、299、299、302，
∴甲的中位数为299，平均数为299，
∴甲的方差为×[（296﹣299）2+3×（299﹣299）2+（302﹣299）2]＝，
乙的数据中300出现次数最多，
所以乙的众数为300，
补全表格如下：
平均数
中位数
众数
方差
甲
299
299
299
乙
299
300
300
（2）由表可知，甲、乙加工零件的平均数相等，而乙加工零件的方差小于甲，
∴乙加工的零件尺寸稳定性更高，
∴乙加工零件的质量更好（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、众数及方差的定义和平均数、中位数、众数及方差的意义．
21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AC，交边AD，AB于点F，H，连接CF，CH．
（1）求证：CF＝CH；
（2）若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．
【分析】（1）利用正方形的性质得到∠FAE＝∠HAE＝45°，再证明△AEF≌△AEH得到EF＝EH，然后根据线段垂直平分线的性质得到结论；
（2）设AE＝x，根据等腰直角三角形的性质得到AF＝x，FH＝2x，利用三角形面积公式得到•2x•x＝×1•（1﹣x），然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FAE＝∠HAE＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠AEH＝90°，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（ASA），
∴EF＝EH，
∴AC垂直平分FH，
∴CF＝CH；
（2）解：设AE＝x，AF＝x，DF＝1﹣x，FH＝2AE＝2x，
∵△AFH与△CDF的面积相等，
∴•2x•x＝×1•（1﹣x），
整理得2x2+x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝（舍去），
∴AE＝．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质．
22．（12分）反比例函数y＝（k≠0）和一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0＜x1＜x2．记s＝x1•y2，t＝x2•y1．
（1）若k＝2，
①计算s•t的值．
②当1≤s＜2时，求t的取值范围．
（2）当s：t＝1：4时，求y1和y2的值．
【分析】（1）①由反比例函数y＝（k≠0）中，k＝xy得到x1y1＝x2y2＝k＝2，即可得到s•t＝x1•y2•x2•y1＝x1y1•x2y2＝2×2＝4；
②由x1＝，y2＝，s＝x1•y2，得到1≤•＜2，即可得出1≤＜2，由k＝2，解不等式组即可求得2＜t≤4；
（2）由s：t＝1：4，得出y12＝4y22，即可得出y1＝2y2，从而得出A（x2，2y2），把A（x2，2y2），B（x2，y2）代入y＝ax+2得到关于x2、y2的方程组，解方程组求得y2＝，进而即可求得y1＝．
【解答】解：（1）①∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1y1＝x2y2＝k，
∵k＝2，
∴s•t＝x1•y2•x2•y1＝x1y1•x2y2＝2×2＝4；
②∵1≤s＜2，
∴1≤x1•y2＜2，
∴1≤•＜2，
∴1≤＜2，
∵k＝2，
∴2＜t≤4；
（2）∵s：t＝1：4，
∴＝，
∴4×＝，
∵x1＝，x2＝，
∴y12＝4y22，
∴y1＝2y2，
∴A（x2，2y2），
∵一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象经过点A、B，
∴，
解得y2＝，
∴y1＝2y2＝．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，把反比例函数解析式矩形变形是解本题的关键．
23．（12分）如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点．
（1）若F是CD的中点，连接OE，EF，求证：OC平分EF．
下面是小滨同学的证明过程：
证明：连接OF．
∵O是菱形ABCD对角线的交点，
∴O是BD中点．
又∵F是CD中点，
∴OF是△DBC的中位线，
∴ OF∥BC ， OF＝BC ．
又∵E是BC中点
∴ EC＝BC ，
∴OF＝EC．
∴OF∥EC且OF＝EC．
∴四边形OECF是平行四边形．（ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）
∴OC平分EF．（ 平行四边形的对角线互相平分 ）
补全小滨同学的证明过程，并填写括号中的理由．
（2）如图2，点G是OD的中点，连接OE，EG．
①求证：OC平分EG．
②连接AG，若AG＝EG，求证：∠ABC+∠AGE＝180°．
【分析】（1）根据中位线定理，中点定义，平行四边形判定、性质即可解答；
（2）①取OC的中点F，连接GF、EF、OE，由GF是△OCD的中位线，得GF∥CD，GF＝CD，由OE是△BCD的中位线，得OE∥CD，OE＝CD，从而GF∥OE，GF＝OE，四边形OEFG是平行四边形，即可得证；
②连接CG，由菱形的对称性，可得AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，又已知AG＝EG，故CG＝EG，有∠GEC＝∠BCG，∠BAG＝∠GEC，而∠GEC+∠BEG＝180°，即得∠BAG+∠BEG＝180°，∠ABC+∠AGE＝180°．
【解答】解：（1）证明：连接OF．
∵O是菱形ABCD对角线的交点，
∴O是BD中点．
又∵F是CD中点，
∴OF是△DBC的中位线，
∴OF∥BC，OF＝BC．
又∵E是BC中点，
∴EC＝BC，
∴OF＝EC．
∴OF∥EC且OF＝EC．
∴四边形OECF是平行四边形．（ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴OC平分EF．（ 平行四边形的对角线互相平分）
故答案为：OF∥BC，OF＝BC，EC＝BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分；
（2）①取OC的中点F，连接GF、EF、OE，如图：
∵G是OD中点，F是OC中点，
∴GF是△OCD的中位线，
∴GF∥CD，GF＝CD，
∵O是BD中点，E是BC中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE＝CD，
∴GF∥OE，GF＝OE，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∴OF平分EG，即OC平分EG；
②连接CG，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴直线BD是菱形ABCD的对称轴，
∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，
∵AG＝EG
∴CG＝EG，
∴∠GEC＝∠BCG，
∴∠BAG＝∠GEC，
∵∠GEC+∠BEG＝180°，
∴∠BAG+∠BEG＝180°，
∴∠ABC+∠AGE＝180°．
【点评】本题考查菱形性质及应用，涉及三角形中位线、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造平行四边形、等腰三角形．
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日期：2021/8/31 21:59:52；用户：初中数学；邮箱：hzjf555@xyh.com；学号：24117474
2020-2021学年浙江省杭州市滨江区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等边三角形
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前50%的选手晋级，选手拿到成绩后，要判断自己能否晋级，他只要知道所有参赛选手成绩的（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
4．（3分）若点（﹣2，3）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则该函数图象一定经过点（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
5．（3分）下列配方正确的是（ ）
A．x2+2x+5＝（x+1）2+6
B．x2+3x＝（x+）2﹣
C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2
D．x2﹣
6．（3分）用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°
7．（3分）正方形具有矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角互补 B．对角线相等
C．四个角相等 D．对角线互相垂直
8．（3分）如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，CD、BE的延长线交于点F，DF＝4，DE＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．6 B．8 C．20 D．24
9．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
10．（3分）关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算 （）2＝ ．
12．（4分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形．
13．（4分）若数据a，b，c的平均数是3，数据d，e平均数是2，则a，b，c，5，d，e这组数据的平均数是 ．
14．（4分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润20元．为扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价4元，平均每天可多售出20箱．若要使每天销售这种饮料获利1280元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，可列方程，得 ．
15．（4分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．若BC＝8，GH＝7，则EH＝ ．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4．若BD＝AB，则AC＝ ．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝0．
（2）．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的点，且DE＝BF，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若E是AD中点，且CE⊥AD，当CE＝4，AB＝5时，求▱ABCD的面积．
20．（10分）甲、乙二人加工同一批零件，零件内径合格尺寸是（单位：毫米）：297≤ΦD≤302．质检员分别从二人各自加工的100个零件中随机抽取5个，测得直径数据如下：
甲：302，299，296，299，299；乙：300，298，297，300，300．
（1）完成表：
平均数
中位数
众数
方差
甲
299
299
乙
299
300
（2）根据以上信息，你认为如何评价两人的加工质量？
21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AC，交边AD，AB于点F，H，连接CF，CH．
（1）求证：CF＝CH；
（2）若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．
22．（12分）反比例函数y＝（k≠0）和一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0＜x1＜x2．记s＝x1•y2，t＝x2•y1．
（1）若k＝2，
①计算s•t的值．
②当1≤s＜2时，求t的取值范围．
（2）当s：t＝1：4时，求y1和y2的值．
23．（12分）如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点．
（1）若F是CD的中点，连接OE，EF，求证：OC平分EF．
下面是小滨同学的证明过程：
证明：连接OF．
∵O是菱形ABCD对角线的交点，
∴O是BD中点．
又∵F是CD中点，
∴OF是△DBC的中位线，
∴ ， ．
又∵E是BC中点
∴ ，
∴OF＝EC．
∴OF∥EC且OF＝EC．
∴四边形OECF是平行四边形．（ ）
∴OC平分EF．（ ）
补全小滨同学的证明过程，并填写括号中的理由．
（2）如图2，点G是OD的中点，连接OE，EG．
①求证：OC平分EG．
②连接AG，若AG＝EG，求证：∠ABC+∠AGE＝180°．
2020-2021学年浙江省杭州市滨江区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等边三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项的计算错误；
B、与不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式＝×＝2，所以C选项的计算错误；
D、原式＝＝，所以D选项的计算正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法法则和乘法法则是解决问题的关键．
3．（3分）50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前50%的选手晋级，选手拿到成绩后，要判断自己能否晋级，他只要知道所有参赛选手成绩的（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
【分析】根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵有50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前50%的选手晋级，
∴晋级的有25名，
∴要判断他能否进入晋级，只需知道这些数据的中位数即可．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4．（3分）若点（﹣2，3）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则该函数图象一定经过点（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】将点（﹣2，3）代入y＝（k≠0），求出k的值，再根据k＝xy对各项进行逐一检验即可．
【解答】解：∵点（﹣2，3）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴符合此条件的只有B（﹣3，2），﹣3×2＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
5．（3分）下列配方正确的是（ ）
A．x2+2x+5＝（x+1）2+6
B．x2+3x＝（x+）2﹣
C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2
D．x2﹣
【分析】完全平方公式的掌握a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：A选项，（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4；故A不符合题意；
B选项，（x2+2×x+（）2）﹣（）2＝（x+）2﹣（）2，故B不符合题意；
C选项，3x2+6x+1＝3（x2+2x+1）﹣2＝3（x+1）2﹣2，故C符合题意；
D选项，x2﹣x+＝[x2﹣2×x+（）2]﹣（）2+＝（x﹣）2+，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式在配方法中的运用．
6．（3分）用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．（3分）正方形具有矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角互补 B．对角线相等
C．四个角相等 D．对角线互相垂直
【分析】根据正方形的性质、矩形的性质逐一进行判断即可．
【解答】解：A、对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以A选项不符合题意；
B、对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以B选项不符合题意；
C、四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以C选项不符合题意；
D、对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
8．（3分）如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，CD、BE的延长线交于点F，DF＝4，DE＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．6 B．8 C．20 D．24
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，证出∠ABE＝∠F，由AAS证明△BAE≌△FDE，得出BA＝DF＝4，即可求出平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝3，AD＝2DE＝6，
在△BAE和△FDE中，
，
∴△BAE≌△FDE（AAS），
∴AB＝DF＝4，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×（4+6）＝20．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
10．（3分）关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1
【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2﹣4a（b+1）＝0，
4a2﹣4ab﹣4a＝0，
又∵ab≠0，
∴a﹣b﹣1＝0，
即a＝b+1，
∴ax2+2ax+a＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1，
∴k＝﹣1，
，
当时，即，
，
∴a（a﹣1）＞0，
即或，
解得：a＞1或a＜0，
当时，即，
，
∴a（a﹣1）＜0，
即或，
解得：0＜a＜1，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算 （）2＝ 2 ．
【分析】直接计算即可．
【解答】解：原式＝2．
故答案是2．
【点评】本题考查了二次根式的乘方．掌握乘方的含义是关键．
12．（4分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 五 边形．
【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
故答案为：五．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键．
13．（4分）若数据a，b，c的平均数是3，数据d，e平均数是2，则a，b，c，5，d，e这组数据的平均数是 3 ．
【分析】根据数据a，b，c的平均数是3，数据d，e的平均数是2，可以得到a+b+c的和d+e的和，然后即可计算出数据a，b，c，5，d，e的平均数．
【解答】解：∵数据a，b，c的平均数是3，数据d，e的平均数是2，
∴a+b+c＝3×3＝9，d+e＝2×2＝4，
∴a，b，c，5，d，e的平均数是：（a+b+c+d+e+5）÷6＝（9+4+5）÷6＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用算术平均数的计算方法解答．
14．（4分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润20元．为扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价4元，平均每天可多售出20箱．若要使每天销售这种饮料获利1280元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，可列方程，得 （20﹣x）（100+×20）＝1280 ．
【分析】直接利用销量×每箱利润＝1280，进而得出方程求出答案．
【解答】解：设每箱应降价x元，则销售数量为：（100+×20）箱，
根据题意，得（20﹣x）（100+×20）＝1280，
故答案是：（20﹣x）（100+×20）＝1280．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每箱利润是解题关键．
15．（4分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．若BC＝8，GH＝7，则EH＝ ．
【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边BC的长．
【解答】解：∵∠HEM＝∠DEH，∠CEF＝∠FEM，
∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，
同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形．
∵AD＝AH+HD＝HM+MF＝HF＝BC＝8，GH＝7，
∴EH＝GF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】主要考查学生对翻转、折叠矩形、三角形等知识的掌握情况．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏简单的逻辑推理能力．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4．若BD＝AB，则AC＝ 2 ．
【分析】过D作DH⊥AB于点H，过C作CE⊥AB于点E，利用勾股定理即可求得AH和DH的长，进而得出AE和CE的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到AC的长．
【解答】解：如图所示，过D作DH⊥AB于点H，过C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
设AH＝x，则BH＝6﹣x，
由勾股定理得，AD2﹣AH2＝DB2﹣BH2，
即42﹣x2＝62﹣（6﹣x）2，
解得x＝，
Rt△ADH中，DH＝＝＝，
∴CE＝，
由题可得AB＝DC＝HE，
∴AH＝BE＝，
∴AE＝AB+BE＝，
Rt△ACE中，AC＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程进行计算是解决问题的关键．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；
（2）先把后面括号内提，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝（1+）×（﹣1）
＝×（2﹣1）
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
18．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝0．
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把这方程整理为3x2﹣8x﹣2＝0，然后利用公式法解方程．
【解答】解：（1）x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2；
（2）方程整理为3x2﹣8x﹣2＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝4×22，
∴x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的点，且DE＝BF，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若E是AD中点，且CE⊥AD，当CE＝4，AB＝5时，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AE＝CF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得DE＝3，则AD＝2DE＝6，再由平行四边形的面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE＝BF，
∴AD﹣DE＝BC﹣BF，
即AE＝CF，且AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，
∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝90°，
∴DE＝＝＝3，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE＝6，
∴▱ABCD的面积＝AD×CE＝6×4＝24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出DE的长是解题的关键．
20．（10分）甲、乙二人加工同一批零件，零件内径合格尺寸是（单位：毫米）：297≤ΦD≤302．质检员分别从二人各自加工的100个零件中随机抽取5个，测得直径数据如下：
甲：302，299，296，299，299；乙：300，298，297，300，300．
（1）完成表：
平均数
中位数
众数
方差
甲
299
299
299
乙
299
300
300
（2）根据以上信息，你认为如何评价两人的加工质量？
【分析】（1）将甲的数据重新排列，再根据中位数和方差的定义求解可得甲的中位数和方差，由众数的定义可得乙的众数；
（2）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可，答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）将甲数据重新排列为296、299、299、299、302，
∴甲的中位数为299，平均数为299，
∴甲的方差为×[（296﹣299）2+3×（299﹣299）2+（302﹣299）2]＝，
乙的数据中300出现次数最多，
所以乙的众数为300，
补全表格如下：
平均数
中位数
众数
方差
甲
299
299
299
乙
299
300
300
（2）由表可知，甲、乙加工零件的平均数相等，而乙加工零件的方差小于甲，
∴乙加工的零件尺寸稳定性更高，
∴乙加工零件的质量更好（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、众数及方差的定义和平均数、中位数、众数及方差的意义．
21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AC，交边AD，AB于点F，H，连接CF，CH．
（1）求证：CF＝CH；
（2）若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．
【分析】（1）利用正方形的性质得到∠FAE＝∠HAE＝45°，再证明△AEF≌△AEH得到EF＝EH，然后根据线段垂直平分线的性质得到结论；
（2）设AE＝x，根据等腰直角三角形的性质得到AF＝x，FH＝2x，利用三角形面积公式得到•2x•x＝×1•（1﹣x），然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FAE＝∠HAE＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠AEH＝90°，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（ASA），
∴EF＝EH，
∴AC垂直平分FH，
∴CF＝CH；
（2）解：设AE＝x，AF＝x，DF＝1﹣x，FH＝2AE＝2x，
∵△AFH与△CDF的面积相等，
∴•2x•x＝×1•（1﹣x），
整理得2x2+x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝（舍去），
∴AE＝．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质．
22．（12分）反比例函数y＝（k≠0）和一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0＜x1＜x2．记s＝x1•y2，t＝x2•y1．
（1）若k＝2，
①计算s•t的值．
②当1≤s＜2时，求t的取值范围．
（2）当s：t＝1：4时，求y1和y2的值．
【分析】（1）①由反比例函数y＝（k≠0）中，k＝xy得到x1y1＝x2y2＝k＝2，即可得到s•t＝x1•y2•x2•y1＝x1y1•x2y2＝2×2＝4；
②由x1＝，y2＝，s＝x1•y2，得到1≤•＜2，即可得出1≤＜2，由k＝2，解不等式组即可求得2＜t≤4；
（2）由s：t＝1：4，得出y12＝4y22，即可得出y1＝2y2，从而得出A（x2，2y2），把A（x2，2y2），B（x2，y2）代入y＝ax+2得到关于x2、y2的方程组，解方程组求得y2＝，进而即可求得y1＝．
【解答】解：（1）①∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1y1＝x2y2＝k，
∵k＝2，
∴s•t＝x1•y2•x2•y1＝x1y1•x2y2＝2×2＝4；
②∵1≤s＜2，
∴1≤x1•y2＜2，
∴1≤•＜2，
∴1≤＜2，
∵k＝2，
∴2＜t≤4；
（2）∵s：t＝1：4，
∴＝，
∴4×＝，
∵x1＝，x2＝，
∴y12＝4y22，
∴y1＝2y2，
∴A（x2，2y2），
∵一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象经过点A、B，
∴，
解得y2＝，
∴y1＝2y2＝．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，把反比例函数解析式矩形变形是解本题的关键．
23．（12分）如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点．
（1）若F是CD的中点，连接OE，EF，求证：OC平分EF．
下面是小滨同学的证明过程：
证明：连接OF．
∵O是菱形ABCD对角线的交点，
∴O是BD中点．
又∵F是CD中点，
∴OF是△DBC的中位线，
∴ OF∥BC ， OF＝BC ．
又∵E是BC中点
∴ EC＝BC ，
∴OF＝EC．
∴OF∥EC且OF＝EC．
∴四边形OECF是平行四边形．（ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）
∴OC平分EF．（ 平行四边形的对角线互相平分 ）
补全小滨同学的证明过程，并填写括号中的理由．
（2）如图2，点G是OD的中点，连接OE，EG．
①求证：OC平分EG．
②连接AG，若AG＝EG，求证：∠ABC+∠AGE＝180°．
【分析】（1）根据中位线定理，中点定义，平行四边形判定、性质即可解答；
（2）①取OC的中点F，连接GF、EF、OE，由GF是△OCD的中位线，得GF∥CD，GF＝CD，由OE是△BCD的中位线，得OE∥CD，OE＝CD，从而GF∥OE，GF＝OE，四边形OEFG是平行四边形，即可得证；
②连接CG，由菱形的对称性，可得AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，又已知AG＝EG，故CG＝EG，有∠GEC＝∠BCG，∠BAG＝∠GEC，而∠GEC+∠BEG＝180°，即得∠BAG+∠BEG＝180°，∠ABC+∠AGE＝180°．
【解答】解：（1）证明：连接OF．
∵O是菱形ABCD对角线的交点，
∴O是BD中点．
又∵F是CD中点，
∴OF是△DBC的中位线，
∴OF∥BC，OF＝BC．
又∵E是BC中点，
∴EC＝BC，
∴OF＝EC．
∴OF∥EC且OF＝EC．
∴四边形OECF是平行四边形．（ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴OC平分EF．（ 平行四边形的对角线互相平分）
故答案为：OF∥BC，OF＝BC，EC＝BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分；
（2）①取OC的中点F，连接GF、EF、OE，如图：
∵G是OD中点，F是OC中点，
∴GF是△OCD的中位线，
∴GF∥CD，GF＝CD，
∵O是BD中点，E是BC中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE＝CD，
∴GF∥OE，GF＝OE，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∴OF平分EG，即OC平分EG；
②连接CG，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴直线BD是菱形ABCD的对称轴，
∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，
∵AG＝EG
∴CG＝EG，
∴∠GEC＝∠BCG，
∴∠BAG＝∠GEC，
∵∠GEC+∠BEG＝180°，
∴∠BAG+∠BEG＝180°，
∴∠ABC+∠AGE＝180°．
【点评】本题考查菱形性质及应用，涉及三角形中位线、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造平行四边形、等腰三角形．
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日期：2021/8/31 21:59:52；用户：初中数学；邮箱：hzjf555@xyh.com；学号：24117474
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