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2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期末数学试卷，共24页。
2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．（3分）下列所给图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a＞1 D．a≥1
3．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点（1，﹣2），则这个反比例函数的表达式是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
4．（3分）若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
5．（3分）一元二次方程4x2+1＝﹣4x的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
6．（3分）某单位采购了5箱苹果，得到每箱质量各不相同的五个数据．登记入帐时将最小的数据又少写了1，则计算结果不受影响的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．标准差
7．（3分）某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（ ）
A．2（1﹣x）＝75% B．1﹣2x＝75%
C．1﹣x+（1﹣x）2＝75% D．（1﹣x）2＝75%
8．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
9．（3分）小明家需购买一张大圆桌面（不能折叠，不考虑木板厚度），若入户门的高为2.1米，宽为1.1米，则尽可能大的圆桌的直径可以是（ ）
A．2.45米 B．2.40米 C．2.35米 D．2.30米
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为（ ）
A．3﹣4 B．3﹣2 C． D．
二.填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）＝ ．
12．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是2，则m的值为 ．
13．（4分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝200°，那么∠B的度数是 度．
14．（4分）某校学生的数学期末总评成绩由参与数学活动，作业，期末考试成绩三部分组成，各部分所占比例如图所示．小明参与数学活动，作业和期末考试得分依次为88分，80分，85分，则小明的数学期末总评成绩是 分．
15．（4分）对于反比例函数y＝﹣，当y＞4时，x的取值范围是 ；当x＜2且x≠0时，y的取值范围是 ．
16．（4分）如图，对折矩形纸片ABCD，使边AD与BC重合，折痕为EF，将纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕BH交EF于点M．若＝m（m＞1），则的值为 ．（用含m的代数式表示）
三.解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：
（1）﹣+；
（2）（1+）（2﹣）．
18．（8分）解方程：
（1）4x2＝12x；
（2）3x2﹣4x﹣2＝0．
19．（8分）某校为了解八年级学生的体能情况，抽取了部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，并将测试成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
（1）参加测试的学生一分钟跳绳的平均次数至少是多少？
（2）小明的跳绳次数恰好与参加测试学生跳绳次数的中位数相同，请写出小明跳绳次数所在的范围；
（3）该年级共有600名学生，试估计一分钟跳绳次数不低于160次的人数．
20．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的长．
21．（10分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9．
（1）若把实数对（﹣5，2）放入其中，得到的实数是多少？
（2）若把实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，求m的值．
（3）小明说，若把实数对（n，3n﹣1）放入其中，得到的实数可能小于﹣15．你认为小明的说法正确吗？为什么？
22．（12分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，当电阻R＝9Ω时，电流I＝4A．
（1）求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围；
（2）画出所求函数的图象；
（3）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过10A，求用电器可变电阻应控制在什么范围？
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E．
（1）若CE＝4，AE＝2BE，求菱形ABCD的周长；
（2）连结BD交CE于点F；
①若DF＝BF+2EF，求证：AE＝BE．
②设四边形AEFD和△CDF的面积分别是S1和S2，若AE＝4，S1﹣S2＝2，求线段BF的长．
2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．（3分）下列所给图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a＞1 D．a≥1
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a+1≥0，
解得a≥﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点（1，﹣2），则这个反比例函数的表达式是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
【分析】把（1，﹣2）代入y＝（k≠0）中求出k的值，从而得到反比例函数解析式．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点（1，﹣2），
∴k＝1×（﹣2）＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
4．（3分）若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
5．（3分）一元二次方程4x2+1＝﹣4x的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【分析】把方程化为一般形式，计算其判别式，即可求得答案．
【解答】解：方程4x2+1＝﹣4x化为一般形式为4x2+4x+1＝0，
∴Δ＝42﹣4×4×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
6．（3分）某单位采购了5箱苹果，得到每箱质量各不相同的五个数据．登记入帐时将最小的数据又少写了1，则计算结果不受影响的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．标准差
【分析】根据中位数的定义可知登记入帐时将最小的数据又少写了1，计算结果不受影响的是中位数．
【解答】解：登记入帐时将最小的数据又少写了1，计算结果不受影响的是中位数，
故选：A．
【点评】本题主要考查标准差、中位数、平均数及方差，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．（3分）某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（ ）
A．2（1﹣x）＝75% B．1﹣2x＝75%
C．1﹣x+（1﹣x）2＝75% D．（1﹣x）2＝75%
【分析】根据今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：（1﹣x）2＝75%．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝π＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴y1＜0，y2＜0，y3＞0，
∵在第三象限y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
∴y3＞y1＞y2．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键．
9．（3分）小明家需购买一张大圆桌面（不能折叠，不考虑木板厚度），若入户门的高为2.1米，宽为1.1米，则尽可能大的圆桌的直径可以是（ ）
A．2.45米 B．2.40米 C．2.35米 D．2.30米
【分析】尽可能大的圆桌的直径可以是入户门对角线的长度．
【解答】解：∵入户门的高为2.1米，宽为1.1米，
∴入户门对角线为：≈2.37（米），
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，明确尽可能大的圆桌的直径可以是入户门对角线的长度是解题的关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为（ ）
A．3﹣4 B．3﹣2 C． D．
【分析】在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∠BAC＝45°，∠ACD＝45°．AB＝2，则AC＝2．由CE＝DF，可推断BE＝CF，故△ABE≌△BCF，那么∠BAE＝∠CBF，进而得出BF⊥AE．另外，BG＝GH，故∠BAE＝∠CBF＝22.5°，AB＝AH＝2，那么∠BFC＝∠CHF＝67.5°，从而推导出CH＝CF＝2﹣2．最终推断出．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥CH于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝2，∠BAC＝，∠ACD＝．
∴AC＝，∠BAC＝45°，∠ACD＝45°．
又∵CE＝DF，
∴BC﹣CE＝CD﹣DF．
∴BE＝CF．
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴∠1＝∠2．
又∵∠ABE＝∠ABG+∠2＝90°，
∴∠ABG+∠1＝90°．
∴∠AGB＝180°﹣（∠ABG+∠1）＝90°．
又∵BG＝GH，
∴AH＝AB＝2．
∴CH＝AC﹣AH＝﹣2．
在△ABG和△AHG中，
∴△ABG≌△AHG（SSS）．
∴∠1＝∠HAG．
∴∠BAC＝∠1+∠HAG＝2∠1＝45°．
∴∠1＝22.5°．
∴∠2＝∠1＝22.5°．
∴∠BFC＝180°﹣∠2﹣∠BCF＝180°﹣22.5°﹣90°＝67.5°．
∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠HFC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°．
∴∠CHF＝∠CFH．
∴CH＝CF＝．
∵MF⊥HC，∠ACD＝45°，
∴∠MFC＝180°﹣∠FMC﹣∠MCF＝45°．
∴FM＝MC．
在△FMC中，FC2＝MC2+MF2．
∴＝2MF2．
∴MF＝2﹣．
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角形面积，熟练掌握全等三角形的性质与判定、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角形面积是解题关键．
二.填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）＝ 4 ．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：原式＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题好查了算术平方根，＝|a|＝a （a≥0）是解题关键．
12．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是2，则m的值为 ﹣ ．
【分析】把x＝2代入关于的x方程x2+mx+3＝0，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵x＝2是关于的x方程x2+mx+3＝0的一个根，
∴4+2m+3＝0，
解得m＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
13．（4分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝200°，那么∠B的度数是 80 度．
【分析】由在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝200°，即可求得∠A的度数，又由平行四边形的邻角互补，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠A＝80°．
故答案为：80．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补定理的应用是解此题的关键．
14．（4分）某校学生的数学期末总评成绩由参与数学活动，作业，期末考试成绩三部分组成，各部分所占比例如图所示．小明参与数学活动，作业和期末考试得分依次为88分，80分，85分，则小明的数学期末总评成绩是 84 分．
【分析】用各项目的分数分别乘以其对应的百分比，再求和即可．
【解答】解：小明的数学期末总评成绩是88×25%+80×35%+85×40%＝84（分），
故答案为：84．
【点评】本题主要考查扇形统计图和加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
15．（4分）对于反比例函数y＝﹣，当y＞4时，x的取值范围是 ﹣3＜x＜0 ；当x＜2且x≠0时，y的取值范围是 y＜﹣6或y＞0 ．
【分析】画出反比例函数y＝﹣的图象，找到直线y＝4上方的函数图象所对应的自变量的取值范围；直线x＝2左方所对应的图象的函数值的取值即为x＜2且x≠0时y的取值范围．
【解答】解：反比例函数y＝﹣的图象为：
由图象可以看出，在直线y＝4的上方，函数图象所对应的取值为﹣3＜x＜0；
在直线x＝2的左边，图象所对应的y的值在第四象限的取值为y＜﹣6，在第二象限y的值为y＞0；
故答案为：﹣3＜x＜0；y＜﹣6或y＞0．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
16．（4分）如图，对折矩形纸片ABCD，使边AD与BC重合，折痕为EF，将纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕BH交EF于点M．若＝m（m＞1），则的值为 2m﹣3 ．（用含m的代数式表示）
【分析】已知＝m（m＞1），设BC＝m，则AB＝1，由折叠可知，AE＝BE＝，∠GEB＝90°，AB＝BG＝1，∠ABH＝∠GBH；在Rt△BEG中，BE＝，BG＝1，则∠EGB＝30°，EG＝BE＝，可得∠EBG＝60°，即∠ABH＝∠GBH＝30°，FG＝EF﹣EG＝m﹣；在Rt△BEM中，EM＝BE＝，所以＝＝2m﹣3．
【解答】解：已知＝m（m＞1），
设BC＝m，则AB＝1，
对折矩形纸片ABCD，使边AD与BC重合，折痕为EF，
则AE＝BE＝，∠GEB＝90°，
由点A落在EF上的点G处，折痕BH交EF于点M，可知，
AB＝BG＝1，∠ABH＝∠GBH
在Rt△BEG中，BE＝，BG＝1，
∴∠EGB＝30°，EG＝BE＝，
∴∠EBG＝60°，即∠ABH＝∠GBH＝30°，
∵EF＝BC＝m，
∴FG＝EF﹣EG＝m﹣，
在Rt△BEM中，EM＝BE＝，
∴＝＝2m﹣3．
故答案为：2m﹣3．
【点评】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，含30°的直角三角形等内容，由直角三角形两直角边的关系得出30°角是解题关键．
三.解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：
（1）﹣+；
（2）（1+）（2﹣）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可解答本题；
（2）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）﹣+
＝2﹣+3
＝4；
（2）（1+）（2﹣）
＝2﹣+2﹣2
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18．（8分）解方程：
（1）4x2＝12x；
（2）3x2﹣4x﹣2＝0．
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）找出方程中a，b，c的值，代入求根公式计算即可求出解．
【解答】解：（1）方程移项得：4x2﹣12x＝0，
分解因式得：4x（x﹣3）＝0，
可得4x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3；
（2）方程3x2﹣4x﹣2＝0，
这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，
∵△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝16+24＝40＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
19．（8分）某校为了解八年级学生的体能情况，抽取了部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，并将测试成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
（1）参加测试的学生一分钟跳绳的平均次数至少是多少？
（2）小明的跳绳次数恰好与参加测试学生跳绳次数的中位数相同，请写出小明跳绳次数所在的范围；
（3）该年级共有600名学生，试估计一分钟跳绳次数不低于160次的人数．
【分析】（1）利用加权平均数的计算方法即可求解；
（2）知道总数，依据频率可求出频数，已知频数可求出频率；
（3）样本估计总体，样本中一分钟跳绳次数不少于120次所占的百分比为（0.225+0.3+0.15），进而求出人数．
【解答】解：（1）＝142（次），
答：参加测试的学生一分钟跳绳的平均次数至少是142次；
（2）∵共抽取人数为3+10+15+6+4+2＝40（人），
∴将测试成绩整理从小到大排列，中位数是第20，21个数的平均数，
∵由频数分布直方图得，第20，21个数都在140～160的范围，
∴小明跳绳次数所在的范围是140～160；
（3）600×＝180（人），
答：估计一分钟跳绳次数不低于160次的人数有180人．
【点评】本题考查频数分布直方图，加权平均数，中位数，从统计图表中获取数量和数量之间的关系，求出是共抽取的人数解决问题的关键．
20．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC＝4，则OA＝AC＝2，再由勾股定理求出OB＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝，
∵∠BAO＝90°，E是OB的中点，
∴AE＝OB＝．
【点评】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．
21．（10分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9．
（1）若把实数对（﹣5，2）放入其中，得到的实数是多少？
（2）若把实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，求m的值．
（3）小明说，若把实数对（n，3n﹣1）放入其中，得到的实数可能小于﹣15．你认为小明的说法正确吗？为什么？
【分析】（1）由已知可得（﹣5）2+2×2﹣3＝25+4﹣3＝26；
（2）由已知可得m2+2×（﹣3m）﹣3＝m2﹣6m﹣3＝4，整理得m2﹣6m﹣7＝0，解方程即可；
（3）由已知可得n2+2×（3n﹣1）﹣3＝n2+6n﹣2﹣3＝n2+6n﹣5＝（n+3）2﹣14≥﹣14，所以可以确定小明说法不正确．
【解答】解：（1）∵（a，b）进入得到a2+2b﹣3，
∴（﹣5，2）放入后得到（﹣5）2+2×2﹣3＝25+4﹣3＝26；
（2）（m，﹣3m）放入后得到m2+2×（﹣3m）﹣3＝m2﹣6m﹣3＝4，
∴m2﹣6m﹣7＝0，
解得m＝7或m＝﹣1；
（3）小明说法不正确，理由如下：
（n，3n﹣1）放入后得到n2+2×（3n﹣1）﹣3＝n2+6n﹣2﹣3＝n2+6n﹣5＝（n+3）2﹣14≥﹣14，
∴得到的实数不可能小于﹣15，
∴小明说法不正确．
【点评】本题考查实数的运算，能够理解题中所给信息，将该信息转化为实数的运算，结合一元二次方程、配方法解题是解决本题的关键．
22．（12分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，当电阻R＝9Ω时，电流I＝4A．
（1）求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围；
（2）画出所求函数的图象；
（3）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过10A，求用电器可变电阻应控制在什么范围？
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将R＝9Ω，I＝4A代入利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将R的值分别代入（1）中所求的函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成图表，并描点画图；
（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，
∵R＝9Ω时，I＝4A，
∴4＝，
解得k＝4×9＝36，
∴I＝（R＞0）；
（2）列表如下：
R/Ω
…
3
4
5
6
8
9
10
12
…
I/A
…
12
9
7.2
6
4.5
4
3.6
3
…
（3）∵I≤10，I＝，
∴≤10，
∴R≥3.6，
即用电器可变电阻应控制在不低于3.6Ω的范围内．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E．
（1）若CE＝4，AE＝2BE，求菱形ABCD的周长；
（2）连结BD交CE于点F；
①若DF＝BF+2EF，求证：AE＝BE．
②设四边形AEFD和△CDF的面积分别是S1和S2，若AE＝4，S1﹣S2＝2，求线段BF的长．
【分析】（1）由AE＝2BE得AB＝3BE，根据菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝3BE，在Rt△BCE中，根据勾股定理求出BE，即可得菱形ABCD的周长；
（2）①连接AF，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质可得BD平分∠ABD，AC⊥BD，BO＝DO，可得DF＝DO+OF＝BF+OF+OF＝BF+2OF，由DF＝BF+2EF得OF＝EF，可得AF平分∠BAC，根据三角形角平分线的性质可得CF平分∠BCA，利用ASA可证△CBE≌△CAE，由全等三角形的性质即可得出结论；
②连接AF，连接AC交BD于点O，先证明△ADF≌△CDF，则AF＝CF，S△ADF＝S△CDF，由S1﹣S2＝2可得S△AEF＝2，可得出EF＝，根据勾股定理求出AF＝3，AC＝4，则OA＝2，设BE＝x，则BC＝x+4，然后Rt△BCE中求出BE，再在Rt△BEF中即可得线段BF的长．
【解答】（1）解：∵AE＝2BE，
∴AB＝3BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3BE，
在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，
∴BE2+42＝（3BE）2，解得：BE＝（负值舍去），
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3BE＝3，
∴菱形ABCD的周长是3×4＝12；
（2）①证明：连接AF，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABD，AC⊥BD，BO＝DO，
∴DF＝DO+OF＝BF+OF+OF＝BF+2OF，
∵DF＝BF+2EF，
∴OF＝EF，
∵CE⊥AB，AC⊥BD，
∴AF平分∠BAC，
∴CF平分∠BCA，
∴∠BCE＝∠ACE，
∵CE＝CE，∠CEB＝∠CEA＝90°，
∴△CBE≌△CAE（ASA），
∴AE＝BE；
②连接AF，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BD平分∠ADC，AD＝CD，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF＝CF，S△ADF＝S△CDF，
∵四边形AEFD和△CDF的面积分别是S1和S2，S1﹣S2＝2，
∴S1﹣S2＝S△ADF+S△AEF﹣S△CDF＝S△AEF＝2＝AE•EF，
∵AE＝4，
∴EF＝，
∴AF＝CF＝＝3，
∴CE＝EF+CF＝4，AC＝＝4，
设BE＝x，则BC＝x+4，
在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，
∴x2+（4）2＝（x+4）2，解得：x＝2，
在Rt△BEF中，BF＝＝＝．
【点评】本题考查四边形综合题，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，学会添加常用辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
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日期：2021/8/31 21:59:42；用户：初中数学；邮箱：hzjf555@xyh.com；学号：24117474
2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．（3分）下列所给图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a＞1 D．a≥1
3．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点（1，﹣2），则这个反比例函数的表达式是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
4．（3分）若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
5．（3分）一元二次方程4x2+1＝﹣4x的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
6．（3分）某单位采购了5箱苹果，得到每箱质量各不相同的五个数据．登记入帐时将最小的数据又少写了1，则计算结果不受影响的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．标准差
7．（3分）某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（ ）
A．2（1﹣x）＝75% B．1﹣2x＝75%
C．1﹣x+（1﹣x）2＝75% D．（1﹣x）2＝75%
8．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
9．（3分）小明家需购买一张大圆桌面（不能折叠，不考虑木板厚度），若入户门的高为2.1米，宽为1.1米，则尽可能大的圆桌的直径可以是（ ）
A．2.45米 B．2.40米 C．2.35米 D．2.30米
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为（ ）
A．3﹣4 B．3﹣2 C． D．
二.填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）＝ ．
12．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是2，则m的值为 ．
13．（4分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝200°，那么∠B的度数是 度．
14．（4分）某校学生的数学期末总评成绩由参与数学活动，作业，期末考试成绩三部分组成，各部分所占比例如图所示．小明参与数学活动，作业和期末考试得分依次为88分，80分，85分，则小明的数学期末总评成绩是 分．
15．（4分）对于反比例函数y＝﹣，当y＞4时，x的取值范围是 ；当x＜2且x≠0时，y的取值范围是 ．
16．（4分）如图，对折矩形纸片ABCD，使边AD与BC重合，折痕为EF，将纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕BH交EF于点M．若＝m（m＞1），则的值为 ．（用含m的代数式表示）
三.解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：
（1）﹣+；
（2）（1+）（2﹣）．
18．（8分）解方程：
（1）4x2＝12x；
（2）3x2﹣4x﹣2＝0．
19．（8分）某校为了解八年级学生的体能情况，抽取了部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，并将测试成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
（1）参加测试的学生一分钟跳绳的平均次数至少是多少？
（2）小明的跳绳次数恰好与参加测试学生跳绳次数的中位数相同，请写出小明跳绳次数所在的范围；
（3）该年级共有600名学生，试估计一分钟跳绳次数不低于160次的人数．
20．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的长．
21．（10分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9．
（1）若把实数对（﹣5，2）放入其中，得到的实数是多少？
（2）若把实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，求m的值．
（3）小明说，若把实数对（n，3n﹣1）放入其中，得到的实数可能小于﹣15．你认为小明的说法正确吗？为什么？
22．（12分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，当电阻R＝9Ω时，电流I＝4A．
（1）求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围；
（2）画出所求函数的图象；
（3）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过10A，求用电器可变电阻应控制在什么范围？
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E．
（1）若CE＝4，AE＝2BE，求菱形ABCD的周长；
（2）连结BD交CE于点F；
①若DF＝BF+2EF，求证：AE＝BE．
②设四边形AEFD和△CDF的面积分别是S1和S2，若AE＝4，S1﹣S2＝2，求线段BF的长．
2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．（3分）下列所给图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a＞1 D．a≥1
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a+1≥0，
解得a≥﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点（1，﹣2），则这个反比例函数的表达式是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
【分析】把（1，﹣2）代入y＝（k≠0）中求出k的值，从而得到反比例函数解析式．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点（1，﹣2），
∴k＝1×（﹣2）＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
4．（3分）若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
5．（3分）一元二次方程4x2+1＝﹣4x的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【分析】把方程化为一般形式，计算其判别式，即可求得答案．
【解答】解：方程4x2+1＝﹣4x化为一般形式为4x2+4x+1＝0，
∴Δ＝42﹣4×4×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
6．（3分）某单位采购了5箱苹果，得到每箱质量各不相同的五个数据．登记入帐时将最小的数据又少写了1，则计算结果不受影响的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．标准差
【分析】根据中位数的定义可知登记入帐时将最小的数据又少写了1，计算结果不受影响的是中位数．
【解答】解：登记入帐时将最小的数据又少写了1，计算结果不受影响的是中位数，
故选：A．
【点评】本题主要考查标准差、中位数、平均数及方差，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．（3分）某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（ ）
A．2（1﹣x）＝75% B．1﹣2x＝75%
C．1﹣x+（1﹣x）2＝75% D．（1﹣x）2＝75%
【分析】根据今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：（1﹣x）2＝75%．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝π＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴y1＜0，y2＜0，y3＞0，
∵在第三象限y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
∴y3＞y1＞y2．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键．
9．（3分）小明家需购买一张大圆桌面（不能折叠，不考虑木板厚度），若入户门的高为2.1米，宽为1.1米，则尽可能大的圆桌的直径可以是（ ）
A．2.45米 B．2.40米 C．2.35米 D．2.30米
【分析】尽可能大的圆桌的直径可以是入户门对角线的长度．
【解答】解：∵入户门的高为2.1米，宽为1.1米，
∴入户门对角线为：≈2.37（米），
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，明确尽可能大的圆桌的直径可以是入户门对角线的长度是解题的关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为（ ）
A．3﹣4 B．3﹣2 C． D．
【分析】在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∠BAC＝45°，∠ACD＝45°．AB＝2，则AC＝2．由CE＝DF，可推断BE＝CF，故△ABE≌△BCF，那么∠BAE＝∠CBF，进而得出BF⊥AE．另外，BG＝GH，故∠BAE＝∠CBF＝22.5°，AB＝AH＝2，那么∠BFC＝∠CHF＝67.5°，从而推导出CH＝CF＝2﹣2．最终推断出．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥CH于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝2，∠BAC＝，∠ACD＝．
∴AC＝，∠BAC＝45°，∠ACD＝45°．
又∵CE＝DF，
∴BC﹣CE＝CD﹣DF．
∴BE＝CF．
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴∠1＝∠2．
又∵∠ABE＝∠ABG+∠2＝90°，
∴∠ABG+∠1＝90°．
∴∠AGB＝180°﹣（∠ABG+∠1）＝90°．
又∵BG＝GH，
∴AH＝AB＝2．
∴CH＝AC﹣AH＝﹣2．
在△ABG和△AHG中，
∴△ABG≌△AHG（SSS）．
∴∠1＝∠HAG．
∴∠BAC＝∠1+∠HAG＝2∠1＝45°．
∴∠1＝22.5°．
∴∠2＝∠1＝22.5°．
∴∠BFC＝180°﹣∠2﹣∠BCF＝180°﹣22.5°﹣90°＝67.5°．
∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠HFC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°．
∴∠CHF＝∠CFH．
∴CH＝CF＝．
∵MF⊥HC，∠ACD＝45°，
∴∠MFC＝180°﹣∠FMC﹣∠MCF＝45°．
∴FM＝MC．
在△FMC中，FC2＝MC2+MF2．
∴＝2MF2．
∴MF＝2﹣．
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角形面积，熟练掌握全等三角形的性质与判定、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角形面积是解题关键．
二.填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）＝ 4 ．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：原式＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题好查了算术平方根，＝|a|＝a （a≥0）是解题关键．
12．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是2，则m的值为 ﹣ ．
【分析】把x＝2代入关于的x方程x2+mx+3＝0，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵x＝2是关于的x方程x2+mx+3＝0的一个根，
∴4+2m+3＝0，
解得m＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
13．（4分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝200°，那么∠B的度数是 80 度．
【分析】由在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝200°，即可求得∠A的度数，又由平行四边形的邻角互补，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠A＝80°．
故答案为：80．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补定理的应用是解此题的关键．
14．（4分）某校学生的数学期末总评成绩由参与数学活动，作业，期末考试成绩三部分组成，各部分所占比例如图所示．小明参与数学活动，作业和期末考试得分依次为88分，80分，85分，则小明的数学期末总评成绩是 84 分．
【分析】用各项目的分数分别乘以其对应的百分比，再求和即可．
【解答】解：小明的数学期末总评成绩是88×25%+80×35%+85×40%＝84（分），
故答案为：84．
【点评】本题主要考查扇形统计图和加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
15．（4分）对于反比例函数y＝﹣，当y＞4时，x的取值范围是 ﹣3＜x＜0 ；当x＜2且x≠0时，y的取值范围是 y＜﹣6或y＞0 ．
【分析】画出反比例函数y＝﹣的图象，找到直线y＝4上方的函数图象所对应的自变量的取值范围；直线x＝2左方所对应的图象的函数值的取值即为x＜2且x≠0时y的取值范围．
【解答】解：反比例函数y＝﹣的图象为：
由图象可以看出，在直线y＝4的上方，函数图象所对应的取值为﹣3＜x＜0；
在直线x＝2的左边，图象所对应的y的值在第四象限的取值为y＜﹣6，在第二象限y的值为y＞0；
故答案为：﹣3＜x＜0；y＜﹣6或y＞0．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
16．（4分）如图，对折矩形纸片ABCD，使边AD与BC重合，折痕为EF，将纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕BH交EF于点M．若＝m（m＞1），则的值为 2m﹣3 ．（用含m的代数式表示）
【分析】已知＝m（m＞1），设BC＝m，则AB＝1，由折叠可知，AE＝BE＝，∠GEB＝90°，AB＝BG＝1，∠ABH＝∠GBH；在Rt△BEG中，BE＝，BG＝1，则∠EGB＝30°，EG＝BE＝，可得∠EBG＝60°，即∠ABH＝∠GBH＝30°，FG＝EF﹣EG＝m﹣；在Rt△BEM中，EM＝BE＝，所以＝＝2m﹣3．
【解答】解：已知＝m（m＞1），
设BC＝m，则AB＝1，
对折矩形纸片ABCD，使边AD与BC重合，折痕为EF，
则AE＝BE＝，∠GEB＝90°，
由点A落在EF上的点G处，折痕BH交EF于点M，可知，
AB＝BG＝1，∠ABH＝∠GBH
在Rt△BEG中，BE＝，BG＝1，
∴∠EGB＝30°，EG＝BE＝，
∴∠EBG＝60°，即∠ABH＝∠GBH＝30°，
∵EF＝BC＝m，
∴FG＝EF﹣EG＝m﹣，
在Rt△BEM中，EM＝BE＝，
∴＝＝2m﹣3．
故答案为：2m﹣3．
【点评】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，含30°的直角三角形等内容，由直角三角形两直角边的关系得出30°角是解题关键．
三.解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：
（1）﹣+；
（2）（1+）（2﹣）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可解答本题；
（2）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）﹣+
＝2﹣+3
＝4；
（2）（1+）（2﹣）
＝2﹣+2﹣2
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18．（8分）解方程：
（1）4x2＝12x；
（2）3x2﹣4x﹣2＝0．
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）找出方程中a，b，c的值，代入求根公式计算即可求出解．
【解答】解：（1）方程移项得：4x2﹣12x＝0，
分解因式得：4x（x﹣3）＝0，
可得4x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3；
（2）方程3x2﹣4x﹣2＝0，
这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，
∵△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝16+24＝40＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
19．（8分）某校为了解八年级学生的体能情况，抽取了部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，并将测试成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
（1）参加测试的学生一分钟跳绳的平均次数至少是多少？
（2）小明的跳绳次数恰好与参加测试学生跳绳次数的中位数相同，请写出小明跳绳次数所在的范围；
（3）该年级共有600名学生，试估计一分钟跳绳次数不低于160次的人数．
【分析】（1）利用加权平均数的计算方法即可求解；
（2）知道总数，依据频率可求出频数，已知频数可求出频率；
（3）样本估计总体，样本中一分钟跳绳次数不少于120次所占的百分比为（0.225+0.3+0.15），进而求出人数．
【解答】解：（1）＝142（次），
答：参加测试的学生一分钟跳绳的平均次数至少是142次；
（2）∵共抽取人数为3+10+15+6+4+2＝40（人），
∴将测试成绩整理从小到大排列，中位数是第20，21个数的平均数，
∵由频数分布直方图得，第20，21个数都在140～160的范围，
∴小明跳绳次数所在的范围是140～160；
（3）600×＝180（人），
答：估计一分钟跳绳次数不低于160次的人数有180人．
【点评】本题考查频数分布直方图，加权平均数，中位数，从统计图表中获取数量和数量之间的关系，求出是共抽取的人数解决问题的关键．
20．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC＝4，则OA＝AC＝2，再由勾股定理求出OB＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝，
∵∠BAO＝90°，E是OB的中点，
∴AE＝OB＝．
【点评】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．
21．（10分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9．
（1）若把实数对（﹣5，2）放入其中，得到的实数是多少？
（2）若把实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，求m的值．
（3）小明说，若把实数对（n，3n﹣1）放入其中，得到的实数可能小于﹣15．你认为小明的说法正确吗？为什么？
【分析】（1）由已知可得（﹣5）2+2×2﹣3＝25+4﹣3＝26；
（2）由已知可得m2+2×（﹣3m）﹣3＝m2﹣6m﹣3＝4，整理得m2﹣6m﹣7＝0，解方程即可；
（3）由已知可得n2+2×（3n﹣1）﹣3＝n2+6n﹣2﹣3＝n2+6n﹣5＝（n+3）2﹣14≥﹣14，所以可以确定小明说法不正确．
【解答】解：（1）∵（a，b）进入得到a2+2b﹣3，
∴（﹣5，2）放入后得到（﹣5）2+2×2﹣3＝25+4﹣3＝26；
（2）（m，﹣3m）放入后得到m2+2×（﹣3m）﹣3＝m2﹣6m﹣3＝4，
∴m2﹣6m﹣7＝0，
解得m＝7或m＝﹣1；
（3）小明说法不正确，理由如下：
（n，3n﹣1）放入后得到n2+2×（3n﹣1）﹣3＝n2+6n﹣2﹣3＝n2+6n﹣5＝（n+3）2﹣14≥﹣14，
∴得到的实数不可能小于﹣15，
∴小明说法不正确．
【点评】本题考查实数的运算，能够理解题中所给信息，将该信息转化为实数的运算，结合一元二次方程、配方法解题是解决本题的关键．
22．（12分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，当电阻R＝9Ω时，电流I＝4A．
（1）求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围；
（2）画出所求函数的图象；
（3）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过10A，求用电器可变电阻应控制在什么范围？
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将R＝9Ω，I＝4A代入利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将R的值分别代入（1）中所求的函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成图表，并描点画图；
（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，
∵R＝9Ω时，I＝4A，
∴4＝，
解得k＝4×9＝36，
∴I＝（R＞0）；
（2）列表如下：
R/Ω
…
3
4
5
6
8
9
10
12
…
I/A
…
12
9
7.2
6
4.5
4
3.6
3
…
（3）∵I≤10，I＝，
∴≤10，
∴R≥3.6，
即用电器可变电阻应控制在不低于3.6Ω的范围内．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E．
（1）若CE＝4，AE＝2BE，求菱形ABCD的周长；
（2）连结BD交CE于点F；
①若DF＝BF+2EF，求证：AE＝BE．
②设四边形AEFD和△CDF的面积分别是S1和S2，若AE＝4，S1﹣S2＝2，求线段BF的长．
【分析】（1）由AE＝2BE得AB＝3BE，根据菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝3BE，在Rt△BCE中，根据勾股定理求出BE，即可得菱形ABCD的周长；
（2）①连接AF，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质可得BD平分∠ABD，AC⊥BD，BO＝DO，可得DF＝DO+OF＝BF+OF+OF＝BF+2OF，由DF＝BF+2EF得OF＝EF，可得AF平分∠BAC，根据三角形角平分线的性质可得CF平分∠BCA，利用ASA可证△CBE≌△CAE，由全等三角形的性质即可得出结论；
②连接AF，连接AC交BD于点O，先证明△ADF≌△CDF，则AF＝CF，S△ADF＝S△CDF，由S1﹣S2＝2可得S△AEF＝2，可得出EF＝，根据勾股定理求出AF＝3，AC＝4，则OA＝2，设BE＝x，则BC＝x+4，然后Rt△BCE中求出BE，再在Rt△BEF中即可得线段BF的长．
【解答】（1）解：∵AE＝2BE，
∴AB＝3BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3BE，
在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，
∴BE2+42＝（3BE）2，解得：BE＝（负值舍去），
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3BE＝3，
∴菱形ABCD的周长是3×4＝12；
（2）①证明：连接AF，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABD，AC⊥BD，BO＝DO，
∴DF＝DO+OF＝BF+OF+OF＝BF+2OF，
∵DF＝BF+2EF，
∴OF＝EF，
∵CE⊥AB，AC⊥BD，
∴AF平分∠BAC，
∴CF平分∠BCA，
∴∠BCE＝∠ACE，
∵CE＝CE，∠CEB＝∠CEA＝90°，
∴△CBE≌△CAE（ASA），
∴AE＝BE；
②连接AF，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BD平分∠ADC，AD＝CD，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF＝CF，S△ADF＝S△CDF，
∵四边形AEFD和△CDF的面积分别是S1和S2，S1﹣S2＝2，
∴S1﹣S2＝S△ADF+S△AEF﹣S△CDF＝S△AEF＝2＝AE•EF，
∵AE＝4，
∴EF＝，
∴AF＝CF＝＝3，
∴CE＝EF+CF＝4，AC＝＝4，
设BE＝x，则BC＝x+4，
在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，
∴x2+（4）2＝（x+4）2，解得：x＝2，
在Rt△BEF中，BF＝＝＝．
【点评】本题考查四边形综合题，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，学会添加常用辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
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