2021-2022学年河北省张家口市某校高一（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年河北省张家口市某校高一（下）月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 复数i1+i等于（ ）
A.−1+iB.2+iC.1+iD.−2−i

2. 在△ABC中， a=22，b=2，B=π6，则A=（ ）
A.π4B.π3C.3π4D.π4 或3π4

3. 已知复数z1，z2在复平面内对应的点为Z12,1,Z26,a，且z1⋅z2为纯虚数，则实数a=（ ）
A.−12B.−12C.67D.12

4. 已知i为虚数单位，复数 z=1−i20211−i2022，则z的虚部为( )
A.12B.12iC.−12D.−12i

5. 已知复数z1=1−5i，复平面内复数z1与z3所对应的点关于原点对称，z3与z2所对应的点关于实轴对称，则z1⋅z2=（ ）
A.−26B.26C.−25D.25

6. 已知z∈C，且|z+i|=2，i为虚数单位，则|z+1|的最大值为（ ）
A.2B.2+2C.2−2D.2

7. 设非零向量a→与b→的夹角为θ，定义a→与b→的“向量积”： a→×b→是一个向量，它的模|a→×b→|=|a→||b→|sinθ，若a→=1,2,b→=0,3，则|a→×b→|=（ ）
A.2B.23C.3D.1

8. 已知函数fx=sinωx+φω>0，fx图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到gx的图像， gx的部分图像如图所示，若AB→⋅BC→=|AB→|2，则ω等于（ ）

A.π3B.3π3C.23π3D.43π3
二、多选题

已知z为复数，则下列结论正确的是（ ）
A.z+z是实数
B.z=−z，则z为纯虚数
C.|z|=z2
D.在复平面内z与z所对应的点关于实轴对称

有以下四个命题，正确命题的是（ ）
A.若函数fx=sinωx+φ为奇函数，则φ为π的整数倍
B.若函数fx=csωx+φ为奇函数，则φ为π的整数倍
C.对于函数fx=tanπ3+2x，若fx1=fx2，则x1−x2 必是π的整数倍
D.对于函数fx=sinπ3+2x，若fx1=fx2=0，则x1−x2必是π2的整数倍

已知复数z=−12+32i，i为虚数单位，则以下命题正确的是（ ）
A.z2=zB.z⋅z=1C.z2022=zD.z2022=1

欧拉公式exi=csx+isinx(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A.复数e5π6i的值为−32−12iB.eπi为纯虚数
C.复数exi1+i的模长等于22D.e4π3i+e2π3i+1=0
三、填空题

若复数z满足1+zi=1−i，则复数z在复平面内对应的点在第________象限．

已知a→，b→为单位向量， |a→+b→|=|a→−b→|，若c→=a→+2b→，则cs=________.

正八边形是生活中常见的对称图形，如图1中的正八边形窗花．在图2的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，|OA1|=1，则|A8A7→−A5A7→|的值为_______.


已知定义在x∈[−π4, 3π4]上的函数fx=sinx−π4−sin2x在x=θ处取得最小值，则最小值为________，此时csθ=________.
四、解答题

已知i是虚数单位，复数z满足z−11+i=1−i.
(1)求复数z；

(2)若复数z0=4z−6是关于x的方程x2+ax+b=0a,b∈R的根，求实数a和b的值．

如图，在直角梯形ABCD中， AB//CD,AD⊥DC,AB=AD=2,CD=3，AE→=λAB→.

(1)若AC→⊥DE→，求DE→⋅BC→；

(2)若λ=34，求DE→在AC→上的投影向量的模长．

已知i为虚数单位，复数z=m2−7m+6+m2−5m−6im∈R.
(1)若z>0，求实数m的值；

(2)若z为纯虚数，设复数z，z2，z2−z在复平面上对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

在①acsC+3asinC−b−c=0；②sinB−sinC2=sin2A−sinBsinC这两个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．问题：在△ABC中，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=6，________.

(1)求角A的大小；

(2)若D为BC上一点，且满足AD=CD=2BD，判断△ABC的形状．

已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1=csθ−sinθ+icsθ+sinθ，z2=2.
(1)当θ为何值时， z=z1+z2的模取得最大值，并求此最大值；

(2)若θ∈0,2π，设AB→对应的复数是z′，若复数z′对应的点P在直线y=x，求θ的值．

已知a→=csx,csx+22，b→=(sinx,csx−22), f(x)=a→⋅b→(x∈R).
(1)化简函数fx的解析式，并求最小正周期，

(2)若不等式|fx−m|<32在x∈π4,π2上恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2021-2022学年河北省张家口市某校高一（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： i1+i=−1+i.
2.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由正弦定理asinA=bsinB，得 22sinA=2sinπ6,sinA=22 ，所以A=π4或3π4
3.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为复数z1, z2在复平面内对应的点分别为Z1(2,1),Z2(6,a)，z1=2+i，z2=6+ai，故z1⋅z2=6+ai2+i=12−a+6+2ai，因为z1⋅z2为纯虚数，所以12−a=0且6+2a≠0，解得a=12
4.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
直接计算判断即可.
【解答】
解：z=1−i20211−i2022
=1−i2=12−12i，
故虚部为−12.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： z1=1−5i对应的点为Z1为1,−5，Z1关于原点对称的点Z3为−1,5，Z3关于实轴对称的点Z2为−1,−5，所以z2=−1−5i，所以z1⋅z2=1−5i−1−5i=−26.
6.
【答案】
B
【考点】
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： |z+1|=|z+i+1−i|≤|z+i|+|1−i|=2+2，即|z+1|的最大值为2+2
7.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=1,2,b→=0,3
∴ |a→|=3，|b→|=3
∴ csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=63，则sinθ=33
∴ |a→×b→|=|a→||b→|sinθ=3×3×33=3．故选：C．
8.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： AB→⋅BC→=|AB→|2可得|AB→|⋅|BC→|cs180∘−∠ABC=|AB→|2，−2cs∠ABC=1，cs∠ABC=−12，故∠ABC=120∘，所以AD=23，故gx的周期为43.fx的周期为23因为ω>0，所以2πω=23,ω=3π3
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
复数的模
复数的代数表示法及其几何意义
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
AD
【答案】
A,D
【考点】
正弦函数的图象
余弦函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： fx=sinωx+φ为奇函数，则φ=kπ,k∈Z
即φ为π的整数倍，故A正确，
fx=csωx+φ为奇函数，则φ=kπ+π2,k∈Z，B不正确；
因为fx=tanπ3+2x周期为π2
若fx1=fx2，则x1−x2必是π2的整数倍，故C错误．
fx=sinπ3+2x的周期为π,fx1=fx2=0,x1−x2必是π2的整数倍，故D正确．
【答案】
A,B,D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为z=−12+32i，所以z2=14−34−32i=−12−32i=z，故A正确；z⋅z=−12+32−12−32i=−122+322=1，故B正确；
2022÷3=674，所以z2022=z3674=1，C错误，D正确．
【答案】
C,D
【考点】
欧拉公式
欧拉公式的应用
复数代数形式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：由于e5π6i=cs5π6+isin5π6=−32+12i，所以A错误；
eπi=csπ+isinπ=−1为实数，故B错误；
复数exi1+i的模长为|csx+isinx||1+i|=12=22，故C正确；e4π3i+e2π3i+1=−12−32i+−12+32i+1=0，D正确．
三、填空题
【答案】
三
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 1+zi=1−i可变为，1+z=1−ii=−i−1,z=−2−i，所以复数z在复平面内对应的点在第三象限．
【答案】
55
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，a→,b→为单位向量，|a→+b→|=|a→−b→|，所以a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2可得a→⋅b→=0，若c→=a→+2b→，则|c→|2=a→+2b→2=a→2+4a→⋅b→+4b→2=5，即|c→|=5
所以a→⋅c→=a→⋅a→+2b→=a→⋅a→+2a→⋅b→=1，所以 cs=a→⋅c→|a→|×|c→|=11×5=55.
【答案】
2+2
【考点】
平面向量的夹角
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：|A8A7→−A5A7→|=|A8A7→+A7A5→|=|A8A5→|，∠A8OA5=3π4，在△A8OA5中，由余弦定理可得， |A5A8→|2=|OA8→|2+|OA5→|2−2|OA8→||OA→5|cs3π4=2+2，
所以|A8A7→−A5A7→|=2+2.
【答案】
−98 ,30+28
【考点】
三角函数的最值
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：根据题意：函数
fx=sinx−π4−sin2x⇒fx=sinx−π4−cs2x−π2
令t=sinx−π4∈−1,1，所以y=2t2+t−1，当t=−14时取得最小值−98
此时sinx−π4=−14⇒csx−π4=154
故 csθ=csθ−π4+π4=csθ−π4csπ4−sinθ−π4sinπ4=30+28.
四、解答题
【答案】
解：（1） z=1−i1+i+1=1−i.
（2）因为z0=4z−6=−2−4i是方程x2+ax+b=0a,b∈R 的根，所以−4i−22+a−4i−2+b=0，即16−4ai−2a+b−12=0
可得16−4a=0−2a+b−12=0解得a=4,b=20.
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1） z=1−i1+i+1=1−i.
（2）因为z0=4z−6=−2−4i是方程x2+ax+b=0a,b∈R 的根，所以−4i−22+a−4i−2+b=0，即16−4ai−2a+b−12=0
可得16−4a=0−2a+b−12=0解得a=4,b=20.
【答案】
解：（1）分别以DC→,DA→的方向为x轴，y轴的正方向，点D为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则D0,0 , A0,2，B2,2,C3,0，
所以AB→=2,0，AC→=3,−2，又AE→=λAB→，
所以AE→=2λ,0，E2λ,2，
则DE→=2λ,2．
因为AC→⊥DE→，所以AC→⋅DE→=0，即3⋅2λ−2⋅2=0，得λ=23，
DE→=43,2，BC→=1,−2，DE→⋅BC→=43,2⋅1,−2=43−4=−83．
（2）若λ=34，DE→=32,2，|AC→|=13,AC→⋅DE→=3,−2⋅32,2=92−4=12，
DE→在AC→上投影向量的模长
|AC→⋅DE→||AC→| =1213=1326.
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积
向量的投影
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）分别以DC→,DA→的方向为x轴，y轴的正方向，点D为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则D0,0 , A0,2，B2,2,C3,0，
所以AB→=2,0，AC→=3,−2，又AE→=λAB→，
所以AE→=2λ,0，E2λ,2，
则DE→=2λ,2．
因为AC→⊥DE→，所以AC→⋅DE→=0，即3⋅2λ−2⋅2=0，得λ=23，
DE→=43,2，BC→=1,−2，DE→⋅BC→=43,2⋅1,−2=43−4=−83．
（2）若λ=34，DE→=32,2，|AC→|=13,AC→⋅DE→=3,−2⋅32,2=92−4=12，
DE→在AC→上投影向量的模长
|AC→⋅DE→||AC→| =1213=1326.
【答案】
解：（1）z>0，所以m2−7m+6>0m2−5m−6=0，得m>6或m<1m=6或m=−1解得m=−1，
（2）z为纯虚数， m2−5m−6≠0且m2−7m+6=0解得m=1，
此时z=−10i,z2=−100,z2−z=−100+10i，
此时A0,−10,B−100,0,C−100,10，
所以|BC|=10，A到BC的距离为100，所以S△ABC=12×|BC|×d=12×10×100=500.
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）z>0，所以m2−7m+6>0m2−5m−6=0，得m>6或m<1m=6或m=−1解得m=−1，
（2）z为纯虚数， m2−5m−6≠0且m2−7m+6=0解得m=1，
此时z=−10i,z2=−100,z2−z=−100+10i，
此时A0,−10,B−100,0,C−100,10，
所以|BC|=10，A到BC的距离为100，所以S△ABC=12×|BC|×d=12×10×100=500.
【答案】
解：若选①因为acsC+3asinC−b−c=0
所以3sinCsinA+csCsinA=sinA+C+sinC
化简得： 3sinA−csAsinC=sinC，因为0所以3sinA−csA=1，sinA−π6=12，由于0所以A=π3.
若选②sinB−sinC2=sin2A−sinBsinC
因为sinB−sinC2=sin2A−sinBsinC，整理得
sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，
由正弦定理可得， b2+c2−a2=bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，由于0所以A=π3.
（2）由题意，设∠CAD=θ，θ∈0,π3，因为AD=CD，所以∠ACD=θ，
在△ABD中， ∠BAD=π3−θ,B=2π3−θ，由正弦定理得，
BDsinπ3−θ=ADsin2π3−θ ，
因为AD=2BD，所以2sinπ3−θ=sin2π3−θ，
即3csθ−sinθ=32csθ+12sinθ，所以32sinθ−32csθ=0，
即3sinθ−π6=0，
又−π6<θ−π6<π6，所以θ−π6=0，所以C=π6,B=π2
△ABC为直角三角形.
【考点】
正弦定理
余弦定理
三角形的形状判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若选①因为acsC+3asinC−b−c=0
所以3sinCsinA+csCsinA=sinA+C+sinC
化简得： 3sinA−csAsinC=sinC，因为0所以3sinA−csA=1，sinA−π6=12，由于0所以A=π3.
若选②sinB−sinC2=sin2A−sinBsinC
因为sinB−sinC2=sin2A−sinBsinC，整理得
sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，
由正弦定理可得， b2+c2−a2=bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，由于0所以A=π3.
（2）由题意，设∠CAD=θ，θ∈0,π3，因为AD=CD，所以∠ACD=θ，
在△ABD中， ∠BAD=π3−θ,B=2π3−θ，由正弦定理得，
BDsinπ3−θ=ADsin2π3−θ ，
因为AD=2BD，所以2sinπ3−θ=sin2π3−θ，
即3csθ−sinθ=32csθ+12sinθ，所以32sinθ−32csθ=0，
即3sinθ−π6=0，
又−π6<θ−π6<π6，所以θ−π6=0，所以C=π6,B=π2
△ABC为直角三角形.
【答案】
解：（1）由复数模的定义可得：
|z|=(csθ−sinθ+2)2+(csθ+sinθ)2=4+22(csθ−sinθ)
=21+csθ+π4 ，
显然当csθ+π4=1时最大，即θ=2kπ−π4k∈Z ，最大值为22，
（2）由（1）知点P的坐标是2−csθ+sinθ,−csθ−sinθ，代入y=x
得−csθ−sinθ=2−csθ+sinθ，即sinθ=−22 ，
又因为θ∈0,2π，
所以θ=5π4或θ=7π4.
【考点】
复数的模
三角函数的最值
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由复数模的定义可得：
|z|=(csθ−sinθ+2)2+(csθ+sinθ)2=4+22(csθ−sinθ)
=21+csθ+π4 ，
显然当csθ+π4=1时最大，即θ=2kπ−π4k∈Z ，最大值为22，
（2）由（1）知点P的坐标是2−csθ+sinθ,−csθ−sinθ，代入y=x
得−csθ−sinθ=2−csθ+sinθ，即sinθ=−22 ，
又因为θ∈0,2π，
所以θ=5π4或θ=7π4.
【答案】
解：（1）因为fx=sinxcsx+cs2x−12=12sin2x+121+cs2x−12
=12sin2x+12cs2x
=22sin2x+π4，
所以最小正周期为T=2π2=π.
（2）由于|fx−m|<32，所以−32因为x∈π4,π2，所以2x∈π2,π，因此2x+π4∈3π4,5π4，
所以−22≤sin2x+π4≤22，因此−12≤fx≤12 ，
由题意可得 −32+m<−1212<32+m ，解得m<1−1【考点】
平面向量数量积的运算
三角函数的恒等变换及化简求值
函数恒成立问题
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为fx=sinxcsx+cs2x−12=12sin2x+121+cs2x−12
=12sin2x+12cs2x
=22sin2x+π4，
所以最小正周期为T=2π2=π.
（2）由于|fx−m|<32，所以−32因为x∈π4,π2，所以2x∈π2,π，因此2x+π4∈3π4,5π4，
所以−22≤sin2x+π4≤22，因此−12≤fx≤12 ，
由题意可得 −32+m<−1212<32+m ，解得m<1−1

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