2020-2021学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本大题共8小，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1．（5分）（2021春•唐山期末）已知复数，则的虚部为　　

A． B． C．1 D．

2．（5分）（2021春•唐山期末）已知向量，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）（2021春•唐山期末）某小区约有3000人，需对小区居民身体状况进行分层抽样调查，样本中有幼龄12人，青壮龄34人，老龄14人，则该小区老龄人数的估计值为　　

A．750 B．1700 C．600 D．700

4．（5分）（2021春•唐山期末）为了了解某道口堵车情况，在今后的三天中，假设每一天堵车的概率均为．现采用模拟试验的方法估计这三天中恰有两天堵车的概率：先利用计算器产生0到9之间的随机整数，用1，2，3，4表示堵车，用5，6，7，8，9，0表示不堵车；再以每三个数作为一组，代表这三天的堵车情况．经试验产生了如下20组随机数：

807 066 123 923 471 532 712 269 507 752 443 277 303 927 756 368 840 413 730 086

据此估计，这三天中恰有两天堵车的概率近似为　　

A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.40

5．（5分）（2021春•唐山期末）如图，直角梯形的上下两底分别为1和2，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为　　

A． B． C． D．

6．（5分）（2021春•唐山期末）同时投掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数至少有一个是奇数的概率为　　

A． B． C． D．

7．（5分）（2021春•唐山期末）如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，则　　

A．3 B．2 C．1 D．

8．（5分）（2021春•唐山期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，是边上一点，，且，则的最小值为　　

A． B．12 C． D．20

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）（2021春•唐山期末）已知两条直线，，两个平面，，下面四个命题中正确的是　　

A．， B．，， 

C．， D．，，

10．（5分）（2021春•唐山期末）在中，，则可以是　　

A． B． C． D．

11．（5分）（2021春•唐山期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有　　

A．2个小球不全为红球 B．2个小球恰有1个红球 

C．2个小球至少有1个红球 D．2个小球都为绿球

12．（5分）（2021春•唐山期末）如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成△，若为是的中点，则在的翻折过程中，下列命题正确的有　　

A．线段的长为定值 

B．异面直线与所成角为 

C．直线与平面所成角为定值 

D．二面角可以为直二面角

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上．

13．（5分）（2021春•唐山期末）已知复数满足，则　　．

14．（5分）（2021春•唐山期末）在中，，，，则　　．

15．（5分）（2021春•唐山期末）甲、乙两人进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果比赛采用“三局二胜”制（先胜二局者获胜），则前两局打平且甲获胜的概率为 　　．

16．（5分）（2021春•唐山期末）已知圆锥底面半径为1，母线长为3，该圆锥内接正方体的体积为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2021春•唐山期末）已知向量，．

（1）若与平行，求实数的值；

（2）若与垂直，求实数的值．

18．（12分）（2021春•唐山期末）某学校把6月份定为安全教育宣传月，6月底进行安全教育测试，试卷满分为120分，随机抽取了100名学生的试卷进行研究．得到成绩的范围是，（单位：分），根据统计数据得到如图频率分布直方图．

（1）求的值；

（2）估计该校安全教育测试成绩的中位数（精确到小数点后两位）；

（3）若成绩在，赋给1颗星，，赋给2颗星，，赋给3颗星，将频率视作概率，若甲乙两位同学参赛且相互不影响，求两人一共得4颗星的概率．

19．（12分）（2021春•唐山期末）中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．

（1）求角；

（2）若的面积为，求的值．

20．（12分）（2021春•唐山期末）在长方体中，底面是边长为2的正方形．

（1）若为的中点，试在上确定点，使得平面；

（2）直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．

21．（12分）（2021春•唐山期末）某研究所对两块试验田水稻的株高进行调研，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道第一块试验田抽取了水稻80株，其平均数和方差分别为107（单位：和5.22，另一块试验田抽取了水稻120株，其平均数和方差分别为112（单位：和30.97，你能由这些数据计算出总样本的方差，并对这种水稻的方差作出估计吗？

22．（12分）（2021春•唐山期末）在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为等边三角形，，，点在上，．

（1）求证：；

（2）求二面角的正切值．

2020-2021学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1．（5分）（2021春•唐山期末）已知复数，则的虚部为　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：复数，则的虚部为：．

故选：．

2．（5分）（2021春•唐山期末）已知向量，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

3．（5分）（2021春•唐山期末）某小区约有3000人，需对小区居民身体状况进行分层抽样调查，样本中有幼龄12人，青壮龄34人，老龄14人，则该小区老龄人数的估计值为　　

A．750 B．1700 C．600 D．700

【解答】解：该小区老龄人数的估计值为．

故选：．

4．（5分）（2021春•唐山期末）为了了解某道口堵车情况，在今后的三天中，假设每一天堵车的概率均为．现采用模拟试验的方法估计这三天中恰有两天堵车的概率：先利用计算器产生0到9之间的随机整数，用1，2，3，4表示堵车，用5，6，7，8，9，0表示不堵车；再以每三个数作为一组，代表这三天的堵车情况．经试验产生了如下20组随机数：

807 066 123 923 471 532 712 269 507 752 443 277 303 927 756 368 840 413 730 086

据此估计，这三天中恰有两天堵车的概率近似为　　

A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.40

【解答】解：由题意可知，总的基本事件为20，

三天中恰有两天堵车的有923，471，532，712，303，共5个，

所以这三天中恰有两天堵车的概率近似为．

故选：．

5．（5分）（2021春•唐山期末）如图，直角梯形的上下两底分别为1和2，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为直角梯形的上下两底分别为1和2，高为，

所以梯形的面积为，

因为，

所以，

则利用斜二测画法所得其直观图的面积为．

故选：．

6．（5分）（2021春•唐山期末）同时投掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数至少有一个是奇数的概率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，同时投掷两个质地均匀的骰子的基本事件总数为，

令事件为“同时投掷两个质地均匀的骰子两个骰子的点数都是偶数”，

则事件所包含的基本事件个数为，所以（A），

所以所求概率为（A）．

故选：．

7．（5分）（2021春•唐山期末）如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，则　　

A．3 B．2 C．1 D．

【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，

则，，

，，

，

又是的中点时，

，

，

解得：，

，

故选：．

8．（5分）（2021春•唐山期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，是边上一点，，且，则的最小值为　　

A． B．12 C． D．20

【解答】解：因为，，，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，当且仅当时取等号，

所以的最小值为．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）（2021春•唐山期末）已知两条直线，，两个平面，，下面四个命题中正确的是　　

A．， B．，， 

C．， D．，，

【解答】解：用线面垂直和面面平行的定理可判断正确；

中，由面面平行的定义，，可以平行或异面；

中，用线面平行的判定定理知，可以在内；

故选：．

10．（5分）（2021春•唐山期末）在中，，则可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

又，

，

，

，

，，

故选：．

11．（5分）（2021春•唐山期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有　　

A．2个小球不全为红球 B．2个小球恰有1个红球 

C．2个小球至少有1个红球 D．2个小球都为绿球

【解答】解：一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，

对于，2个小球不全为红球与事件“2个小球都为红色”是对立的事件，故错误；

对于，2个小球恰有1个红球与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件，故正确；

对于，2个小球至少有1个红球与事件“2个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，故错误；

对于，2个小球都为绿球与事件“2个小球都为红色”是互斥而不对立的事件，故正确．

故选：．

12．（5分）（2021春•唐山期末）如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成△，若为是的中点，则在的翻折过程中，下列命题正确的有　　

A．线段的长为定值 

B．异面直线与所成角为 

C．直线与平面所成角为定值 

D．二面角可以为直二面角

【解答】解：不妨设，，

对于：取的中点，连接，，

因为为的中点，

所以，，

所以，

，，

在中，，

所以，解得，故正确；

对于：若与所成的角为，则，

因为，

所以，即，

因为，平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以，与矛盾，故错误；

对于：由可知，，，

又因为，，

所以平面平面，

所以平面，

所以直线与平面所成角为定值，故正确；

对于：因为，

设，

又，，

因为，平面平面，

若二面角可以为直二面角，即平面平面，

所以，

所以，

所以当时，二面角可以为直二面角，故正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上．

13．（5分）（2021春•唐山期末）已知复数满足，则　　．

【解答】解：设，则，

即，则，，

解得，

故，

故答案为：．

14．（5分）（2021春•唐山期末）在中，，，，则　或　．

【解答】解：由正弦定理可得，

，

或，

故答案为：或．

15．（5分）（2021春•唐山期末）甲、乙两人进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果比赛采用“三局二胜”制（先胜二局者获胜），则前两局打平且甲获胜的概率为 　　．

【解答】解：根据题意，每一局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，

前两局打平且甲获胜的概率．

故答案为：．

16．（5分）（2021春•唐山期末）已知圆锥底面半径为1，母线长为3，该圆锥内接正方体的体积为 　　．

【解答】解：作出几何体的轴截面，如图所示：

由圆锥的底面半径为，母线长为，

所以圆锥的高为，

设正方体的棱长为，

由轴截面得，，解得，

所以该正方体的体积为．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2021春•唐山期末）已知向量，．

（1）若与平行，求实数的值；

（2）若与垂直，求实数的值．

【解答】解：（1）向量，，

，，

与平行，

，

解得实数；

（2），，

与垂直，

，

解得实数．

18．（12分）（2021春•唐山期末）某学校把6月份定为安全教育宣传月，6月底进行安全教育测试，试卷满分为120分，随机抽取了100名学生的试卷进行研究．得到成绩的范围是，（单位：分），根据统计数据得到如图频率分布直方图．

（1）求的值；

（2）估计该校安全教育测试成绩的中位数（精确到小数点后两位）；

（3）若成绩在，赋给1颗星，，赋给2颗星，，赋给3颗星，将频率视作概率，若甲乙两位同学参赛且相互不影响，求两人一共得4颗星的概率．

【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，，解得；

（2）第一、二、三组的频率分别为0.16，0.16，0.28，

设中位数为，则，解得，

所以估计该校安全教育测试成绩的中位数为86.43分；

（3）设甲得到“星”的颗数为，乙得到“星”的颗数为，

则，

，

，

，，，，

故两人一共得4颗星的概率为0.0436．

19．（12分）（2021春•唐山期末）中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．

（1）求角；

（2）若的面积为，求的值．

【解答】解：（1）由正弦定理可得，

即，

整理得，

因为，所以，则；

（2）因为，

所以，又因为，所以，

由余弦定理可得，

所以．

20．（12分）（2021春•唐山期末）在长方体中，底面是边长为2的正方形．

（1）若为的中点，试在上确定点，使得平面；

（2）直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．

【解答】解：（1）当为的中点时，平面；

如图1所示：

取的中点为，连接、、、，

因为，且，

所以四边形是平行四边形，

所以，

又因为、分别是、的中点，

所以，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（2）如图2所示：

过点作于点，连接，

因为平面，平面，

所以，又因为，

所以平面，

所以直线与平面所成的角为，

在△中，，

又长方体的四个侧面是全等的矩形，

所以，

所以点为的中点，

所以，，，

所以四棱锥的体积为

．

21．（12分）（2021春•唐山期末）某研究所对两块试验田水稻的株高进行调研，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道第一块试验田抽取了水稻80株，其平均数和方差分别为107（单位：和5.22，另一块试验田抽取了水稻120株，其平均数和方差分别为112（单位：和30.97，你能由这些数据计算出总样本的方差，并对这种水稻的方差作出估计吗？

【解答】解：把第一块试验田样本记为，，，，其平均数为，方差为，

把第二块试验田样本记为，，，，其平均数为，方差为，

把总样本数据的平均数记为，方差为，

所以

由，

则，

同理可得，，

因此，①，

由，

根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，

可得总样本的平均数为，

把已知两块试验田样本平均数和方差的取值代入①，

可得，

所以总样本的方差为26.67，据此估计这种水稻的总体方差为26.67．

22．（12分）（2021春•唐山期末）在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为等边三角形，，，点在上，．

（1）求证：；

（2）求二面角的正切值．

【解答】（1）证明：如图，取的中点，

，，

侧面底面，侧面底面，

底面，而平面，，

，，，，

在中，，

在中，，

，

，，即．

又，平面，而平面，

；

（2）解：取的中点为，连接，，则，

侧面底面，侧面底面，

，平面，

又平面，，

，平面，

又平面，，可得为二面角的平面角．

在中，，

二面角的正切值为．

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