2020-2021学年河北省保定市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省保定市高一（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年河北省保定市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2021春•保定期末）已知，则　　
A． B．13 C． D．
2．（5分）（2021春•保定期末）设平面向量，，若，则　　
A．1 B．2 C． D．3
3．（5分）（2021春•保定期末）小明和小红5次考试数学成绩统计如表：
姓名
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
小明
107
111
110
109
113
小红
99
110
111
108
112
则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为　　
A．110 B．108 C．22 D．4
4．（5分）（2021春•保定期末）炎炎夏日，冰淇淋成为青年人的热宠，现用简单随机抽样的方法监测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体 “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是　　
A．， B．， C．， D．，
5．（5分）（2021春•保定期末）如图，在正方体中，为线段的中点，则直线与的夹角的余弦值为　　

A． B． C． D．
6．（5分）（2021春•保定期末）如图所示，平行四边形中，，点为线段的中点，则　　

A． B． C． D．
7．（5分）（2021春•保定期末）《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊（亡丢失），既率其党，又请杨子之竖（竖书童）追之．杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路（歧路：岔路口）．”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”．曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也．”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•保定期末）用斜二测画法作出的水平放置的直观图△如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为　　

A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（5分）（2021春•保定期末）以下四种说法正确的是　　
A．
B．复数的虚部为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数
10．（5分）（2021春•保定期末）以下结论不正确的是　　
A．对立事件一定互斥
B．事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率
C．事件与事件互斥，则有（A）（B）
D．事件，满足（A）（B），则，是对立事件
11．（5分）（2021春•保定期末）已知直线，与平面，，则下列说法不正确的是　　
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，为异面直线，，，，，则
12．（5分）（2021春•保定期末）三棱锥中，已知平面，垂足为，连接，，，则下列说法正确的是　　
A．若，则为的重心
B．若，则为的垂心
C．若，则为的外心
D．若，，，则为的内心
三、填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分。
13．（5分）（2021春•保定期末）甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为，，获得二等奖的概率分别为，，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲乙两人至少有1人获奖的概率为 　　．
14．（5分）（2021春•保定期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　　．
15．（5分）（2021春•保定期末）一艘货船从处出发，沿北偏西的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达处，在处观察处灯塔，其方向是北偏东，在处观察处灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是 　　海里．
16．（5分）（2021春•保定期末）已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的半径为 　　；若此三棱锥可以在正方体中任意转动，则该正方体的最小体积为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2021春•保定期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求．
18．（12分）（2021春•保定期末）工信部副部长刘烈宏在2021年世界电信和信息社会日大会上表示，据全球移动通信协会监测，我国移动用户月均支出低于全球的平均水平，某单位全体员工通讯费用（单位：元）如图所示，数据分组依次为，，，，，，，．

（1）估计本单位员工话费的第90百分位数；
（2）若单位有100名员工，采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，求每组应抽取的样本量；
（3）估计本单位员工通讯费用的众数和平均数．
19．（12分）（2021春•保定期末）已知，，且，的夹角为．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
20．（12分）（2021春•保定期末）在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的表面积．

21．（12分）（2021春•保定期末）新冠肺炎疫情已经对人类生产生活带来严重挑战，对未来也将产生非常深远的影响，为适应疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，拟成立一个由3人组成的科学防疫宣讲小组，现初步选定2名女生，3名男生为候选人，每位候选人当选的机会是相同的．
（1）求当选的3名同学中恰有1名女生的概率；
（2）求当选的3名同学中至多有2名男生的概率．
22．（12分）（2021春•保定期末）如图，梯形中，，过作于，沿把折起，设点折起后的位置为，且，．

（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在一点，使直线平面？并说明理由；
（3）求直线与平面所成的角．

2020-2021学年河北省保定市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2021春•保定期末）已知，则　　
A． B．13 C． D．
【解答】解：，
，
．
故选：．
2．（5分）（2021春•保定期末）设平面向量，，若，则　　
A．1 B．2 C． D．3
【解答】解：平面向量，，
若，则，
，
故选：．
3．（5分）（2021春•保定期末）小明和小红5次考试数学成绩统计如表：
姓名
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
小明
107
111
110
109
113
小红
99
110
111
108
112
则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为　　
A．110 B．108 C．22 D．4
【解答】解：观察两组数据可知，小明的成绩较稳定，
小明成绩的平均数，
小明成绩的方差．
故选：．
4．（5分）（2021春•保定期末）炎炎夏日，冰淇淋成为青年人的热宠，现用简单随机抽样的方法监测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体 “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，
则由简单随机抽样的性质得：
其中某一个体 “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性都是．
故选：．
5．（5分）（2021春•保定期末）如图，在正方体中，为线段的中点，则直线与的夹角的余弦值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图示：

作，，连接，，，
直线与的夹角的余弦值即的值，
设正方体的棱长为2，
则，，，
故，
故直线与的夹角的余弦值是，
故选：．
6．（5分）（2021春•保定期末）如图所示，平行四边形中，，点为线段的中点，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：点为线段的中点，
，
即①，
，
，
即②，
由①②得，，
故选：．
7．（5分）（2021春•保定期末）《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊（亡丢失），既率其党，又请杨子之竖（竖书童）追之．杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路（歧路：岔路口）．”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”．曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也．”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为　　
A． B． C． D．
【解答】解：羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，
所以羊在每条歧路的概率为，
因为羊走过5个岔路口，所以每个人找到羊的概率为，
杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为．
故选：．
8．（5分）（2021春•保定期末）用斜二测画法作出的水平放置的直观图△如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题意，可得的图形如图所示，
其中，，
则，
绕所在直线旋转一周后所形成的几何体为圆锥，
该圆锥的底面半径为1，母线长为2，
所以圆锥的表面积．
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（5分）（2021春•保定期末）以下四种说法正确的是　　
A．
B．复数的虚部为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数
【解答】解：，故选项正确，
复数的虚部为，故选项错误，
，
，
复平面内对应的点位于虚轴上，故选项错误，
复平面内，实数轴上对应的点的纵坐标为0，
复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数，故选项正确．
故选：．
10．（5分）（2021春•保定期末）以下结论不正确的是　　
A．对立事件一定互斥
B．事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率
C．事件与事件互斥，则有（A）（B）
D．事件，满足（A）（B），则，是对立事件
【解答】解：对于，对立事件一定是互斥事件，故正确；
对于，当事件不发生时，事件与事件的和事件的概率有可能等于事件的概率，故错误；
对于，事件与事件对立，则有（A）（B），
事件与事件互斥，则有（A）（B）故错误；
对于，设为抛掷硬币为正面的事件，（A），
为某人射击中靶的概率，（B），事件，满足（A）（B），则，不是对立事件，故错误．
故选：．
11．（5分）（2021春•保定期末）已知直线，与平面，，则下列说法不正确的是　　
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，为异面直线，，，，，则
【解答】解：对于，若，，，则错误，也可能是相交不垂直；
对于，若，，，则或与相交，故错误；
对于，若，，，由直线与平面平行的性质可得，故正确；
对于，设，，因为，是异面直线，所以与相交，又，所以，故正确．
故选：．
12．（5分）（2021春•保定期末）三棱锥中，已知平面，垂足为，连接，，，则下列说法正确的是　　
A．若，则为的重心
B．若，则为的垂心
C．若，则为的外心
D．若，，，则为的内心
【解答】解：三棱锥中，已知平面，垂足为，连接，，，
如图所示：
对于：若，则为的外心，故错误；
对于，整理得：，所以，
即，由于平面，
所以，故平面，
所以，
同理：，，
故点为的垂心，故正确；
对于：由于，利用勾股定理，，，
所以：，故为的外心，故正确；
对于：由于，，所以平面，所以，
由于平面，
所以，
故平面，
所以，同理，．
故点为的垂心，故错误．
故选：．

三、填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分。
13．（5分）（2021春•保定期末）甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为，，获得二等奖的概率分别为，，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲乙两人至少有1人获奖的概率为 　　．
【解答】解：甲和乙都未获奖的概率为，
所以甲乙两人至少有1人获奖的概率为．
故答案为：．
14．（5分）（2021春•保定期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　且　．
【解答】解：，，且与的夹角为锐角，
，解得，
但当，即，两向量平行，应舍去，
的取值范围为，且，
故答案为：且．
15．（5分）（2021春•保定期末）一艘货船从处出发，沿北偏西的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达处，在处观察处灯塔，其方向是北偏东，在处观察处灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是 　　海里．
【解答】解：（海里），
如图，设的内角分别为，，，则，，，
由正弦定理可得．
故答案为：．

16．（5分）（2021春•保定期末）已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的半径为 　　；若此三棱锥可以在正方体中任意转动，则该正方体的最小体积为 　　．
【解答】解：设的中点为，因为平面，如图所示：

所以三棱锥外接球的球心必在过且垂直于的平面上；
在中，，，由正弦定理得，
所以外接圆的半径为；
设外接球的球心为，外接圆圆心为，则平面，所以；
所以，
计算外接球的半径为．
因为该三棱锥可以在正方体中任意转动，所以该正方体包含三棱锥的外接球，
所以正方体取最小体积时，三棱锥的外接球是该正方体的内切球；
所以正方体的棱长为，体积是．
故答案为：，．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2021春•保定期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求．
【解答】解析：（1），
由正弦定理得，，
即
所以．
所以．
因为，
所以，，
所以．
（2）因为，
所以，
由余炫定理得，，
即，，
所以，
则．
18．（12分）（2021春•保定期末）工信部副部长刘烈宏在2021年世界电信和信息社会日大会上表示，据全球移动通信协会监测，我国移动用户月均支出低于全球的平均水平，某单位全体员工通讯费用（单位：元）如图所示，数据分组依次为，，，，，，，．

（1）估计本单位员工话费的第90百分位数；
（2）若单位有100名员工，采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，求每组应抽取的样本量；
（3）估计本单位员工通讯费用的众数和平均数．
【解答】解：（1）本单位员工话费在80元以下的频率为：，
本单位员工话费在，的频率为0.3，
因此本单位话费的第90百分位数在，内，
由，
可以估计本单位员工话费的第90百分位数为．
（2），
采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，
其个数分别为1，2，4，3．
（3）本单位员工通讯费用的众数为70，平均数为为．
19．（12分）（2021春•保定期末）已知，，且，的夹角为．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
【解答】解：（1），，，
，
；
（2）方法一：，
则存在非零实数，使，
由共面定理得，则．
方法二：由已知或，
当，，，
，
则，
同理时，，
综上，．
20．（12分）（2021春•保定期末）在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的表面积．

【解答】解：（1）证明：连结，交于点，连接．
显然，为中点，
又为中点，在中，
由中位线定理可得：，
又面，面，
面．

（2）底面，、平面，
，，
，
易知，
四边形为矩形，面，
，，，
面，
，
则为直角三角形，
在中，易得，

，
．

21．（12分）（2021春•保定期末）新冠肺炎疫情已经对人类生产生活带来严重挑战，对未来也将产生非常深远的影响，为适应疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，拟成立一个由3人组成的科学防疫宣讲小组，现初步选定2名女生，3名男生为候选人，每位候选人当选的机会是相同的．
（1）求当选的3名同学中恰有1名女生的概率；
（2）求当选的3名同学中至多有2名男生的概率．
【解答】解：将2名女生，3名男生分别用，，，，表示，
则从5名候选人中选3名同学的试验的样本空间为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种，
（1）设 “恰有一女生”，
则，，，，，，，，，，，，，，，，，，共6种，
所以当选的3名同学中恰有1名女生的概率为；
（2）设 “至多有两个男生”，
则，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
所以当选的3名同学中至多有2名男生的概率为．
22．（12分）（2021春•保定期末）如图，梯形中，，过作于，沿把折起，设点折起后的位置为，且，．

（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在一点，使直线平面？并说明理由；
（3）求直线与平面所成的角．
【解答】（1）证明：连接，因为，，
所以，故，
在中，，
在中，，
所以，故，
又，，平面，
则平面，又平面，
所以平面平面；
（2）解：在棱上存在中点，使直线平面．证明如下：
取的中点，的中点，连接，，，
因为，分别为，的中点，
所以且，
又且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
则，
又平面，平面，
所以平面，
故当为的中点时，直线平面；
（3）解：取的中点，连接，，作，垂足为，
在四边形中，，，且，，
所以四边形为正方形，则，
故平面，
则点到平面的距离即为点到平面的距离，
因为，，，，平面，
故平面，又平面，
所以，
因为，平面，则平面，又平面，
所以，
在中，，，
在中，，
因为，，，则平面，
所以点到平面的距离为，
即点到平面的距离为，
故直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角为．

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