2020-2021学年河北省张家口市高一（下）5月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省张家口市高一（下）5月月考数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. fx=sinx−π3−1，x∈R最小值是( )
A.−1B.−2C.0D.1

2. 若A，B，C，D为平面内的四点，且顺次连接成为平行四边形，其中A1,3，B2,−1，C4,0．则D点的坐标是( )
A.5,4B.7,4C.3,4D.4,5

3. 在△ABC中，AN→=NC→，P是BN上的一点，若AP→=mAB→+15AC→，则实数m的值为( )
A.35B.25C.15D.45

4. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0, |φ|<π)的部分图象如图所示，则函数fx的解析式为( )

A.fx=12sin2x−π6+1B.fx=sin2x+π6−1
C.fx=12sin2x+π6−1D.fx=sin2x+π6−2

5. 设θ∈R，则“ csθ>22”是“ 0<θ<π4”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 向量a→=t−2,t+3，b→=(−2,−1)，若a→，b→的夹角为锐角，则t的范围是( )
A.t>13B.t<13
C.t<13且 t≠−8D.t>13且t≠8

7. 已知sin4π3+α=33，则csπ3−2α=( )
A.−23B.−13C.23D.13

8. 在△ABC 中，若 C=3asinC−ccsA，csB=csC，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
二、多选题

已知向量a→=(1,2)，b→=(−3,4)，则( )
A.a→与b→共线
B.a→⋅b→=5
C.向量a→在向量b→上的投影向量是35,−45
D.(55,255)是向量a→的单位向量

已知平面向量|a→|=3，|a→−b→|=1，则|b→|的可能取值是( )
A.3+1B.2C.3−1D.3

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， A=π6 ，a=2，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b的可能取值为( )
A.1B.2C.3D.5

设△ABC的内角A，B，C所对的边为 a，b，c，则下列命题正确的是( )
A.若ac−bπ2B.若a−c>c−b，则C<π3
C.若a3+b3=c3，则C<π2D.若ac>cb，则C<π3
三、填空题

2−tan15∘=________.

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又知a=5， b=6，a2+b2−c2=3ab，则△ABC 的面积为________.

设P是△ABC所在平面内的一点，若AB→⋅(CB→+CA→−2CP→)=0，且|AP→|=|CP→|，则点P是 △ABC 的 ________．（填“中心”、“外心”、“内心”、“重心”、“垂心”）

如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinAsinC=sin2B，B=π3，D是△ABC外一点，DC=2，DA=3，四边形ABCD面积的最大值是________．

四、解答题

已知向量 a→=−1,1,b→=2,−1．求：
(1) a→+b→,a→−b→的坐标；

(2)a→+b→和a→−b→的夹角余弦值．

如图，在△ABC中， AB=4，AC=3，点D为△ABC内一点，满足BD=CD=1，且∠A与∠BDC互补．求：

(1)求sin∠ABCsin∠BCD的值；

(2)求边BC的长．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3bsinA−acsB=2b−c．
(1)求A；

(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30∘，相距20海里C处的乙船．

(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；

(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA→成θ角，求fx=1−sin2θsinx+cs20csxx∈R，当x=β时，函数fx取得最大值，求csβ．

已知函数m→=2csx,3，n→=(cs(x−5π6),12) ，fx=m→⋅n→．
(1)求函数 fx的对称中心；

(2)若锐角α满足 f5π12−α=−725，且β满足 sinα+β=513，求 csβ的值．

如图，M为△ABC的中线AD上的点，且MD→=2AM→，过点M的直线分别交AB，AC两边于点P，Q，设AP→=xAB→，AQ→=yAC→，请求出x，y的关系式，并记y=fx．

(1)求函数 y=fx的表达式；

(2)设△APQ 的面积为S1，四边形BCQP的面积为S2，且 S2=λS1 ，求实数λ的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省张家口市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
三角函数的最值
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于正弦函数，其值域为[−1,1]，
∵x∈R，
∴x−π3∈R，
∴sinx−π3∈[−1,1]，
∴fx=sinx−π3−1的取值范围为[−2,0]，
即fxmin=−2.
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
相等向量与相反向量
【解析】
设点D的坐标为x,y ，然后根据平行四边形的中心对称性和中点公式列出方程，然后计算即可得解．
【解答】
解：设点D的坐标为x,y，
∵ A1,3，B2,−1，C4,0，
∴ AB→=DC→，即(2−1, −1−3)=(4−x, 0−y)
∴ 4−x=1，−y=−4，
解得x=3，y=4，
∴点D的坐标是3,4．
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
由已知△ABC中，AN→=NC→，P是BN上的一点，设NP→=λNB→后，我们易将AP→表示为λAB→+1−λ2AC→的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值．
【解答】
解：由题意得，设NP→=λNB→=λ(AB→−AN→)，
∴AP→=AN→+NP→=AN→+λAB→−AN→
=λAB→+1−λAN→
=λAB→+1−λ2AC→，
又AP→=mAB→+15AC→，
∴1−λ2=15，且m=λ，
∴m=λ=35．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的最大值小值求A，b，由函数的周期求ω=2，由特殊值求φ=π6.
【解答】
解：由图可知：A+b=−12,−A+b=−32,
解得A=12,b=−1,
又T=2πω=22π3−π6，
可得ω=2，
∴ fx=12sin2x+φ−1，
又fπ6=12sin2×π6+φ−1=−12，
∴ π3+φ=π2+2kπk∈Z，
结合φ<π，
可得φ=π6，
∴ fx=12sin2x+π6−1.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由csθ>22，可得θ∈−π4+2kπ,π4+2kπk∈Z，利用充分必要条件进行判定即可.
【解答】
解：由csθ>22，
可得θ∈−π4+2kπ,π4+2kπk∈Z.
∴ 由csθ>22成立，不一定得到0<θ<π4；反之一定成立，
∴ csθ>22是0<θ<π4的必要不充分条件.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的共线定理
【解析】
由题意可得a→⋅b→>0且两向量不共线，得到−2(t−2)−(t+3)>0且−2(t+3)≠−(t−2)，求解即可.
【解答】
解：由题意可得a→⋅b→>0且两向量不共线，
∴ −2(t−2)−(t+3)>0且−2(t+3)≠−(t−2)，
解得t<13且 t≠−8.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
二倍角的余弦公式
诱导公式
【解析】
无
【解答】
解：sin4π3+α=−sinπ3+α=−csπ6−α=33，
即csπ6−α=−33，
则csπ3−2α=2cs2π6−α−1
=2−332−1=−13.
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
三角形的形状判断
两角和与差的正弦公式
【解析】
由题意，根据正弦定理以及sinC≠0，得到sin(A−π6)=12，利用三角形内角和定理即可求出A的大小，再由三角形内角和定理得到B=C，进而即可求出其角的大小，最后即可判断所求三角形的形状.
【解答】
解：已知c=3asinC−ccsA，
由正弦定理得sinC=3sinAsinC−sinCcsA，
因为sinC≠0，
所以3sinA−csA=2sin(A−π6)=1，
即sin(A−π6)=12，
因为0所以A−π6=π6，
解得A=π3，
因为csB=csC，且0所以B=C，
可得B=C=π−π32=π3，
所以△ABC为等边三角形.
故选C.
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
向量的投影
单位向量
【解析】
由题意，根据平行向量的定义、数量积的运算、向量投影以及单位向量的定义对每个选项进行分析，进而即可求解.
【解答】
解：已知a→=(1,2)，b→=(−3,4)，
若两向量共线，则其横纵坐标成比例，而1−3≠24，故选项A错误；
已知a→⋅b→=1×(−3)+2×4=5，故选项B正确；
已知cs=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=1×(−3)+2×412+22⋅(−3)2+42=55，
其中|a→|=12+22=5，
可得|a→|cs=5×55=1 ，
设投影向量为(m,n)，则m2+n2=1，mn=−34，且m<0，n>0，
所以向量a→在b→的投影向量为(−35,45)，故选项C错误；
a→的单位向量为112+22(1, 2)=(55,255)，故选项D正确，
综上得，选项正确的有BD.
故选BD.
【答案】
A,B,C
【考点】
向量的模
向量的减法及其几何意义
【解析】
无
【解答】
解：令平面向量OA→=a→，OB→=b→，b→−a→=OB→−OA→=1，
几何意义为B在以A为圆心1为半径的圆周上运动，
如图B运动B1位置时候取得最大值3+1，B运动B2位置时候取得最小值3−1.
故选ABC．
【答案】
A,B
【考点】
余弦定理
根与系数的关系
【解析】
直接利用余弦定理和一元二次不等式的解法的应用求出结果．
【解答】
解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
A=π6，a=2，
所以a2=4=b2+c2−2bc×32
=b2−3bc+c2，
整理得c2−3bc+b2−4=0，
要使三角形只有一组解，
则令 Δ=3b2−4b2−4=16−b2=0，b2−4>0，b>0，使方程有两个相等的正根，
解得b=4，
或令b2−4≤0使方程有两个不等实根，其中只有一根为正，
解得0综上，b=4或0所以1，2符合题意．
故选AB．
【答案】
B,C,D
【考点】
余弦定理
基本不等式
【解析】
无
【解答】
解：A．取a=b=2，c=1满足ac−bB．a−c>c−b⇒a+b>2c
⇒csC=a2+b2−c22ab>4a2+b2−a+b28ab≥12
⇒C<π3，故B选项正确；
C．当C≥π2时，c2≥a2+b2⇒c3≥a2c+b2c>a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故C选项正确；
D．ac>cb⇒ab>c2
⇒csC=a2+b2−c22ab>2ab−ab2ab=12⇒
C<π3，故D选项正确．
故选BCD．
三、填空题
【答案】
3
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
利用tan15∘=tan45∘−30∘求解即可.
【解答】
解：2−tan15∘=2−tan45∘−30∘
=2−tan45∘−tan30∘1+tan45∘⋅tan30∘
=2−1−331+33
=2−2−3
=3.
故答案为：3.
【答案】
152
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
先利用余弦定理求得csC，再利用同角三角函数关系求得sinC，代入三角形面积公式即可求解.
【解答】
解：由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=3ab2ab=32，
∴ sinC=1−cs2C=12，
则S△ABC=12ab⋅sinC=12×5×6×12=152.
故答案为：152.
【答案】
外心
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：取AB的中点D，则CA→+CB→=2CD→，
∵ AB→⋅CB→+CA→=2AB→⋅CP→，即2AB→⋅CD→=2AB→⋅CP→，
∴ AB→⋅CD→−CP→=0，即AB→⋅PD→=0，
∴ P在AB的中垂线上，
∴ PA=PB，又AP=CP，
∴ P为△ABC的外心．
故答案为：外心．
【答案】
1334+6
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
余弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由题意B=π3，b2=ac=a2+c2−2accsπ3，
即(a−c)2=0，a=c，可得三角形△ABC为等边三角形．
设AC=x，x>0，
在△ADC中，由余弦定理可得：
AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅csD，
由于AD=3，DC=2，
代入上式可得：x2=13−12csD，
∴ S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12x⋅xsinπ3+12⋅6sinD
=34x2+3sinD
=34(13−12csD)+3sinD
=6sinD−π3+1334，
∴ 四边形ABCD面积的最大值为1334+6．
故答案为：1334+6．
四、解答题
【答案】
解：(1)a→+b→=−1,1+2,−1=1,0，
a→−b→=−1,1−2,−1=−3,2．
(2)由|a→+b→|=1，
|a→−b→|=13，
a→+b→⋅a→−b→=−3.
设a→+b→和a→−b→的夹角为θ，
csθ=−313=−31313 ．
a→+b→和a→−b→的夹角余弦值为−31313．
【考点】
平面向量的坐标运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)a→+b→=−1,1+2,−1=1,0，
a→−b→=−1,1−2,−1=−3,2．
(2)由|a→+b→|=1，
|a→−b→|=13，
a→+b→⋅a→−b→=−3.
设a→+b→和a→−b→的夹角为θ，
csθ=−313=−31313 ．
a→+b→和a→−b→的夹角余弦值为−31313．
【答案】
解：(1)由题意可得，sinA=sinD.
在△ABC中，由asinA=bsin∠ABC，
得asinA=3sin∠ABC.
同理可得，asinD=1sin∠BCD，
所以3sin∠ABC=1sin∠BCD ，
∴ sin∠ABCsin∠BCD=3.
(2)在△ABC中，由余弦定理得：
csA=b2+c2−a22bc=32+42−a22×3×4=25−a224，
同理可得，csD=2−a22.
由(1)可得，25−a224=−2−a22，
解得BC=a=71313．
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意可得，sinA=sinD.
在△ABC中，由asinA=bsin∠ABC，
得asinA=3sin∠ABC.
同理可得，asinD=1sin∠BCD，
所以3sin∠ABC=1sin∠BCD ，
∴ sin∠ABCsin∠BCD=3.
(2)在△ABC中，由余弦定理得：
csA=b2+c2−a22bc=32+42−a22×3×4=25−a224，
同理可得，csD=2−a22.
由(1)可得，25−a224=−2−a22，
解得BC=a=71313．
【答案】
解：(1)利用正弦定理得： 3sinBsinA−sinAcsB=2sinB−sinA+B，
整理得3sinBsinA=2sinB−sinBcsA，
由于sinB≠0，
所以3sinA=2−csA，即2sinA+π6=2，
所以sinA+π6=1，
由于0(2)△ABC的面积S=12bcsinA=34bc．
由已知及余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，即4=b2+c2−2bccsπ3，
又b2+c2≥2bc ，
∴ bc≤4，当且仅当b=c=2时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为3．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)利用正弦定理得： 3sinBsinA−sinAcsB=2sinB−sinA+B，
整理得3sinBsinA=2sinB−sinBcsA，
由于sinB≠0，
所以3sinA=2−csA，即2sinA+π6=2，
所以sinA+π6=1，
由于0(2)△ABC的面积S=12bcsinA=34bc．
由已知及余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，即4=b2+c2−2bccsπ3，
又b2+c2≥2bc ，
∴ bc≤4，当且仅当b=c=2时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为3．
【答案】
解：(1)连接BC，
由余弦定理得BC2=402+202−2×20×40cs120∘=2800 ·
∴ BC=207，处于C处的乙船和遇险渔船间的距离为207海里．
(2)∵ sinθ40=sin120∘207 ，
∴ sinθ=37 ，
∵ θ是锐角，
∴ csθ=47，
fx=1−sin2θsinx+cs2θcsx
=47sinx+17csx
=177417sinx+117csx
=177sinx+ϕcsϕ=417,sinϕ=117 ，
当x=β时，fx取得最大值，此时β+ϕ=π2+2kπk∈Z．
得到β=π2−ϕ+2kπk∈Z，
csβ=csπ2−ϕ+2kπ=sinϕ=1717 ．
【考点】
余弦定理
同角三角函数间的基本关系
正弦定理
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)连接BC，
由余弦定理得BC2=402+202−2×20×40cs120∘=2800 ·
∴ BC=207，处于C处的乙船和遇险渔船间的距离为207海里．
(2)∵ sinθ40=sin120∘207 ，
∴ sinθ=37 ，
∵ θ是锐角，
∴ csθ=47，
fx=1−sin2θsinx+cs2θcsx
=47sinx+17csx
=177417sinx+117csx
=177sinx+ϕcsϕ=417,sinϕ=117 ，
当x=β时，fx取得最大值，此时β+ϕ=π2+2kπk∈Z．
得到β=π2−ϕ+2kπk∈Z，
csβ=csπ2−ϕ+2kπ=sinϕ=1717 ．
【答案】
解：(1)fx=2csxcsx−5π6+32
=sinxcsx−3cs2x+32
=12sin2x−32cs2x
=sin2x−π3．
令2x−π3=kπk∈Z，得x=π6+kπ2k∈Z，
所以fx的对称中心π6+kπ2,0k∈Z.
(2)因为f5π12−α
=sin5π6−2α−π3
=sinπ2−2α
=cs2α
=2cs2α−1=−725，且α为锐角，
所以csα=35， sinα=45，
因为sinα+β=513，
所以csα+β=±1213．
当csα+β=1213时，
csβ=csα+β−α
=csα+βcsα+sinα+βsinα
=1213×35+513×45=5665；
当csα+β=−1213时，
csβ=csα+β−α
=csα+βcsα+sinα+βsinα
=−1213×35+513×45=−1665．
【考点】
正弦函数的对称性
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的余弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=2csxcsx−5π6+32
=sinxcsx−3cs2x+32
=12sin2x−32cs2x
=sin2x−π3．
令2x−π3=kπk∈Z，得x=π6+kπ2k∈Z，
所以fx的对称中心π6+kπ2,0k∈Z.
(2)因为f5π12−α
=sin5π6−2α−π3
=sinπ2−2α
=cs2α
=2cs2α−1=−725，且α为锐角，
所以csα=35， sinα=45，
因为sinα+β=513，
所以csα+β=±1213．
当csα+β=1213时，
csβ=csα+β−α
=csα+βcsα+sinα+βsinα
=1213×35+513×45=5665；
当csα+β=−1213时，
csβ=csα+β−α
=csα+βcsα+sinα+βsinα
=−1213×35+513×45=−1665．
【答案】
解：(1)因为MD→=2AM→，
∴ AM→=13AD→=1312AB→+12AC→=16AB→+16AC→，
又∵ PQM三点共线，故AM→=tAP→+1−tAQ→=txAB→+1−tyAC→，
故 tx=16，1−ty=16， 故16x+16y=1⇒y=x6x−1.
∵ 0即y=fx=x6x−1 15≤x≤1.
(2)设△ABC的面积为S=1，
则△APQ的面积S1=xy=x26x−115≤x≤1，
所以λ=S2S1=1−xyxy=1xy−1=6x−1x2−1 ，
λ=6x−1x2−1=−1x2+6x−1=−1x−32+8，
∵ 15≤x≤1，则1x∈1,5，
当1x=3时，取到λ最大值为8，当1x=1或者1x=5取到最小值为4，
所以λ∈4,8 .
【考点】
向量在几何中的应用
向量的线性运算性质及几何意义
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为MD→=2AM→，
∴ AM→=13AD→=1312AB→+12AC→=16AB→+16AC→，
又∵ PQM三点共线，故AM→=tAP→+1−tAQ→=txAB→+1−tyAC→，
故 tx=16，1−ty=16， 故16x+16y=1⇒y=x6x−1.
∵ 0即y=fx=x6x−1 15≤x≤1.
(2)设△ABC的面积为S=1，
则△APQ的面积S1=xy=x26x−115≤x≤1，
所以λ=S2S1=1−xyxy=1xy−1=6x−1x2−1 ，
λ=6x−1x2−1=−1x2+6x−1=−1x−32+8，
∵ 15≤x≤1，则1x∈1,5，
当1x=3时，取到λ最大值为8，当1x=1或者1x=5取到最小值为4，
所以λ∈4,8 .