2020-2021学年河北省张家口市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省张家口市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A={−1,0,1,2}， B={x|x3−x≥0}，则A∩B=( )
A.{0,1,2}B.{0,1}C.1,2D.{−1,0,1}

2. 设向量a→，b→不共线，向量a→−2b→与3a→+kb→共线，则实数k=( )
A.2B.−1C.4D.−6

3. 条件p：“a→和b→夹角是锐角”与条件q:a→⋅b→>0”的关系是( )
A.p是q充要条件B.p是q充分不必要条件
C.p是q必要不充分条件D.p是q既不充分也不必要条件

4. 已知cs(x+π6)=−513，则sinx−π3=( )
A.−513B.513C.1213D.−1213

5. 函数fx=sin4x−cs4x−2的最小正周期为（ ）
A.π4B.π2C.πD.2π

6. 设a=lg52,b=lgπ2,c=2−π，则（ ）
A.a
7. 已知函数y=ax+3+3a>0,且a≠1的图象恒过点P，点P1与点P关于y=x对称，若角β的终边经过点P1，则sinβ=（ ）
A.35B.−35C.45D.−45

8. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[3, 5]时，f(x)=1−|x−4|，则下列不等式成立的是( )
A.f(sinπ3)>f(csπ3)B.f(sin1)>f(cs1)
C.f(cs2π3)>f(sin2π3)D.f(sin2)>f(cs2)
二、多选题

已知实数λ，k和向量a→,b→，下列说法正确的是( )
A.a→+b→=b→+a→B.|λa→|=λ|a→|
C.λ+ka→=λa→+ka→D.若λa→=λb→ ，则a→=b→

函数y=3sinx−csx的图像可由函数y=2sin2x的图像经过怎样的变换得到（ ）
A.沿x轴向左平移π3个单位，横坐标变为原来的2倍
B.沿x轴向右平移π12个单位，横坐标变为原来的2倍
C.横坐标变为原来的2倍，沿x轴向右平移π6个单位
D.横坐标变为原来的12倍，沿x轴向右平移π3个单位

已知在△ABC中，三个内角为A，B，C（每个内角正切值均存在），下列陈述正确的是（ ）
A.sinA+B=sinC
B.csA+B=csC
C.tanA⋅tanB⋅tanC=tanA+tanB+tanC
D.sinA+sinB+sinC≤332

设函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R（其中A>0，ω>0，|φ|<π2），在(0, π3)上既无极大值，也无极小值，且−f(π3)=f(0)=f(−π6)，则下列结论错误的是( )
A.若f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R成立，则|x2−x1|min=π
B.y=f(x)的图象关于直线x=512π对称
C.函数f(x)的单调区间为[kπ+π12, kπ+7π12](k∈Z)
D.函数y=|f(x)|(x∈R)的图象相邻两条对称轴的距离是π2
三、填空题

计算：OP→−NM→+NQ→−MP→=________.

已知函数fx=lg2ax+a2+8，x≥0，x−1，x<0，有f2+f−1=2，且fx在定义域上单调递增，则实数a的值是________.

被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实战中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m=5−12的近似值．黄金分割比还可以表示为2sin18∘，则m4−m22cs126∘=________ .

如图，一块边长为a的正方形区域ABCD，在A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠MAN始终为π4，记探照灯照射在正方形ABCD内部区域（阴影部分）的面积为S1，剩余部分面积为S2．则S2S1的最小值为________ .

四、解答题

已知平行四边形ABCD中，AB=5，AD=4 .
(1)若∠BAD=120∘，求向量DA→⋅AB→；

(2)若BD=6，求AC长度．

已知α为锐角，csα+π4=−513 .
(1)求tanα的值：

(2)求sinαcsα+cs2α−cs2α的值．

设两个非零向量e1→和e2→不共线．
(1)如果AB→=e1→−e2→，BC→=e1→−5e2→，CD→=2e1→+e2→，求证：A，B，D三点共线；

(2)若e1→，e2→是夹角为2π3的两个单位向量，试确定k的值，使e1→−e2→与ke1→+e2→垂直．

如图，某公园摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每6min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处．

(1)已知在tmin时点P距离地面的高度为ft=Asinωt+φ−ℎ(A>0,ω>0,|φ|≤π2)，求t=2021min时，点P距离地面的高度；

(2)当离地面大于85m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌．

已知函数fx=23sinx⋅csx+cs2x,x∈R.
(1)求fx的最小正周期；

(2)若函数gx=fx−m在x∈−π6，π3有零点，求实数m的范围．

已知函数fx满足fx+1=x3+ln4x2+1+2x−1．
(1)设gx=fx+1+1，判断函数gx的奇偶性，并加以证明；

(2)若不等式fsinθ−t+ fsin2θ+csθ+2<0对任意θ∈−π2,π4恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省张家口市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解： ∵A={−1,0,1,2}，
B={x|x3−x≥0}={x|0≤x<3}，
∴A∩B={0,1,2}．
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
向量的共线定理
【解析】
直接由向量共线基本定理，结合a→−2b→与3a→+kb→共线列式求得k的值．
【解答】
解：∵ 向量a→、b→不共线，
由a→−2b→与3a→+kb→共线，
则存在非零实数λ，使a→−2b→=λ(3a→+kb→)，
即a→−2b→=3λa→+kλb→，
∴ 3λ=1，kλ=−2，
解得：k=−6．
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据向量数量积的定义，我们易得到a→⋅b→>0的等价命题为a→与b→的夹角为锐角或a→与b→同向，进而可以判断出条件p⇒条件q和条件q⇒条件p的真假，进而根据必要条件、充分条件与充要条件的定义，得到结论．
【解答】
解：当a→⋅b→>0时，a→与b→的夹角为锐角或a→与b→同向；
p是q成立的不必要条件；
而当a→与b→的夹角为锐角时，
a→⋅b→>0一定成立，
即p是q成立的充分条件；
故p是q成立的充分不必要条件．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
由x+π6−(x−π3)=π2利用同角三角函数基本关系式可求sinx−π3的值．
【解答】
解：∵x+π6−(x−π3)=π2，
∴csx+π6=csx−π3+π2=−sinx−π3，
故sinx−π3=513．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的余弦公式
余弦函数的周期性
【解析】

【解答】
解：fx=sin2x+cs2xsin2x−cs2x−2
=−cs2x−2,
最小正周期是π，
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
换底公式的应用
对数的运算性质
【解析】
因为c=2−π<2−3=18【解答】
解：因为c=2−π<2−3=18故选D .
7.
【答案】
B
【考点】
三角函数线
指数函数的性质
【解析】
无
【解答】
解：因为P（−3，4），
所以P1（4，−3），
所以sinβ=−35.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
函数的周期性
函数单调性的性质
【解析】
利用函数的周期性及x∈[3, 5]时的表达式f(x)=2−|x−4|，可求得x∈[−1, 1]时的表达式，从而可判断逐个选项的正误．
【解答】
解：∵ f(x+2)=f(x)，
∴ 函数f(x)是周期为2的周期函数.
又当x∈[3, 5]时，f(x)=1−|x−4|，
∴ 当−1≤x≤1时，x+4∈[3, 5]，
∴ f(x)=f(x+4)=1−|x|，
∴ f(sinπ3)=f(32)=1−32<12=f(csπ3)，排除A，
f(sin1)=1−sin1<1−cs1=f(cs1)，排除B，
f(sin2π3)=1−32<1−12=f(csπ3)=f(cs2π3)，C正确，
f(sin2)=1−sin2<1−(−cs2)=f(cs2)，排除D．
故选C．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，属于向量加法运算的交换律，故A正确；
B，λ<0，结论不成立，故B错误；
C，属于向量数乘运算的分配律，故C正确；
D．λ=0，a→与b→不一定相等，故D错误.
故选AC．
【答案】
B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
两角和与差的正弦公式
【解析】

【解答】
解：∵y=3sinx−csx=2sinx−π6,
∴ 函数y=3sinx−csx的图像可由函数y=2sin2x的图像沿x轴向右平移π12个单位，横坐标变为原来的2倍得到；
或由函数y=2sin2x的图像横坐标变为原来的2倍，沿x轴向右平移π6个单位得到．
故选BC．
【答案】
A,C,D
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
诱导公式
两角和与差的正切公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵A、B、C是三角形的三个内角，
∴A+B=π−C，
对于A，sinA+B=sinπ−C=sinC，故A正确；
对于B，csA+B=csπ−C=−csC，故B错误；
对于C，∵A+B=π−C，
∴tanA+B=tanπ−C，
tanA+tanB1−tanA⋅tanB=−tanC,
tanA+tanB=−tanC+tanA⋅tanB⋅tanC，
∴ tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC，故C正确；
对于D，13×(sinA+sinB+sinC)≤sinA+B+C3，
sinA+sinB+sinC≤3sinπ3，
sinA+sinB+sinC≤332，故D正确，
故选ACD．
【答案】
A,B,C,D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
正弦函数的周期性
【解析】
对于A：根据条件先求出函数的解析式，根据条件判断f(x1)为函数的最小值，f(x2)为函数的最大值，即可；
对于B：根据函数的对称性进行判断；
对于C：求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；
对于D：根据函数的对称性以及对称轴之间的关系进行判断．
【解答】
解：∵ 在(0, π3)上既无极大值，也无极小值，
∴ (0, π3)是函数的一个单调区间，区间长度为π3，
即函数的周期T≥2×π3=2π3，即2πω≥2π3，则0<ω≤3．
∵ f(0)=f(−π6)，
∴ x=0−π62=−π12是函数的一条对称轴.
∵ −f(π3)=f(−π6)，
∴ x=π3−π62=π12，即(π12, 0)是函数的一个对称中心.
则 −π12ω+φ=π2+kπ①，π12ω+φ=π+kπ②，由①②解得ω=3，φ=−π4，
即f(x)=Asin(3x−π4)，函数的周期T=23π，
对于A，若f(x1)≤f(x2)对任意实数x恒成立，
则f(x1)为函数的最小值，f(x2)为函数的最大值，
则|x2−x1|=T2⋅k=k⋅π3，即x2−x1必定是π3的整数倍，故A错误；
对于B，x=5π12时，f(x)=Asinπ=0，故B错误；
对于C，x∈[kπ+π12, kπ+7π12](k∈Z)，
则3x∈[3kπ+π4, 3kπ+7π4](k∈Z)，
3x−π4∈[3kπ, 3kπ+3π2](k∈Z)，
则此时函数不单调，
即函数f(x)在[kπ+π12, kπ+7π12](k∈Z)上不单调，故C错误；
对于D,对于函数y=|f(x)|(x∈R)的图象，
相邻两条对称轴之间的距离是14×23π=π6，故D错误.
故选ABCD．
三、填空题
【答案】
OQ→
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
利用向量的加减运算求解即可.
【解答】
解：OP→−NM→+NQ→−MP→=OP→+PM→+NQ→−NM→=OM→+MQ→=OQ→.
故答案为：OQ→.
【答案】
2
【考点】
函数单调性的性质
分段函数的应用
【解析】
由f2+f−1=2，求出a，利用分段函数的单调性验证即可.
【解答】
解：由f2+f−1=2，
可得lg22a+a2+8−2=2，
则a2+2a=8，
解得a=−4或2.
当a=−4时，fx=lg2(24−4x)，x≥0，x−1，x<0，
不满足f(x)在定义域上单调递增，故舍去；
当a=2时，fx=lg22x+12，x≥0，x−1，x<0，
满足f(x)在定义域上单调递增.
故答案为：2.
【答案】
−1
【考点】
同角三角函数间的基本关系
诱导公式
二倍角的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：m4−m22cs126∘=2sin18∘(2cs18∘)2cs126∘=sin36∘cs126∘=sin36∘cs(90∘+36∘)=−1 .
故答案为：−1.
【答案】
22
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
两角和与差的正切公式
函数最值的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设∠BAM=α，α∈0,π4，
则||BM||AB|=tanα，
∴ |BM|=atanα，
∠DAN=π4−α，
∴ |DN|=atanπ4−α=1−tanα1+tanαa，
设tanα=t,0≤t≤1，
S2=12|AB|⋅|BM|+12|AD|⋅|DN|
=a22t+1−t1+t=a22t+21+t−1
=a22t+1+21+t−2≥a222(t+1)×21+t−2
=a2(2−1)，
当且仅当t=2−1时取等号成立，
因为S2+S1是定值a2，
所以S2最小时，同时S1取到最大值，
S2S1的最小值为a22−1a2−a22−1=22 .
故答案为：22.
四、解答题
【答案】
解：(1)DA→⋅AB→=4×5×cs(180∘−120∘)=10 .
(2)|AC→|2+|BD→|2
=|AB→+AD→|2+|AD→−AB→|2
=2|AB→|2+2|AD→|2，
∴ |AC→|2+62=2×(52+42)=82，
解得|AC→|=46．
【考点】
平面向量数量积的运算
向量模长的计算
【解析】

【解答】
解：(1)DA→⋅AB→=4×5×cs(180∘−120∘)=10 .
(2)|AC→|2+|BD→|2=|AB→+AD→|2+|AD→−AB→|2=2|AB→|2+2|AD→|2，
∴ |AC→|2+62=2×(52+42)=82，
解得|AC→|=46．
【答案】
解：(1)csα+π4=−513，
所以π2所以sinα+π4=1213，
tanα+π4=1+tanα1−tanα=−125，
tanα=177 ．
(2)sinαcsα+cs2α−cs2α=sinαcsα+cs2α−1
=sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α−1=tanα+1tan2α+1−1
=−85169 .
【考点】
三角函数的化简求值
两角和与差的正切公式
同角三角函数间的基本关系
二倍角的余弦公式
【解析】


【解答】
解：(1)csα+π4=−513，
所以π2所以sinα+π4=1213，
tanα+π4=1+tanα1−tanα=−125，
tanα=177 ．
(2)sinαcsα+cs2α−cs2α=sinαcsα+cs2α−1
=sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α−1=tanα+1tan2α+1−1
=−85169 .
【答案】
(1)证明：∵ BD→=BC→+CD→
=e1→−5e2→+2e1→+2e2→
=3e1→−3e2→=3e1→−e2→，
AB→=e→1−e2→，
∴ BD→=3AB→.
∵ BD→和AB→有公共点B，
∴ A，B，D三点共线.
(2)解：由题意得，e1→2=e2→2=1，
e1→⋅e2→=1×1×cs2π3=−12．
若e1→−e2→与ke1→+e2→垂直，
则e1→−e2→⋅ke1→+e2→=0，
即ke1→2−e2→2+1−ke1→⋅e2→=0，
∴ k−1+k−12=0，
解得k=1．
【考点】
向量的共线定理
平面向量共线（平行）的坐标表示
单位向量
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】


【解答】
(1)证明：∵ BD→=BC→+CD→
=e1→−5e2→+2e1→+2e2→
=3e1→−3e2→=3e1→−e2→，
AB→=e→1−e2→，
∴ BD→=3AB→.
∵ BD→和AB→有公共点B，
∴ A，B，D三点共线.
(2)解：由题意得，e1→2=e2→2=1，
e1→⋅e2→=1×1×cs2π3=−12．
若e1→−e2→与ke1→+e2→垂直，
则e1→−e2→⋅ke1→+e2→=0，
即ke1→2−e2→2+1−ke1→⋅e2→=0，
∴ k−1+k−12=0，
解得k=1．
【答案】
解：(1)依题意知， A=50,ℎ=60,T=6，
由T=2πω=6，
解得ω=π3，
所以ft=50sinπ3t+φ+60．
因为f0=10，
所以sinφ=−1，
又|φ|≤π2，
所以φ=−π2．
所以ft=50sinπ3t−π2+60t≥0 ,
所以f2021=50sinπ3×2021−π2+60=−25+60=35 ，
即t=2021min时点P距离地面的高度为35m．
(2)由(1)知ft=50sinπ3t−π2+60．
令ft=50sinπ3t−π2+60>85，
即csπ3t<−12，
解得2π3+2kπ<π3t<2kπ+4π3，k∈N∗，
即2+6k又4+6k−2+6k=2 ，
所以转一圈中在点P处有2min 的时间可以看到公园的全貌．
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
余弦函数的定义域和值域
诱导公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依题意知， A=50,ℎ=60,T=6，
由T=2πω=6，
解得ω=π3，
所以ft=50sinπ3t+φ+60．
因为f0=10，
所以sinφ=−1，
又|φ|≤π2，
所以φ=−π2．
所以ft=50sinπ3t−π2+60t≥0 ,
所以f2021=50sinπ3×2021−π2+60=−25+60=35 ，
即t=2021min时点P距离地面的高度为35m．
(2)由(1)知ft=50sinπ3t−π2+60．
令ft=50sinπ3t−π2+60>85，
即csπ3t<−12，
解得2π3+2kπ<π3t<2kπ+4π3，k∈N∗，
即2+6k又4+6k−2+6k=2 ，
所以转一圈中在点P处有2min 的时间可以看到公园的全貌．
【答案】
解：(1)fx=3sin2x+cs2x=2sin2x+π6，
∴ f(x)的最小正周期为T=2π2=π ．
(2)函数g(x)=f(x)−m在x∈−π6,π3有零点等价于m=f(x)，x∈−π6,π3，
∵ x∈−π6,π3，
∴ −π6≤2x+π6≤5π6 ，
∴ −12≤sin2x+π6≤1，
∴ −1≤2sin2x+π6≤2，
∴ 当2x+π6=−π6，即x=−π6时，fx的最小值为−1；
当2x+π6=π2，即x=π6时，fx的最大值为2 .
∴ −1≤m≤2 .
【考点】
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
正弦函数的周期性
正弦函数的定义域和值域
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】

【解答】
解：(1)fx=3sin2x+cs2x=2sin2x+π6，
∴ f(x)的最小正周期为T=2π2=π ．
(2)函数g(x)=f(x)−m在x∈−π6,π3有零点等价于m=f(x)，x∈−π6,π3，
∵ x∈−π6,π3，
∴ −π6≤2x+π6≤5π6 ，
∴ −12≤sin2x+π6≤1，
∴ −1≤2sin2x+π6≤2，
∴ 当2x+π6=−π6，即x=−π6时，fx的最小值为−1；
当2x+π6=π2，即x=π6时，fx的最大值为2 .
∴ −1≤m≤2 .
【答案】
(1)证明：gx=fx+1+1=x3+ln4x2+1+2x定义域为R关于原点对称．
g−x=−x3+ln4x2+1−2x
gx+g−x=x3+ln4x2+1+2x−x3+ln4x2+1−2x=0，
故gx为R上的奇函数．
(2)解：gx=x3+ln4x2+1+2x，
在[0,+∞)上y=x3和y=ln4x2+1+2x都是单调递增函数，
∴ gx在[0,+∞)上单调递增，
∴ gx=fx+1+1是单调递增的奇函数，
∴ fsinθ−t+fsin2θ+csθ+2<0，
f(sinθ−t−1+1)+f(sin2θ+csθ−1+1)+2<0，
fsinθ−t−1+1+1<−fsin2θ+csθ−1+1+1，
gsinθ−t−1<−gsin2θ+csθ−1 ，
∴ gsinθ−t−1即sinθ−t−1<−sin2θ−csθ+1，
∴ sinθ+csθ−1sin2θ+sinθ+csθ−2对任意θ∈−π2,π4恒成立，
令m=sinθ+csθ=2sinθ+π4 ，
∵ θ∈−π2,π4，
∴ m∈−1,2，
则m2=sin2θ+1即t>m2+m−3,m∈−1,2 ，
由此可得：t≥2−1，故实数t的取值范围为[2−1,+∞)．
【考点】
函数奇偶性的判断
奇偶性与单调性的综合
不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：gx=fx+1+1=x3+ln4x2+1+2x定义域为R关于原点对称．
g−x=−x3+ln4x2+1−2x
gx+g−x=x3+ln4x2+1+2x−x3+ln4x2+1−2x=0，
故gx为R上的奇函数．
(2)解：gx=x3+ln4x2+1+2x，
在[0,+∞)上y=x3和y=ln4x2+1+2x都是单调递增函数，
∴ gx在[0,+∞)上单调递增，
∴ gx=fx+1+1是单调递增的奇函数，
∴ fsinθ−t+fsin2θ+csθ+2<0，
f(sinθ−t−1+1)+f(sin2θ+csθ−1+1)+2<0，
fsinθ−t−1+1+1<−fsin2θ+csθ−1+1+1，
gsinθ−t−1<−gsin2θ+csθ−1 ，
∴ gsinθ−t−1即sinθ−t−1<−sin2θ−csθ+1，
∴ sinθ+csθ−1sin2θ+sinθ+csθ−2对任意θ∈−π2,π4恒成立，
令m=sinθ+csθ=2sinθ+π4 ，
∵ θ∈−π2,π4，
∴ m∈−1,2，
则m2=sin2θ+1即t>m2+m−3,m∈−1,2 ，
由此可得：t≥2−1，故实数t的取值范围为[2−1,+∞)．