2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 式子有意义的条件是

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中，能与合并的是

A.  B.  C.  D.

3. 中，已知，要使是直角，的长度是

A.  B.  C.  D. 或

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 下列命题中是假命题的是

A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形

6. 在中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

7. 已知四边形是平行四边形，对角线、交于点，是的中点，以下说法错误的是

A.
B.
C.
D.
 

8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标介于

A. 和之间
B. 和之间
C. 和之间
D. 和之间

9. 如图，平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点、，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙两种方案，则正确的方案是

A. 甲是 B. 乙是 C. 甲、乙都是 D. 甲、乙都不是

10. 如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点若，，则的大小为

A.  B.  C.  D.

11. 在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为尺．将它往前水平推送尺时，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

12. 如图，在菱形中，，，为的中点，为对角线上的任意一点，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子．为说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，请举一个反例______．
14. 如图，是菱形的一条对角线，点在的延长线上，若，则的度数为______ 度
     

15. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了、、三地的坐标，数据如图单位：，笔直铁路经过、两地．则、两地间的距离为______，、两地间的距离为______．
     

16. 如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接，，则下列结论：≌；；；；其中正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共7小题，共68分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 如图，每个小正方形的边长都是、、、均在网格的格点上．
    是直角吗？请证明你的判断．
    直接写出四边形的面积
    找到格点，并画出四边形一个即可，使得其面积与四边形面积相等．

19. 如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．
    求证：四边形为矩形；
    当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明．
     

20. 如图，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角，侧面示意图如图；如图，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，电脑转到位置，侧面示意图如图已知，于点，，．
    求的长；
    垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？

21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

22. 阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦九韶公式”完成以下问题：如图，在中，，，．
    直接写出的值，______．
    求的面积；
    过点作，垂足为，求线段的长．

23. 问题解决：如图，在矩形中，点，分别在，边上，，于点．
     

求证：四边形是正方形；
延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，则______只在图中作辅助线，并简要说明其作法，直接写出的长度
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得，
解得，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的概念解答即可．
本题考查的是同类二次根式的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：是直角，故AC为的斜边，为直角边，
．
故选：．
先分析得出为斜边，为直角边，所以用勾股定理可求．
本题考查了勾股定理，用勾股定理进行计算是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：与不是同类二次根式，不能加减，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选：．
利用二次根式的加减法法则计算、，利用二次根式的乘、除法法则计算、，根据计算结果判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理；故A不符合题意．
B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，故B符合题意．
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C不符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意．
故选：．
做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．
本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．
 

6.【答案】

【解析】解：、，，是直角三角形，不符合题意；
B、设，，，，不是直角三角形，符合题意；
C、，，是直角三角形，不符合题意；
D、：：：：，，是直角三角形，不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，三角形的内角和等于．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项 A 、 、 C 正确；由 ，得出 ，选项 D 错误；即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
【解答】
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
又 点 是 的中点，
是 的中位线，
， ，
，
，
选项 A 、 、 C 正确；
，
，
选项 D 错误；
故选： ．   

8.【答案】

【解析】解：点，的坐标分别为，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
点的坐标为，
，
，
即点的横坐标介于和之间，
故选：．
求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可．
本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长
 

9.【答案】

【解析】解：方案甲，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
故选：．
方案甲，连接，由平行四边形的性质得，，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；
方案乙，证≌，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
将沿折叠至处，
，
，
故选：．
由三角形外角的性质可得，由折叠的性质可得，即可求解．
本题考查了翻折变换的性质，平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；灵活运用翻折变换和平行四边形的性质是解本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：设绳索有尺长，则
，
解得：．
故绳索长尺．
故选：．
设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
 

12.【答案】

【解析】解：如图，连接，，．

四边形是菱形，
，
≌，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
如图，连接，，证明，可得，解直角三角形求出，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】答案不唯一．

【解析】解：当时，不成立．
故答案为：答案不唯一．
利用时，不成立，从而可对各选项进行判断．
本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形为菱形，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质可得，，得到，利用外角性质可得．
本题考查了菱形的性质，解题的关键是根据菱形的性质得到．
 

15.【答案】 

【解析】解：由、两点的纵坐标相同可知：轴，
；
，，
．
故答案为：，．
根据两点的纵坐标相同即可求出的长度；由勾股定理得出、两地间的距离．
此题主要考查了坐标确定位置，正确运用勾股定理计算是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】解：正确．
理由：，，，
≌；
正确．
理由：，设，则．
在直角中，根据勾股定理，得，
解得．
；
正确．
理由：，，
，
是等腰三角形，．
又≌；
，，
，
；
错误．
理由：，
错误；
错误．
，，
又，
，
，
故答案为：．
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证≌；在直角中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得；求出的面积即可；求得，．
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
 

17.【答案】解：


；



．

【解析】先计算二次根式，再计算乘法，后计算加减；
先计算开方、绝对值和平方，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

18.【答案】解：不是直角．
理由：，，，
，
不是直角．

．

如图，四边形即为所求作．
 

【解析】利用勾股定理，判断即可．
利用分割法求解即可．
取格点，连接，即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理以及逆定理，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】证明：在中，，，
，
是外角的平分线，
，
，
又，，
，
四边形为矩形．
当满足时，四边形是一个正方形．
理由：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
当时，四边形是一个正方形．

【解析】根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知，，所以求证，可以证明四边形为矩形．
根据正方形的判定，我们可以假设当，由已知可得，，由的结论可知四边形为矩形，所以证得，四边形为正方形．
本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
答：的长为；
过点作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
显示屏的顶部比原来升高了．

【解析】根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；
过点作交的延长线于，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，正确的画出图形是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．

【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键．
 

22.【答案】

【解析】解：，，，
．
故答案为：；
的面积；
如图，的面积，
，
解得．
在中，，，
．
利用阅读材料，计算出的值；
根据海伦秦九韶公式计算的面积；
利用面积法求的长，再根据勾股定理可求的长．
本题考查了二次根式的应用，三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了阅读理解能力．
 

23.【答案】

【解析】问题解决：
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形：
解：是等腰三角形，理由如下：
由得：≌，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
即垂直平分，
，
是等腰三角形．
类比迁移：
解：延长到点，使得，连接，如图所示：
四边形是菱形，
，，
．
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
问题解决：证≌，得，即可得出结论；
由全等三角形的性质得，则，再证，然后由线段垂直平分线的性质即可得出结论；
类比迁移：延长到点，使得，连接，证≌，得，，再证是等边三角形，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．