2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级下学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．式子有意义的条件是（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2
2．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（ ）
A．B．C．3D．或
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．3﹣＝3C．×＝D．＝4
5．下列命题中是假命题的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．a：b：c＝3：4：6
C．a2＝c2﹣b2D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
7．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE＝DCB．OA＝OCC．∠BOE＝∠OBAD．∠OBE＝∠OCE
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
9．如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N、M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．甲是B．乙是
C．甲、乙都是D．甲、乙都不是
10．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED'的大小为（ ）
A．27°B．32°C．36°D．40°
11．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（ ）
A．13.5尺B．14尺C．14.5尺D．15尺
12．如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子．为说明命题“对于任何实数a，都有＝a”是假命题，请举一个反例a＝ ．
14．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 度．
15．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A、B、C三地的坐标，数据如图（单位：km），笔直铁路经过A、B两地．则A、B两地间的距离为 km，A、C两地间的距离为 km．
16．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝12；⑤∠AGB+∠AED＝145°．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共68分）
17．计算：
（1）×﹣4；
（2）|﹣|﹣（1﹣）2．
18．如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．
（1）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．
（2）直接写出四边形ABCD的面积
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点N．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．
20．如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角120°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，∠O′AC＝30°，AC＝cm．
（1）求OA的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
22．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积为S＝这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7．
（1）直接写出p的值，p＝ ．
（2）求△ABC的面积；
（3）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段CD的长．
23．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，则DE＝ ．（只在图2中作辅助线，并简要说明其作法，直接写出DE的长度）
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．式子有意义的条件是（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得3x﹣6＞0，
解得x＞2，
故选：C．
2．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的概念解答即可．
解：A、＝3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、＝2，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
C、＝与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、＝与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（ ）
A．B．C．3D．或
【分析】先分析得出AC为斜边，AB为直角边，所以BC用勾股定理可求．
解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，
∴BC＝＝＝．
故选：A．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．3﹣＝3C．×＝D．＝4
【分析】利用二次根式的加减法法则计算A、B，利用二次根式的乘、除法法则计算C、D，根据计算结果判断即可．
解：与不是同类二次根式，不能加减，故选项A错误；
3﹣＝2≠3，故选项B错误；
×＝，故选项C错误；
÷＝＝2≠4，故选项D错误．
故选：C．
5．下列命题中是假命题的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．
解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（平行四边形判定定理）；故A不符合题意．
B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，故B符合题意．
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C不符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意．
故选：B．
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．a：b：c＝3：4：6
C．a2＝c2﹣b2D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
解：A、∠A+∠B＝∠C，∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∵设a＝3x，b＝4x，c＝6x，（3x）2+（4x）2≠（6x）2，不是直角三角形，符合题意；
C、a2＝c2﹣b2，a2+b2＝c2，是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
7．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE＝DCB．OA＝OCC．∠BOE＝∠OBAD．∠OBE＝∠OCE
【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝DC，OE∥DC，
∴OE∥AB，
∴∠BOE＝∠OBA，
∴选项A、B、C正确；
∵OB≠OC，
∴∠OBE≠∠OCE，
∴选项D错误；
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝，
∴AC＝AB＝，
∴OC＝﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
∵，
∴，
即点C的横坐标介于1和2之间，
故选：B．
9．如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N、M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．甲是B．乙是
C．甲、乙都是D．甲、乙都不是
【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙，证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确．
解：方案甲，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；
故选：C．
10．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED'的大小为（ ）
A．27°B．32°C．36°D．40°
【分析】由三角形外角的性质可得∠AEC＝∠D+∠DAE＝74°，由折叠的性质可得∠AED＝∠AED'＝106°，即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝54°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝74°，
∴∠AED＝106°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，
∴∠AED＝∠AED'＝106°，
∴∠FED'＝∠AED'﹣∠AEC＝106°﹣74°＝32°，
故选：B．
11．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（ ）
A．13.5尺B．14尺C．14.5尺D．15尺
【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：设绳索有x尺长，则
102+（x+1﹣5）2＝x2，
解得：x＝14.5．
故绳索长14.5尺．
故选：C．
12．如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】如图，连接PC，AC，CQ．证明PA＝PC，可得PA+PQ＝PC+PQ≥CQ，解直角三角形求出CQ，可得结论．
解：如图，连接PC，AC，CQ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝∠PBC，
∴△ABP≌△CBP，
∴PA＝PC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AQ＝QB，
∴CQ⊥AB，
∴CQ＝BC•sin60°＝，
∵PA+PQ＝PC+PQ≥CQ，
∴PA+PQ≥，
∴PA+PQ的最小值为．
故选：C．
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子．为说明命题“对于任何实数a，都有＝a”是假命题，请举一个反例a＝ ﹣2（答案不唯一）． ．
【分析】利用a＜0时，＝a不成立，从而可对各选项进行判断．
解：当a＝﹣2时，＝a不成立．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
14．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 64 度．
【分析】根据菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，得到∠CBD＝∠BDC＝∠ADB，利用外角性质可得．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB＝32°，
∴∠CBD＝∠BDC＝32°，
∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝64°，
故答案为：64．
15．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A、B、C三地的坐标，数据如图（单位：km），笔直铁路经过A、B两地．则A、B两地间的距离为 5 km，A、C两地间的距离为 3 km．
【分析】根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；由勾股定理得出A、C两地间的距离．
解：由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，
∴AB＝3﹣（﹣2）＝5（km）；
∵A（3，1），C（0，﹣5），
∴AC＝＝3（km）．
故答案为：5，3．
16．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝12；⑤∠AGB+∠AED＝145°．其中正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG＝GC；通过证明∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；求出S△EGC的面积即可；求得∠GAF＝45°，∠AGB+∠AED＝180°﹣∠GAF＝135°．
解：①正确．
理由：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．
理由：EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，
解得x＝3．
∴BG＝3＝6﹣3＝CG；
③正确．
理由：∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，
∴AG∥CF；
④错误．
理由：∵S△GCE＝GC•CE＝×3×4＝6，
∴④错误；
⑤错误．
∵∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠GAE＝45°，
∴∠AGB+∠AED＝180°﹣∠GAE＝135°，
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共7小题，共68分）
17．计算：
（1）×﹣4；
（2）|﹣|﹣（1﹣）2．
【分析】（1）先计算二次根式，再计算乘法，后计算加减；
（2）先计算开方、绝对值和平方，后计算加减．
解：（1）×﹣4
＝3×﹣4×
＝3﹣2
＝；
（2）|﹣|﹣（1﹣）2
＝3﹣2﹣（3﹣2）
＝3﹣2﹣3+2
＝0．
18．如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．
（1）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．
（2）直接写出四边形ABCD的面积
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
【分析】（1）利用勾股定理，判断即可．
（2）利用分割法求解即可．
（3）取格点E，连接BE，DE即可．
解：（1）∠BCD不是直角．
理由：∵BC2＝52+22＝29，CD2＝5，BD2＝42+42＝32，
∴BC2+CD2≠BD2，
∴∠BCD不是直角．
（2）S四边形ABCD＝5×5﹣×2×5﹣×1×5﹣×1×2﹣×1×3﹣1＝14．
（3）如图，四边形ABED即为所求作．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点N．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．
【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE＝90°，可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD＝BC，由已知可得，DC＝BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝180°＝90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
20．如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角120°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，∠O′AC＝30°，AC＝cm．
（1）求OA的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AO′＝2CO′，根据勾股定理即可得到结论；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）∵O'C⊥OA，
∴∠ACO′＝90°，
∵∠CAO′＝30°，
∴AO′＝2CO′，
∵AO′2＝AC2+CO′2，
∴AO′2＝（10）2+（AO′）2，
∴AO＝AO′＝20cm，
答：OA的长为20cm；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB，
∵OB＝OA＝20cm，
∴OD＝10cm，
∴BD＝＝10（cm），
∵O′C⊥OA，∠CAO′＝30°，
∴∠AO′C＝60°，
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠AO′B′+∠AO′C＝180°，
∴O′B′+O′C﹣BD＝20+10﹣10＝（30﹣10）cm，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（30﹣10）cm．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝2，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，
∴OA＝＝4，
∴OE＝OA＝4．
22．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积为S＝这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7．
（1）直接写出p的值，p＝ 10 ．
（2）求△ABC的面积；
（3）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段CD的长．
【分析】（1）利用阅读材料，计算出p的值；
（2）根据海伦——秦九韶公式计算△ABC的面积；
（3）利用面积法求AD的长，再根据勾股定理可求CD的长．
解：（1）∵a＝8，b＝5，c＝7，
∴p＝＝10．
故答案为：10；
（2）△ABC的面积S＝＝＝10；
（3）如图，∵△ABC的面积＝BC•AD，
∴×8×AD＝10，
解得AD＝．
在Rt△ACD中，AC＝5，AD＝，
∴CD＝＝＝．
23．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，则DE＝ 9 ．（只在图2中作辅助线，并简要说明其作法，直接写出DE的长度）
【分析】问题解决：（1）证△ADE≌△BAF（AAS），得AD＝BA，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AE＝BF，则BF＝BH，再证AB⊥BC，然后由线段垂直平分线的性质即可得出结论；
类比迁移：延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，证△DAE≌△ABH（SAS），得DE＝AH，∠AHB＝∠DEA＝60°，再证△AHF是等边三角形，即可得出答案．
【解答】问题解决：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE＝∠ABF＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AGD＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝BA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形：
（2）解：△AHF是等腰三角形，理由如下：
由（1）得：△ADE≌△BAF，
∴AE＝BF，
∵BH＝AE，
∴BF＝BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
即AB垂直平分FH，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形．
类比迁移：
解：延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠BAD．
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴DE＝AH，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝BH+BF＝AE+BF＝7+2＝9，
∴DE＝AH＝9，
故答案为：9．