2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级(下)期中数学试卷(含解析)
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2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级(下)期中数学试卷
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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一、选择题(本大题共12小题,共36分)
- 式子有意义的条件是
A. B. C. D.
- 下列二次根式中,能与合并的是
A. B. C. D.
- 中,已知,要使是直角,的长度是
A. B. C. D. 或
- 下列运算正确的是
A. B.
C. D.
- 下列命题中是假命题的是
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
- 在中,,,的对边分别记为,,,由下列条件不能判定为直角三角形的是
A. B. ::::
C. D. ::::
- 已知四边形是平行四边形,对角线、交于点,是的中点,以下说法错误的是
A.
B.
C.
D.
- 如图,在平面直角坐标系中,已知点,,以点为圆心,长为半径画弧,交轴的正半轴于点,则点的横坐标介于
A. 和之间
B. 和之间
C. 和之间
D. 和之间
- 如图,平行四边形中,,为锐角.要在对角线上找点、,使四边形为平行四边形,现有图中的甲、乙两种方案,则正确的方案是
A. 甲是 B. 乙是 C. 甲、乙都是 D. 甲、乙都不是
- 如图,在平行四边形中,为边上一点,将沿折叠至处,与交于点若,,则的大小为
A. B. C. D.
- 在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离长度为尺.将它往前水平推送尺时,即尺,则此时秋千的踏板离地距离就和身高尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索长为
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
- 如图,在菱形中,,,为的中点,为对角线上的任意一点,则的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,共16分)
- 数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”,即举一个满足条件,但不满足结论的例子.为说明命题“对于任何实数,都有”是假命题,请举一个反例______.
- 如图,是菱形的一条对角线,点在的延长线上,若,则的度数为______ 度
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- 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了、、三地的坐标,数据如图单位:,笔直铁路经过、两地.则、两地间的距离为______,、两地间的距离为______.
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- 如图,正方形中,,点在边上,且,将沿对折至,延长交边于点,连接,,则下列结论:≌;;;;其中正确结论的序号是______.
三、解答题(本大题共7小题,共68分)
- 计算:
;
. - 如图,每个小正方形的边长都是、、、均在网格的格点上.
是直角吗?请证明你的判断.
直接写出四边形的面积
找到格点,并画出四边形一个即可,使得其面积与四边形面积相等.
- 如图,在中,,,垂足为点,是外角的平分线,,垂足为点.
求证:四边形为矩形;
当满足什么条件时,四边形为正方形?给出证明.
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- 如图,居家网课学习时,小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏与底板所在水平线的夹角,侧面示意图如图;如图,使用时为了散热,他在底板下垫入散热架后,电脑转到位置,侧面示意图如图已知,于点,,.
求的长;
垫入散热架后,显示屏顶部比原来升高了多少?
- 如图,在四边形中,,,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接.
求证:四边形是菱形;
若,,求的长.
- 阅读材料:如果一个三角形的三边长分别为,,,记,那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式,我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式,称三斜求积术,故这个公式又被称为“海伦秦九韶公式”完成以下问题:如图,在中,,,.
直接写出的值,______.
求的面积;
过点作,垂足为,求线段的长.
- 问题解决:如图,在矩形中,点,分别在,边上,,于点.
求证:四边形是正方形;
延长到点,使得,判断的形状,并说明理由.
类比迁移:如图,在菱形中,点,分别在,边上,与相交于点,,,,,则______只在图中作辅助线,并简要说明其作法,直接写出的长度
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:由题意得,
解得,
故选:.
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式,解不等式得到答案.
本题考查的是代数式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为解题的关键.
2.【答案】
【解析】解:、,与不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
B、,与是同类二次根式,故本选项符合题意;
C、与不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
D、与不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
故选:.
根据同类二次根式的概念解答即可.
本题考查的是同类二次根式的概念,掌握把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键.
3.【答案】
【解析】解:是直角,故AC为的斜边,为直角边,
.
故选:.
先分析得出为斜边,为直角边,所以用勾股定理可求.
本题考查了勾股定理,用勾股定理进行计算是解题关键.
4.【答案】
【解析】解:与不是同类二次根式,不能加减,故选项A错误;
,故选项B错误;
,故选项C错误;
,故选项D错误.
故选:.
利用二次根式的加减法法则计算、,利用二次根式的乘、除法法则计算、,根据计算结果判断即可.
本题考查了二次根式的混合运算,掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键.
5.【答案】
【解析】解:、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理;故A不符合题意.
B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形,不一定是矩形,还可能是不规则四边形,故B符合题意.
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形,故C不符合题意;
D、一组邻边相等的矩形是正方形,故D不符合题意.
故选:.
做题时首先熟悉各种四边形的判定方法,然后作答.
本题主要考查各种四边形的判定,基础题要细心.
6.【答案】
【解析】解:、,,是直角三角形,不符合题意;
B、设,,,,不是直角三角形,符合题意;
C、,,是直角三角形,不符合题意;
D、::::,,是直角三角形,不符合题意;
故选:.
根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可.
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理,注意:如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,三角形的内角和等于.
7.【答案】
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项 A 、 、 C 正确;由 ,得出 ,选项 D 错误;即可得出结论.
此题考查了平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.还考查了三角形中位线定理:三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半.
【解答】
解: 四边形 是平行四边形,
, , ,
又 点 是 的中点,
是 的中位线,
, ,
,
,
选项 A 、 、 C 正确;
,
,
选项 D 错误;
故选: .
8.【答案】
【解析】解:点,的坐标分别为,,
,,
在中,由勾股定理得:,
,
,
点的坐标为,
,
,
即点的横坐标介于和之间,
故选:.
求出、,根据勾股定理求出,即可得出,求出长即可.
本题考查了勾股定理,实数的大小比较,坐标与图形性质的应用,解此题的关键是求出的长
9.【答案】
【解析】解:方案甲,连接,如图所示:
四边形是平行四边形,为的中点,
,,
,,
,
四边形为平行四边形,故方案甲正确;
方案乙,四边形是平行四边形,
,,
,
,,
,,
在和中,
,
≌,
,
又,
四边形为平行四边形,故方案乙正确;
故选:.
方案甲,连接,由平行四边形的性质得,,则,得四边形为平行四边形,方案甲正确;
方案乙,证≌,得,再由,得四边形为平行四边形,方案乙正确.
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识;熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.
10.【答案】
【解析】解:四边形是平行四边形,
,
,
,
,
将沿折叠至处,
,
,
故选:.
由三角形外角的性质可得,由折叠的性质可得,即可求解.
本题考查了翻折变换的性质,平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识;灵活运用翻折变换和平行四边形的性质是解本题的关键.
11.【答案】
【解析】解:设绳索有尺长,则
,
解得:.
故绳索长尺.
故选:.
设绳索有尺长,根据勾股定理列方程即可得到结论.
本题考查勾股定理的应用,理解题意能力,关键是能构造出直角三角形,用勾股定理来解.
12.【答案】
【解析】解:如图,连接,,.
四边形是菱形,
,
≌,
,
,
,
,
,
是等边三角形,
,
,
,
,
,
的最小值为.
故选:.
如图,连接,,证明,可得,解直角三角形求出,可得结论.
本题考查轴对称最短问题,等边三角形的判定和性质,菱形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.
13.【答案】答案不唯一.
【解析】解:当时,不成立.
故答案为:答案不唯一.
利用时,不成立,从而可对各选项进行判断.
本题考查了命题:命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
14.【答案】
【解析】解:四边形为菱形,
,,
,,
,
,
故答案为:.
根据菱形的性质可得,,得到,利用外角性质可得.
本题考查了菱形的性质,解题的关键是根据菱形的性质得到.
15.【答案】
【解析】解:由、两点的纵坐标相同可知:轴,
;
,,
.
故答案为:,.
根据两点的纵坐标相同即可求出的长度;由勾股定理得出、两地间的距离.
此题主要考查了坐标确定位置,正确运用勾股定理计算是解题关键.
16.【答案】
【解析】解:正确.
理由:,,,
≌;
正确.
理由:,设,则.
在直角中,根据勾股定理,得,
解得.
;
正确.
理由:,,
,
是等腰三角形,.
又≌;
,,
,
;
错误.
理由:,
错误;
错误.
,,
又,
,
,
故答案为:.
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证≌;在直角中,根据勾股定理可证;通过证明,由平行线的判定可得;求出的面积即可;求得,.
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,平行线的判定,三角形的面积计算等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用.
17.【答案】解:
;
.
【解析】先计算二次根式,再计算乘法,后计算加减;
先计算开方、绝对值和平方,后计算加减.
此题考查了实数的混合运算能力,关键是能确定准确的运算顺序,并能对各种运算进行准确计算.
18.【答案】解:不是直角.
理由:,,,
,
不是直角.
.
如图,四边形即为所求作.
【解析】利用勾股定理,判断即可.
利用分割法求解即可.
取格点,连接,即可.
本题考查作图应用与设计作图,勾股定理以及逆定理,四边形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
19.【答案】证明:在中,,,
,
是外角的平分线,
,
,
又,,
,
四边形为矩形.
当满足时,四边形是一个正方形.
理由:,
,
,
,
,
四边形为矩形,
矩形是正方形.
当时,四边形是一个正方形.
【解析】根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形,已知,,所以求证,可以证明四边形为矩形.
根据正方形的判定,我们可以假设当,由已知可得,,由的结论可知四边形为矩形,所以证得,四边形为正方形.
本题是以开放型试题,主要考查了对矩形的判定,正方形的判定,等腰三角形的性质,及角平分线的性质等知识点的综合运用.
20.【答案】解:,
,
,
,
,
,
,
答:的长为;
过点作交的延长线于,
,
,
,
,
,
,
,
,,
,
,
,
,
显示屏的顶部比原来升高了.
【解析】根据直角三角形的性质得到,根据勾股定理即可得到结论;
过点作交的延长线于,根据勾股定理即可得到结论.
本题考查了勾股定理的应用,正确的画出图形是解题的关键.
21.【答案】解:,
,
为的平分线,
,
,
,
,
四边形是平行四边形,
,
▱是菱形;
四边形是菱形,
,,
,
,
,
,
在中,,,
,
.
【解析】先判断出,进而判断出,得出,即可得出结论;
先判断出,再求出,利用勾股定理求出,即可得出结论.
此题主要考查了菱形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,角平分线的定义,勾股定理,判断出是解本题的关键.
22.【答案】
【解析】解:,,,
.
故答案为:;
的面积;
如图,的面积,
,
解得.
在中,,,
.
利用阅读材料,计算出的值;
根据海伦秦九韶公式计算的面积;
利用面积法求的长,再根据勾股定理可求的长.
本题考查了二次根式的应用,三角形的面积:三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半,即底高.也考查了阅读理解能力.
23.【答案】
【解析】问题解决:
证明:四边形是矩形,
,
,
,
,
,
,
,
≌,
,
四边形是矩形,
四边形是正方形:
解:是等腰三角形,理由如下:
由得:≌,
,
,
,
四边形是正方形,
,
,
即垂直平分,
,
是等腰三角形.
类比迁移:
解:延长到点,使得,连接,如图所示:
四边形是菱形,
,,
.
,
≌,
,,
,
,
是等边三角形,
,
,
故答案为:.
问题解决:证≌,得,即可得出结论;
由全等三角形的性质得,则,再证,然后由线段垂直平分线的性质即可得出结论;
类比迁移:延长到点,使得,连接,证≌,得,,再证是等边三角形,即可得出答案.
本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识,本题综合性强,熟练掌握矩形的性质和菱形的性质,证明三角形全等是解题的关键,属于中考常考题型.
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