2022年山东省泰安市中考数学一模试卷-普通用卷

2022年山东省泰安市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成的，它的左视图是

A.
B.
C.
D.

2. 原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了年误差不超过秒．数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，，是的外角，，则的大小是

A.
B.
C.
D.

4. 已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过千克，收费元；超过千克的部分每千克加收元．圆圆在该快递公司寄一件千克的物品，需要付费

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 山茶花是某市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种，某兴趣小组对株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如表：

这批“金心大红”花径的众数为

A.  B.  C.  D.

7. 从下列个函数：；；；中任取一个，函数值随自变量的增大而增大的概率是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，若的面积为，为的中点，则的值为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上不与点，点重合，与交于点设，，则

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是的角平分线，，分别是和的高，得到下列四个结论：；；当时，四边形是正方形；其中正确的是

A.
B.
C.
D.

11. 在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中，，是正实数，且满足设函数，，的图象与轴的交点个数分别为，，，下列选项正确的是

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交点，连接，当轴时，的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 如图，，分别与，交于点，若，，则______．
    
     

14. 如图，已知是的直径，与相切于点，连接，若，则______．
    
     

15. 计算：______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，连接，若，则的值为______．
     

17. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，则关于的方程的解是______．
     

18. 如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 先化简，再求值：，其中．
    解不等式组：
20. 如图，在和中，，，点，，依次在同一直线上，且．
    求证：≌．
    连结，当，时，求的长．

21. 如图，，，，求证：．
    
    
     

22. 某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距米．甲从小区步行去学校，出发分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快米．设甲步行的时间为分，图中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程米与甲步行时间分的函数关系的图象；图表示甲、乙两人之间的距离米与甲步行时间分的函数关系的图象不完整．
    根据图和图中所给信息，解答下列问题：
    求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
    求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
    在图中，画出当时关于的函数的大致图象．温馨提示：请画在答题卷相对应的图上

23. 在平面直角坐标系中，设二次函数，是实数，．
    若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．
    若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点．
    设函数和函数的最小值分别为和，若，求，的值．
24. 如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接，
    设的半径为，若，求线段的长；
    连接，，设与交于点，
    求证：；
    若，求的度数。
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，经过点的抛物线与直线的另一个交点为点，点的横坐标为．
    求抛物线的表达式．
    为抛物线上的动点．
    为轴上一点，当四边形为平行四边形时，求点的坐标；
    如图，点在直线下方，直线的情况除外交直线于点，作直线关于直线对称的直线，当直线与坐标轴平行时，直接写出点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：．
根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数．
【解答】
解： ，
故选 B ．   

3.【答案】

【解析】解：由三角形的外角性质得，．
故选：．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：根据题意得：元．
则需要付费元．
故选：．
根据题意列出算式计算，即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方运算以及二次根式的性质即可求出答案．
本题考查合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方运算以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

6.【答案】

【解析】解：由表格中的数据可得，
这批“金心大红”花径的众数为，
故选：．
根据表格中的数据，可以得到这组数据的众数，本题得以解决．
本题考查众数，解答本题的关键是明确众数的含义，会求一组数据的众数．
 

7.【答案】

【解析】解：；
，随的增大而增大，
；
，
每个象限内，随的增大而增大，
；
，
每个象限内，随的增大而减小，
，
，
时，随的增大而增大，
函数值随自变量的增大而增大的有种情况，
故函数值随自变量的增大而增大的概率是：．
故选：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题共有个字母，满足条件的字母有个，则可得到所求的结果．
此题考查了概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

8.【答案】

【解析】解：如图，过点作轴，垂足为，
、是双曲线上的两点，过点作轴，
，
，
∽，
，
又是的中点，
，
，
，
，
又，
，
，
，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质可得，进而得出，求出三角形的面积，根据反比例函数系数的几何意义求出答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果．
本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，关键是用表示．
 

10.【答案】

【解析】解：如果，则四边形是矩形，没有说，不符合题意，故错误；
是的角平分线，
，
在和中，，
≌，
，，
，故正确；
在和中，，
≌，
，
又，
是的中垂线，
，故正确；
当时，四边形的四个角都是直角，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，故正确．
综上可得：正确的是：，
故选：．
如果，则四边形是矩形，，不符合题意，所以不正确；
首先根据全等三角形的判定方法，判断出≌，，；然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出；
首先判断出当时，四边形的四个角都是直角，四边形是矩形，然后根据，判断出四边形是正方形即可；
根据≌，判断出，，即可判断出成立．
此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握；此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握；此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查抛物线与 轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
选项 B 正确，利用根的判别式的性质证明即可．
【解答】
解：选项 B 正确．
理由： ， ，
， ，
， ， 是正实数，
，
，
，
对于 ，
则有 ，
，
选项 B 正确，
故选： ．   

12.【答案】

【解析】解：过点作轴于点，
顶点的坐标为，
，，
菱形中，，
，，
轴，
，
点的坐标为：，
反比例函数的图象与菱形对角线交点，
．
故选：．
首先过点作轴于点，由，顶点的坐标为，可求得的长，又由菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，可求得的长，且，继而求得的长，则可求得点的坐标，又由反比例函数的图象与菱形对角线交点，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求得点的坐标是关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
 

14.【答案】

【解析】解：是的直径，与相切于点，
，
，
，
设，，
，
，
，
故答案为：．
根据切线的性质得到，设，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：



，
故答案为：．
根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂可以解答本题．
本题考查算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，连接，与轴交于，
正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，
，
根据正比例函数的中心对称性可知，，
因此有，
又，
，
，
而，
，
故答案为：．
根据函数的对称性和交点坐标，结合反比例函数的系数的几何意义可得，进而求出，确定的值．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握两个函数的图象和性质以及反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．
 

17.【答案】，

【解析】解：由图象，得
与反比例函数的图象相交于点，
把点坐标带入函数解析式，得
，，
解得，
关于的方程，即，
解得，，
故答案为：，．
根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法得出，的值是解题关键．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，连接，

根据作图过程可知：是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
，
在中，，，，

，
解得．
故答案为：．
根据作图过程可得是的平分线，然后证明≌，再利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了矩形的性质，作图基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

19.【答案】解：

，
当时，
原式
；
，
解得：，
解得：，
不等式组的解集为：．

【解析】观察式子，先因式分解，再化简，最后代入字母的值求解即可；
分别解出每个不等式，再取公共解集即可．
本题考查整式化简求值和解一元一次不等式组，解题的根据是掌握完全平方公式、合并同类项等法则，能正确解出一元一次不等式．
 

20.【答案】证明：，
，
又，，
≌；
≌，
，
，
．

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
先根据平行线的性质证明，即可用“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
 

21.【答案】证明：，
，
即，
在和中，

≌．
．

【解析】根据三角形全等的判定，由已知先证，再根据可证≌，继而可得出结论．
本题考查了三角形全等的判定方法和性质，由得是解决本题的关键，要求我们熟练掌握全等三角形的几种判定定理．
 

22.【答案】解：由图可得，
甲步行的速度为：米分，
乙出发时甲离开小区的路程是米，
答：甲步行的速度是米分，乙出发时甲离开小区的路程是米；
设直线的解析式为，
，得，
直线的解析式为，
当时，，
则乙骑自行车的速度为：米分，
乙骑自行车的时间为：分钟，
乙骑自行车的路程为：米，
当时，甲走过的路程为：米，
乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：米，
答：乙骑自行车的速度是米分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是米；
乙步行的速度为：米分，
乙到达学校用的时间为：分，
当时关于的函数的大致图象如图所示．
 

【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
根据函数图象中的数据可以求得的函数解析式，然后将代入的函数解析式，即可求得点的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以将函数图象补充完整．
 

23.【答案】解：由题意，得到，解得，
函数的图象经过，
，
解得或，
函数或．

函数的图象经过点，其中，
，
，
即，
是方程的根，
即函数的图象经过点．

由题意，，，
，
，
，
，
，
．

【解析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
利用待定系数法解决问题即可．
函数的图象经过点，其中，可得，推出，即，推出是方程的根，可得结论．
由题意，，，根据，构建方程可得结论．
 

24.【答案】解：，，
，，
是直径，



是等边三角形，
点是的中点，





证明：过点作于，交于，连接，



∽
，同理，

，

四边形是平行四边形，











是等腰直角三角形，
 

【解析】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题。
解直角三角形求出，再证明，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；
过点作于，交于，连接，想办法证明四边形是平行四边形可得结论；
先证明，推出，推出是等腰直角三角形即可解决问题。
 

25.【答案】解：令，则，
点坐标为，
令，则，
，
点坐标为，
令，则，
点坐标为，
将，两点坐标代入到抛物线解析式中得，
，
解得，
抛物线的表达式为：；
设，
四边形为平行四边形，
由平移与坐标关系可得，
点在抛物线上，
，
，
，
点的坐标为或；
第一种情况：如图，当轴时，分别过，作轴的垂线，垂足分别为，，
在直角中，，，
，
，
，
，
直线与直线关于直线对称，
，
轴，
，
，
，
，

令，则，
点坐标为，
设直线的解析式为，代入点得，，
直线的解析式为，
联立，
解得，，
点的横坐标为或，
第二种情况，如图，当轴时，设交轴于，
，
直线与直线关于直线对称，
，
，
过作于，
轴，
，
，
，
，
，
，
，轴，
，
四边形为矩形，
，，
，
点的坐标为，
直线的解析式为，
联立，
化简得，，
，
点在直线下方，
，
，
点的横坐标为，
即点的横坐标为或或．

【解析】先由直线解析式求出，，的坐标，再由，坐标求出抛物线解析式；
因为直线与坐标轴平行，所以轴和轴分类讨论，以轴为例，画出草图，由于平分，又，等量代换，可以证得是等腰三角形，求出的长度，并且有和点坐标，求出的三角函数值，过作轴于，在直角中，利用的长度，和的三角函数值，求出和的长度，得到点坐标，进一步得到直线的解析式，联立直线和抛物线解析式，求得交点点坐标，当轴，用同样的方法解决．
本题是一道二次函数综合题，数形结合是本题的解题的突破口，同时，对于“平行线角平分线”这种条件，要联想到等腰三角形，是此题的解题关键，此题对学生解直角三角形的能力也有一定要求．