2022年山东省泰安市东平县中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省泰安市东平县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 在，，，这四个数中，是负整数的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算结果正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是

A. 长方体 B. 正方体 C. 三棱柱 D. 圆柱

4. 如图，已知直线，与交于点，若，，则

A.
B.
C.
D.

5. 八年级班名学生的身高情况如表：

关于身高的统计量中，不随、的变化而变化的有

A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数

6. 如图，是的直径，点是外一点，交于点，连接，若，且与相切，则此时等于

A.
B.
C.
D.

7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为

A.  B.  C. 或 D.

8. 抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是

A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向下平移个单位

9. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，将▱的对角线向两端延长，分别至点和点，且使，连接，，，求证：四边形为平行四边形．以下是证明过程，其顺序已被打乱，四边形为平行四边形；四边形为平行四边形，，；连接，交于点；又，，即正确的证明步骤是

A.  B.  C.  D.

11. 如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形，，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长米，背水坡的坡度：，则背水坡的坡长为米．

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在矩形中，、分别在、上运动不与端点重合，连接、，交于点，且满足连接，若，，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 纳米是一种长度单位，纳米米，冠状病毒的直径为纳米，用科学记数法表示为______米．
14. 在九章算术中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的若图中各行从左到右列出的三组算筹分别表示未知数，的系数与相应的常数项，如图表示方程组是，则如图表示的方程组是______ ．

15. 已知抛物线如图所示，它与轴的两交点的横坐标分别是，．
    对于下列结论：
    ；
    方程的根是，；
    ；
    当时，随着的增大而增大．
    其中正确的结论是______填写结论的序号．
16. 如图，在中，，分别以、、边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”当，时，则阴影部分的面积为______．

17. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为线段上一动点，将沿翻折，使点落到点处．当，两点之间距离最短时，点的坐标为______．

18. 如图，已知等边，是边的中点，过作于，连接交于；过作于，连接交于；过作于，，如此继续，若记为，记为，记为，若面积为，则 ______ 用含与的代数式表示

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 先化简，再求值：，其中．
    解不等式：．
20. “青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
    
    本次参与问卷调查的初中生共有______人，将条形统计图补充完整；
    扇形统计图中“合格”所对应的百分比为______，“较差”所对应的圆心角度数为______度；
    该校某班有名同学名男同学、名女同学在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这名同学中随机选取名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的概率．
21. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，且．
    求反比例函数的解析式；
    已知是轴正半轴上一点，作轴交直线于点，交双曲线于点，当，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请写出点的坐标．

22. 我校在开学初购买了、两种品牌的排球，购买品牌排球花费了元，购买品牌排球花费了元，且购买品牌的排球数量是购买品牌排球数量的倍，已知购买一个品牌排球比购买一个品牌排球多花元．
    求购买一个品牌、一个品牌的排球各需多少元？
    学校决定再次购进、两种品牌排球共个，恰逢两种品牌排球的售价进行调整，品牌排球售价比第一次购买时提高了，品牌排球按第一次购买时售价的折出售，如果学校第二次购买、两种品牌排球的总费用不超过元，那么学校第二次最多可购买多少个品牌排球？
23. 在中，，，于点．
    如图所示，点，分别在线段，上，且，当，时，求线段的长；
    如图所示，点，分别在，上，且，求证：是等腰直角三角形；
    如图所示，点在的延长线上，点在上，且，求证：．

24. 已知抛物线经过、、三点．
    
    求抛物线的函数解析式；
    如图，点是在直线上方的抛物线的一点，于点，轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
    如图，点为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，与相交于点，求的最大值．
25. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线．
    求证：．
    探究线段，，的数量关系并说明理由；
    若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
B.是正整数，故本选项不合题意；
C.是负整数，故本选项符合题意；
D.不是整数，故本选项不合题意．
故选：．
利用负整数的定义求解即可．
本题主要考查了有理数，解题的关键是熟记负数的定义．
 

2.【答案】

【解析】解：、原式，故A符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法即可求出答案．
本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，本题属于基础题型．
 

3.【答案】

【解析】解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，正视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，
故选：．
根据三视图看到的图形的形状和大小，确定几何体的底面，侧面，从而得出这个几何体的名称．
本题考查了由三视图判断几何体，画三视图注意“长对正，宽相等，高平齐”的原则，三视图实际上就是从三个方向的正投影所得到的图形．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
首先根据三角形的内角和得到的度数，再根据平行线的性质可得．
本题考查平行线的性质，理由三角形的内角和得出的度数是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：由题意得：，
所以众数为，中位数也是，
所以众数、中位数不会随着、的变化而变化，
故选：．
根据总人数确定的值，然后根据表格确定众数和中位数即可得到结论．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是确定原数据的中位数及众数．
 

6.【答案】

【解析】解：是的切线，
，
，
，
，
，
故选：．
先利用切线的性质求出，再利用等腰三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，求出是解本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
且，
解得或．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出的值后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，而点先向右平移个单位，再向上平移个单位后可得点，
所以抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后可得抛物线，
故选：．
先利用顶点式得到抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形是的内接四边形，，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
 

10.【答案】

【解析】解：连接，交于点，如图所示：
四边形为平行四边形，
，，
又，
，
即，
四边形为平行四边形，
即正确的证明步骤是，
故选：．
连接，交于点，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：由题意得：四边形是矩形，
，
迎水坡的坡角，坡长米，
米，
背水坡的坡度：，
，
，
米，
故选：．
由的坡角，求出的长，再由背水坡的坡度：得出，然后由含角的直角三角形的性质即可求解．
此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题．熟练掌握坡度坡角的概念，由锐角三角函数定义求出的长是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：
四边形是矩形，
，
则，
又，

∽，
，
，即，
点为以的中点为圆心，为直径的圆上一点，

则当点、、三点共线时，的值为最小值，即的值也为最小值．
当取最小值时，，
，，，
，则，
．
故选：．
本题首先根据，转化成对应边成比例，从而判定两个直角三角形相似，得到；再通过直角所对的边可为直径，构建隐圆，从而得到点的运动轨迹；观察可发现，借助两点之间线段最短，可知，线段的长度最短，从而得出当点、、三点共线时，的值为最小值，即的值也为最小值．进而借助勾股定理，求出的长度．
本题考查了相似三角形的性质与判定的综合引用，涉及的知识点有：矩形的性质、构建隐圆、勾股定理、两点之间线段最短等知识，综合性强，考查了学生的几何直观、建模思想、转化思想等，学生须奠定扎实的基础，并融会贯通．
 

13.【答案】

【解析】解：纳米米，
纳米米米．
故答案为：．
首先根据纳米米，把冠状病毒的直径化成以米为单位的量；然后根据：绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，求出冠状病毒的直径用科学记数法表示为多少即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

14.【答案】

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
观察图形，根据图中的算筹代表的含义，即可找出图表示的方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：抛物线开口向下、顶点在轴右侧、抛物线与轴交于正半轴，
，，，
，故错误；
抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，．
方程的根是，，故正确；
当时，，
，故正确；
抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向下，
当时，随着的增大而增大，故正确；
故答案为：．
由抛物线开口方向，对称轴，以及与轴的交点即可判断；根据抛物线与轴的交点即可判断；根据图形即可判断；求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断．
此题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．
 

16.【答案】

【解析】解：由勾股定理得，，
，
则阴影部分的面积

，
故答案为：．
根据勾股定理得到，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，连接，
点，，的坐标分别为，，，
，，
，
，
当，，三点共线时，的值最小，
即当点在对角线上时，的值最小，
如图，将沿翻折，使点落到点处，
，，，
，，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，
故答案为：．
如图，连接，根据勾股定理得到，推出当，，三点共线时，的值最小，即当点在对角线上时，的值最小，如图，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：是边的中点，过作，
为的中点，，
设的高是，

过作于，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
同理，

，
故答案为：．
根据是边的中点，过作，得到为的中点，，设的高是，根据三角形的面积公式求出，根据，，得到，求出，同理，进而得出，即得到答案．
本题主要考查对三角形的面积，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据求出的结果找出规律是解此题的关键．
 

19.【答案】解：



，
当时，原式；
，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为，得：．

【解析】先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子计算即可；
根据解一元一次不等式的方法计算即可．
本题考查解一元一次不等式、分式的化简求值，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，分式的减法和除法的运算法则．
 

20.【答案】   

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
抽取的学生中良好的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：

故答案为：；

扇形统计图中“合格”所对应的百分比为：；
“较差”所对应的圆心角度数为．
故答案为：，；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的结果有个，
则所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的概率为．
根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出良好的人数，再将条形统计图补充完整即可；
用合格的人数除以总人数求出合格的人数，用乘以“较差”的人数所占的百分比求出“较差”所对应的圆心角度数；
画树状图，共有个等可能的结果，所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图和条形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：如图，过点作轴于点，
一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，，
故A，，
轴于点，轴于点，
，
∽，
，
，
即点横坐标为：，
则，
，
把点代入，
解得：，
即；
如图，由题意可得：，只有时，，，，为顶点的四边形为平行四边形，
当点在点右侧或点右侧时，设，则，，
故，
解得：负值舍去；
当点在点左侧或点左侧时，设，则，，
故，
解得：负值舍去；
综上所述，点坐标为或．

【解析】首先求出一次函数与坐标轴的交点，进而利用相似三角形的判定与性质得出点坐标，再求出反比例函数解析式即可；
利用平行四边形的性质，进而表示出的长，再解方程得出的值，即可得出点坐标．
此题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数性质、相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程，正确表示的长是解题关键．
 

22.【答案】解：设购买一个品牌排球需要元，则购买一个品牌排球需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个品牌排球需要元，购买一个品牌排球需要元．
设学校第二次最多可购买个品牌排球，则购买个品牌排球，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取的最大值为．
答：学校第二次最多可购买个品牌排球．

【解析】设购买一个品牌排球需要元，则购买一个品牌排球需要元，利用数量总价单价，结合购买品牌排球数量是购买品牌排球数量的倍，列出分式方程，解方程即可；
设学校第二次购买个品牌排球，则购买个品牌排球，利用总价单价数量，结合此次购买的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
即，
解得：，
；
证明：如图，由得：，，
又，
≌，
，，
，
，
即，
，
即，
又，
是等腰直角三角形；
证明：过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
在中，，，
，
．

【解析】由等腰直角三角形的性质得到，再求出，则，然后由勾股定理计算即可；
证≌，得，，再证，即可得出结论；
先证≌，得，再由等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：法一：依题意，得，
解之，得，
抛物线解析式为．
法二：依题意，得，
将坐标代入得，
，
解得，
抛物线解析式为．
法三：依题意，得，
解之，得，
抛物线解析式为．
如图，延长交轴于点，

，，轴交于点，
，，
于点，
，
是等腰直角三角形，
．
设直线的解析式为，
将、两点坐标代入得，
解得，
所以直线的解析式为，
设，
，
，
当时，最大值为，
此时，
是等腰直角三角形，
周长，
周长的最大值为，
此时．
法一：如图，过轴交于点，

设，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为．
法二：如图，设，，

．
设直线的解析式为，
将点代入得，
直线的解析式，
将坐标代入得，，
所以，
化简得，
，

当时，的最大值为．

【解析】根据抛物线经过、、三点，法一：代入抛物线解析式即可；
法二利用交点式得，将坐标代入即可计算；
法三根据、利用对称轴方程即可求解；
延长交轴于点，根据题意证明是等腰直角三角形，然后求出直线的解析式为，设，，根据等腰三角形的性质即可得结论；
法一：过轴交于点，由题意，设，，根据平行线分线段成比例定理列式计算即可；
法二：设，，求出直线的解析式，将坐标代入列式计算即可．
本题属于二次函数综合题，解决本题的关键是将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
 

25.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；
解：，理由如下：
，，
∽，
，
；
解：，，
，
在中，
，
，
由知∽，
，
，
设，则，，
又，
即，
解得取正值，
．

【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
可证明∽，即可得出结论；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．