2022年山东省泰安市新泰市中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省泰安市新泰市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线上，，，，则的度数为 

A.
B.
C.
D.

4. 截至年月日，全国累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次，接种总人数达万，已完成全程接种万人．用科学记数法表示万为

A.  B.  C.  D.

5. 如表是某超市上半年的月营业额单位：万元．

下列结论不正确的是

A. 平均数是 B. 中位数 C. 众数是 D. 方差是

6. 如图是由个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转后，其主视图是

A.
B.
C.
D.

7. 关于的方程有实数根，则的取值范围是

A. 且 B. 且 C.  D.

8. 如图，是的直径，，是上的点，，过点作的切线交的延长线于点，若，则的半径为

A.  B.  C.  D.

9. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是

A.
B.
C. ≌
D.
 

11. 如图，为正方形对角线上一动点，，，在上．结论：；；；若，，则其中正确结论的个数是

A.
B.
C.
D.

12. 在平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，是等边三角形，是边上动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，的面积为，的中点为，当点在边上运动时，线段的最小值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 已知，满足方程组，则的值是______．
14. 小超在周末利用无人机测量滨湖广场上风帆的高度．如图所示，无人机在距离地面米的处测得处的俯角为，处的俯角为，若斜面的坡度为：，则风帆的高是______米．

15. 如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为______．

16. 如图，已知抛物线与轴相交于点，，与轴的交于点点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为下列结论：；；，其中，正确结论的序号是______所有正确的序号都填上
    
     

17. 如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为______．
     

18. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”据“杨辉三角”，设的展开式中第三项的系数为，的展开式中第三项的系数，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

19. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 月日是学雷锋纪念日，为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，新泰市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动每人只参加一个活动，九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
    
    求该班的人数；
    请把折线统计图补充完整；
    求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；
    该校计划对参加活动最积极的小颖同学奖励两枚“北京冬梦之约”的邮票，现有如图所示“北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为，，，，背面完全相同，将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率．

22. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点．
    分别求出这两个函数的表达式；
    连接、，求的面积；
    点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．

23. 年月日，新闻频道朝闻天下，报道了山东新泰香椿进入收获期“椿”意盎然助增收，我市香椿将销往全国各地．某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少元，花元购买甲种香椿的件数与花元购买乙种香椿的件数相等．
    求甲、乙两种香椿每件的进价；
    由于畅销，第一批购进的香椿已经售馨，现该商店决定用元再购进一批甲、乙两种香椿共件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香樁在第一批进价的基础上折销售，而乙种香樁比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？
    
    
    
    
    
    
     
24. 在中，，，于点．
    如图，点，分别在，上，且，求证：；
    如图，点在的延长线上，点在上，且，求证：．

25. 问题背景：如图，，，，求证：∽；
    尝试应用：如图，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接，若，求的值；
    拓展创新：如图，四边形是正方形，点是线段上一点，以为对角线作正方形，连接，当，时，求的长．

如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．
求该抛物线的函数表达式；
点为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式；
点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，求的值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数的定义，正确掌握倒数的定义是解题关键．倒数的定义：乘积是的两数互为倒数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：中，，，
，
，
，
．
故选：．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再由对顶角的性质可得出的度数，最后由平行线的性质得出结论即可．
本题主要考查的是平行线的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件．
 

4.【答案】
 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：平均数为万元，故A正确，不符合题意；
按顺序排列后第个数是，第个数是，所以中位数是万元，故B正确，不符合题意；
出现最多的是，所以众数是万元，故C错误，符合题意；
方差是万元故D正确，不符合题意；
故选：．
根据数据计算出平均数、中位数、众数和方差，可得答案．
本题考查统计的初步知识，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的计算方法是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：顺时针旋转后，从正面看第一列有一层，第二列有两层，
故选：．
顺时针旋转后，找到从正面看到的图形即可．
本题考查了三视图以及旋转的知识，考查了学生对立体图形的空间想象能力．
 

7.【答案】
 

【解析】解：当，即时，此方程为一元二次方程．
关于的方程有实数根，
，
解得；
当，即时，方程为，显然有解；
综上，的取值范围是，
故选：．
分和两种情况，利用根的判别式求解可得．
本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

8.【答案】
 

【解析】解：连接，
，
，
为的切线，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据“每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：是的直径，平分，
，，
，
，
，
，
，选项A成立；
，选项B成立；
，选项D成立；
和中，没有相等的边，
与不全等，选项C不成立；
故选：．
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
由圆周角定理和角平分线得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，选项A成立；
由平行线的性质得出，选项B成立；
由垂径定理得出，选项D成立；
和中，没有相等的边，与不全等，选项C不成立，即可得出答案．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
正确；
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
正确；
四边形是正方形，
，
，
，
，
∽，
，
；
正确；
四边形是正方形，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
正确，
正确结论个数为，
故选：．
根据是等腰直角三角形，判断正确；根据正方形的性质和三角形内角和定理，可判断正确；根据两个角相等，证明∽，可判断正确；利用勾股定理得出的长，再根据等腰直角三角形的性质可判断正确．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
点的运动轨迹为过点平行于轴的线段，
时，最小，，
，为线段的中点，
，
设，则，，
由勾股定理可得，
，
解得，
即，
线段的最小值为．
故选：．
证明≌，由全等三角形的性质得出，，则点的运动轨迹为过点平行于轴的线段，得出当时，最小，，由勾股定理可求出答案．
此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是确定点的运动轨迹．
 

13.【答案】
 

【解析】解：方法一：，
得：，
，
把代入得：
，
，
则．
方法二：得．
故答案为：．
由已知，满足方程组，所以先解方程组求出、，再代入求值．
此题考查的是解二元一次方程组，关键是由已知先解方程组求解，然后代入求值．
 

14.【答案】
 

【解析】解：在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
米，，
，
解得：米，
米，
斜面坡度为：，
，
，
米．
故答案为：．
根据已知条件得出，再证出是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义求出的长，再根据坡度的定义得，得出，然后进行计算即可得出的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，证明为等腰直角三角形是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：连接，

四边形是菱形，
，
，为的中点，
，是等边三角形，，
，
，
由勾股定理得：，
，
阴影部分的面积，
故答案为：
连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出、和扇形的面积是解此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：令，
解得，，
，，
正确．
将代入得，
点坐标为，即，正确．
作轴交于点，

设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
，
设点坐标为，则点坐标为，
，
最大值为，
，
，错误．
故答案为：．
令可求出点，坐标，由抛物线解析式可得抛物线与轴交点坐标，作轴交于点，根据可判断．
本题考查二次函数与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法．
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于，
在纸片中，，
由勾股定理得：．
将沿翻折得，
，，
平分，
，
，
设，
在中，，
，
，
∽，
，
，
，
．
故答案是：．
由翻折得出，，再根据平分，得出，然后借助相似列出方程即可．
本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：根据“杨辉三角”的规律得到的展开式的第三项系数是，
则的展开式第三项的系数是，的展开式第三项的系数是，
则．
故答案为：．
由杨辉三角的规律得到的展开式的第三项系数是，依此可得的展开式中第三项的系数，的展开式中第三项的系数，再代入计算即可求解．
本题考查数字的变化规律，能够根据所给杨辉三角，观察得出的展开式系数的规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
故不等式组的整数解为、．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：原式


，
当时，
原式
．
 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分，化简后将的值代入．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将分式化简．
 

21.【答案】解：该班的人数有：人．

社区服务的人数为人，
补全折线统计如图所示：


网络文明部分对应的圆心角的度数为；

画树状图得：

共有种等可能的结果，小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的有种情况，
小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率为．
 

【解析】根据参加生态环保的人数以及百分比求得总人数即可；
用总人数乘以“社区服务”百分比求得其人数，即可补全统计图；
根据圆心角百分比，计算即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及折线与扇形统计图的知识．注意掌握折线统计图与扇形统计图的对应关系．
 

22.【答案】解：一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点，
，
，
反比例函数的表达式为，
在反比例函数上，
，
，
将点，代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
由知，直线的解析式为，
则，，
；
如图，当且时，

则，
，
，
当且时，
则，
，
，
当，且时，
则点与点到轴距离相等，且点横坐标为，
，
综上，点的坐标为或或．
 

【解析】将点坐标代入反比例函数解析式，可得，从而可求出点坐标，再将、坐标代入一次函数解析式，解方程组可得答案；
根据面积和差关系可得，从而解决问题；
分且或且或，且时，画出图形，利用平行四边形的性质可得答案．
本题是一次函数与反比例函数交点问题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，运用分类思想是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设甲种香椿每件的进价为元，则乙种香椿每件的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种花香椿每件的进价为元，则乙种香椿每件的进价为元；
设购买乙种香椿件，则购买甲种香椿件，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为，
答：最多可购买乙种香椿件．
 

【解析】设甲种香椿每件的进价为元，则乙种香椿每件的进价为元，由题意：花元购买甲种香椿的件数与花元购买乙种香椿的件数相等．列出分式方程，解方程即可；
设购买乙种香椿件，由题意：现该商店决定用元再购进一批甲、乙两种香椿共件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：，，
，
，
，，，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
；
如图，过点作，交的延长线于点，

，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
在中，，，
，
．
 

【解析】先判断出，进而得出，再判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
先判断出，进而判断出，判断出≌，即可判断出，再判断出，即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出≌是解的关键，构造出全等三角形是解的关键．
 

25.【答案】证明：，，，
，且，，
，，
∽；
解：如图，连接，

，，
，
在正方形中，，
，，
∽，
，
，
；
解：如图，连接，过点作于点，

四边形是正方形，
，，，，
四边形是正方形，
，，，
，，
，，，
∽，
，，
，
，
设，则，，
，
，
，解得：舍去，，
．
 

【解析】由等腰直角三角形的性质可得，，，根据两边对应成比例且夹角相等可得∽；
根据条件，证明∽，根据相似三角形的性质即可求解；
连接，过点作于点，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握正方形以及相似三角形的的性质．
 

26.【答案】解：由题意可得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
如图，过点作轴于点，

由得，抛物线的解析式为，
，，；
当时，由，得，，
；
，
∽，
：：，
：：，
整理，得，
，点在第一象限，
．
由知，，，
，
直线过点，
直线：，
如图，分别过点，作轴，轴，与交于点，，

，
，
，
，，
，
，，
，
的值是一个定值，这个定值为．
 

【解析】把点和点的坐标代入抛物线的解析式即可；
过点作轴于点，用含的式子分别表示点、点的坐标，由，得∽，根据相似三角形对应边成比例，列出关系式，整理出关于的函数关系式，由点在第一象限，写出自变量的取值范围；
分别过点，作轴，轴，与交于点，，利用铅垂法分别表示的面积和的面积，再求比值即可．
本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，铅垂法求面积及函数交点问题；掌握铅垂法是解题关键．