2021-2022学年山东省淄博第一中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）

淄博市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 设的分布列为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据求解即可.

【详解】.

故选：A

2. 乒乓球单打决赛在甲、乙两名运动员间进行，决赛采用局胜制即先胜局者获胜，比赛结束，已知每局比赛中甲获胜的概率为，则在本次决赛中甲以的比分获胜的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】甲以的比分获胜，甲只能在、、次中失败次，第次胜，根据独立事件概率即可计算．

【详解】甲以的比分获胜，则甲只能在第、、次中失败次，第次获胜，

因此所求概率：．

故选：C．

3. 若函数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】求导，判定的单调性，即可比较大小

【详解】解：，令，解得：，

故在递增，

故，

故选：C

4. 一盒中装有10张彩票，其中2张有奖，8张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票.若已知有一次为有奖，则另一次也是有奖的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】设事件A为“有一次有奖”，事件B为“2张均有奖”，根据条件概率公式计算即可.

【详解】设事件A为“有一次有奖”，事件B为“2张均有奖”，

，，

.

故选：C.

5. 某市政府决定派遣名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，则不同的派遣方案共有（    ）

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得分组中两组的人数分别为、或、，然后根据分步乘法原理和分类加法原理可求得结果.

【详解】两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，

两组的人数为和的方法数为（种），

两组的人数都是的方法为（种），

则不同的派遣方案种数为（种)．

故选：C

6. 等比数列中，，，函数，则

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】将函数看做与的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入可求得；根据等比数列性质可求得结果.

【详解】

又

本题正确选项：

【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.

7. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（    ）

A. 0.08 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用条件概率公式即可求解.

【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，

B表示取得的X光片为次品，

P=，P=，P=，

P=，P=，P=；

则由全概率公式，

所求概率为P=P+P+P

=×+×+×=0.08.

故选：A

8. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )

A. (－∞，0) B.  C. (0,1) D. (0，＋∞)

【8题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，

令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，

函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，

等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）

当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，

由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．

则实数a的取值范围是（0，）．

故选B．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）

A  B. ，

C. ， D. ，

【9题答案】

【答案】CD

【解析】

【分析】根据频率和为1，求出，再根据离散型随机变量的分布列的性质求出，从而可进行判断

【详解】解：由离散型随机变量的分布列的性质得，，

，

，

离散型随机变量满足，

，．

故选：CD．

10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则是等差数列

B. 若，则是等比数列

C. 若是等差数列，则

D. 若是等比数列，且，，则

【10题答案】

【答案】BC

【解析】

【分析】A.先根据求解出在时的通项，然后验证是否符合，由此即可判断；

B.同A，先根据计算出的通项公式，然后根据通项即可判断；

C.根据等差数列的前项和公式进行化简计算并判断；

D.采用作差法化简计算的结果，根据结果进行判断即可.

【详解】若，当时，，不满足，故A错误.

若，当时，，且，则，

又满足，所以是等比数列，故B正确.

若是等差数列，则，故C正确.

，故D错误.

故选：BC.

11. 在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A. 各项系数和为1

B. 第2项的二项式系数为15

C. 含的项的系数为

D. 不存在常数项

【11题答案】

【答案】AC

【解析】

【分析】由题意利用二项式系数的性质，二项展开式的通项公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】在的展开式中,令，可得所有项的系数和为，故A正确；

展开式的第二项的二项式系数为，故B错误；

它的通项公式为，令，

可得，故含的项的系数为，故C正确；

令，可得，故第5项为常数项，故D错误，

故选：AC

12. 一盒中有个乒乓球，其中个未使用过，个已使用过.现从盒子中任取个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为，则下列结论正确的是(    )

A. 的所有可能取值是3、4、5 B. 最有可能的取值是

C. 等于的概率为 D. 的数学期望是

【12题答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】取出的三个球可能是：1个未使用过的和2个使用过的、2个未使用过的和1个使用过的、3个未使用过的，故放回盒中后已使用过的球的个数X可能是3、4、5，根据古典概型概率计算方法分别计算出概率及X的分布列和数学期望逐项判断即可．

【详解】由题意可得：的所有可能取值为3、4、5，

且，，，

∴最有可能的取值是，

．

故选：AD．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 函数的极小值为______．

【13题答案】

【答案】0

【解析】

【分析】利用导数研究函数的单调性，由此可求得该函数的极小值.

【详解】，定义域为，，

令，可得或，

当或时，，此时，函数单调递增；

当时，，此时，函数单调递减，

所以，函数在处取得极小值，且极小值为.

故答案为：.

14. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问这个人最后一天走了______里路.

【14题答案】

【答案】6

【解析】

【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,

设该数列为,其前项和为

则有,解得,故.

15. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种（用数字作答）．

【15题答案】

【答案】96

【解析】

【详解】先排程序有两种方法，再将和捆一起后排，有种方法，因此共有种方法.

考点：排列与计数原理.

16. 已知对任意恒成立，且，，则___________；___________.

【16题答案】

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】先换元，令，把原等式变为，通过、求得和，然后将等式两端求导之后再赋值可得结果.

【详解】设，则，

由此得，解得，

另一方面，等式两边对求导，得，

再令，得.

故答案为:；

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知(，)的展开式的第五､六､七项的二项式系数成等差数列.

（1）求；

（2）设，求：(其中为小于等于的最大奇数).

【17题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】(1)利用第五、六、七项的二项式系数成等差数列列出方程求解即得；

(2)对于给定展开式中x赋值，再经计算即可作答.

【详解】(1)第五､六､七项的二项式系数分别是，，，

则，即，，

整理可得，解得或，而，

所以；

(2)由(1)知，即，

令，可得，

令，可得，

两式相减，得，即，

所以.

18. 已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）令，证明：.

【18题答案】

【答案】（1）,

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用首项和公差构成方程组，从而求解出的通项公式；由的通项公式求解出的表达式，根据以及，求解出的通项公式；

（2）利用错位相减法求解出的前项和，根据不等关系证明即可.

【详解】（1）设首项为，公差为.

由题意，得，解得，

∴，

∴，∴

当时，

∴，.当时，满足上式.

∴

（2），令数列的前项和为.

两式相减得

∴恒成立，得证.

【点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用求解的通项公式时，一定要注意验证是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意对于错位的理解.

19. 已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.

（1）求实数，的值；

（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.

【19题答案】

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.

（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解.

【详解】（1）的图象经过点,

①,

因，则,

由条件，即②，

由①②解得.

（2），

令得或，

函数在区间上单调递增，

,

或，

或

【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.

20. 在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市、城市进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分．

（1）求两场比赛甲队恰好负一场的概率；

（2）求两场比赛甲队得分的分布列和期望

【20题答案】

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，期望为

【解析】

【分析】（1）分别计算出甲队在城市、比赛时负于乙队的概率，然后利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.

【小问1详解】

解：设事件表示在城市比赛时甲队负，事件表示在城市比赛时甲队负，

则，，

两场比赛甲队恰好负一场的概率为.

【小问2详解】

解：两场比赛甲队得分的可能取值为、、、、、，

，，，

，，

，

两场比赛甲队得分的分布列为：

所以，.

22. 设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列．已知，，，．

（1）求和的通项公式；

（2）设数列的前项和为，

求；

求：

【22题答案】

【答案】（1）；   

（2）；

【解析】

【分析】（1）根据题意分别求出等比数列的公比，和等差数列的首项和公差，即可得出答案；

（2）利用分组求和法即可得出答案；

利用裂项相消法求解即可.

【小问1详解】

解：设等比数列的公比为，由，，

可得，

，可得．故．

设等差数列的公差为，由，

即，得，

由，即，

得，，

故；

【小问2详解】

解：由（1），可得，

故；

，

．

24. 已知函数．

（1）设曲线在点处的切线为l，求l的斜率的最小值；

（2）若对恒成立，求a的取值范围．

【24题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，即斜率，引入函数，利用导数的知识求得最小值；

（2）问题变形为在上恒成立，引入函数，由导数求得的最小值后可得的范围．

【详解】解：（1），

则，

设，则，

当时，；当时，．

所以，即l的斜率的最小值为．

（2）由题知，在上恒成立，

令，则，

因为，所以．

设，易知在上单调递增．

因为，，

所以存在，使得，即．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

所以，从而，

故a的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：本题考查用导数的几何意义，用导数求函数的最值，研究不等式恒成立问题．解决不等式恒成立的方法是分离参数后转化为求函数的最值，然后解相应的不等式得出结论．问题的转化是解题关键．