2022-2023学年山东省淄博市淄博实验中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山东省淄博市淄博实验中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．数列中，，，，则（    ）

A． B．9 C． D．13

【答案】A

【分析】由递推公式依次推出第四项即可.

【详解】由，，，可得，

故选：A

2．设等差数列的前n项和为，且，．则（    ）

A．29 B．32 C．35 D．38

【答案】B

【分析】根据等差中项以及等差数列的性质运算求解.

【详解】因为数列为等差数列，则，

可得，

设等差数列的公差为，可得，

所以.

故选：B.

3．曲线在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由导数的几何意义计算即可.

【详解】由，则时，，所以在处的切线方程为：.

故选：A

4．若等差数列和的前n项的和分别是和．且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，代入即可求解.

【详解】由等差数列的前项和公式，可得，

又由等差数列的性质，可得，

因为，可得.

故选：C.

5．已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与的等差中项，则的值是（    ）

A． B．或3 C．2 D．1或2

【答案】B

【分析】由等比数列的性质及等差中项的定义求得公比即可.

【详解】由题意可得：，而是与的等差中项，

即或，

，即或.

故选：B

6．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）．

A．26种 B．31种 C．36种 D．37种

【答案】D

【分析】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，据此按集合中参与人数分3种情况讨论，再由加法原理求解即可．

【详解】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，

据此分3种情况讨论：

①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；

②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；

③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，

则有种不同的选法.

故选：D．

7．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，可得，令，转化为恒成立，然后求导即可得到结果.

【详解】∵递增，∴恒成立，

令，即恒成立，

因为，令，显然存在，使得，

当时，，递减，

当时，，递增，

所以，

即，，即

故选：C

8．已知定义在R上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用条件得出函数单调性，再逐项判断即可.

【详解】设，则，

又，，所以，所以在上单调递减，

由1>0可得，故A错；  

由2>1可得，即，故B错；

由，∴∴，故C正确；

因为，所以．得，故D错误

故选：C

二、多选题

9．设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．

【答案】ACD

【分析】利用等比数列的性质求解即可.

【详解】对于选项,∵，，∴，，

若时，∵，∴，，∴，与已知条件矛盾，

则，则选项正确；

对于选项，∵等比数列，∴数列为单调递减数列，

又∵，∴，∴的最大值为，则选项正确；

对于选项,，则选项错误；

对于选项,，则选项正确；

故选：ACD.

10．将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A、B、C三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（    ）

A．共有18种安排方法

B．若甲、乙被安排在同社区，则有6种安排方法

C．若A社区需要两名志愿者，则有12种安排方法

D．若甲被安排在A社区，则有12种安排方法

【答案】BCD

【分析】按照先分组后排列的方法可以计算A选项，利用捆绑法可以计算出B选项，按照社区的要求进行选取志愿者的原则可以计算出C选项，特殊元素优先法，对A社区进行分类处理，可以计算出D选项.

【详解】对于A：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：，A错误；

对于B：甲、乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙、剩余两个社区和剩余两名志愿者进行全排列，所以安排方法为：，B正确；

对于C：A社区需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，所以安排方法为，C正确；

对于D：甲安排在A社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了两名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择一个，分到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，安排方法有种；

第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有种；所以一共有安排方法为，D正确．

故选：BCD.

11．数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（    ）

A． B．是周期数列 C． D．

【答案】ABC

【分析】依次取即可验证A项和B项的正确与否，再根据周期性可判断C项是否正确，最后根据周期性和分组求和法可判断D项是否正确.

【详解】由题意，数列满足，，

当n=1时，；当n=2时，；

当n=3时，；当n=4时，；

当n=5时，；当n=6时，，，

归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确；

又由，所以C正确；

因为，所以，所以D错误．

故选：ABC．

12．已知，，则（    ）

A．函数在上的最大值为3 B．，

C．函数的极值点有2个 D．函数存在唯一零点

【答案】AB

【分析】根据研究在上的单调性，求出最大值即可判断A；求出的最小值，根据最小值的范围即可判断B；通过分析的零点情况即可判断的极值点个数，即可判断C；由在上的单调性得出，即可判断零点情况，从而判断D．

【详解】，，

对于A：

令，则恒成立，

所以在上单调递增，即，

所以在上单调递增，则，故A正确；

对于B：

由选项A得，则恒成立，

所以在上单调递增，

又因为，，

所以，使得，即，

当时，，即，所以在上单调递减，

当时，，即，所以在上单调递增，

所以当时，取得极小值也是最小值，

，其中，

所以，故B正确；

对于C：

若函数有2个极值点，则有两个实数根，

设，

则，

因为当时，，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

所以在至多有1个实数根，故C错误；

对于D：

由选项C可知，在上单调递增，

因为，

所以在上单调递增，

又因为，

所以当时，，

所以函数在上没有零点，故D错误，

故选：AB．

三、填空题

13．函数的导数为______．

【答案】

【分析】根据导数的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】由函数，

根据导数的运算法则，可得．

故答案为：

14．体育课上四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生相邻，则不同排法的种数是：__________．（用数字作答）

【答案】240

【分析】将两位女生捆绑在一起与其它四名男生全排列.

【详解】两女生看成一个元素与其它四名男生全排列，共有种排法．

故答案为：240

15．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2021项的和为______．

【答案】

【分析】根据题意，可得当为奇数时，，当为偶数时，，再由条件求得，即可得到结果.

【详解】设等和数列的公和为m．因为，所以，．．．

所以当为奇数时，，当为偶数时，，又，

所以，则，

故答案为：

16．若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围为_____________．

【答案】

【分析】根据极值点定义可将问题转化为与有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到的图象；采用数形结合的方式可确定且；假设，由可确定，进而得到的值，结合图象可确定的取值范围.

【详解】，是的两个极值点，

是的两根，又当时，方程不成立，

与有两个不同的交点；

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

则图象如下图所示，

由图象可知：且；

，；

当时，不妨令，则，即，，解得：，

当时，，

若，则，即的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题

17．若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.

(1)求和的调和中项；

(2)已知调和数列，，，求的通项公式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；

（2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.

【详解】（1）设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，

所以，解得：，

故和的调和中项为；

（2）依题意，是等差数列，设其公差为，

则，

所以，

故.

18．已知数列是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，是公比大于0的等比数列，，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列满足，求的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差等比数列通项公式直接求解；

（2）利用裂项相消和等比数列的前项和公式求解即可.

【详解】（1）设公差为，公比为，

则由题可得数列的前3项的和，

因为，所以，所以，

又因为，

所以解得或（舍），

所以.

（2）由（1）可知，，

所以的前项和为：

.

所以

19．已知函数．

(1)求在区间上的最大值；

(2)若过点存在1条直线与曲线相切，求t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，求导得到，得到极值，从而求得最值；

（2）根据题意，先表示出切线方程，然后将问题转化为函数零点问题，通过求导研究即可得到结果.

【详解】（1）由可得，

令得或，所以增区间为．，

令得，所以减区间为，

因为．．，，

所以在区间上的最大值为．

（2）设过点的直线与曲线相切于点，

则，且切线斜率为，所以切线方程为，

因此．整理得．

设，

则“过点P（1,t）存在1条直线与曲线相切”等价于“有1个不同零点”．

．

与的情况如下：

所以，是的极大值，是的极小值．

当，即或者，

即时，在区间和，上分别有1个零点，

综上可知，当过点存在1条直线与曲线相切时，t的取值范围是．

20．已知数列的前n项和为，，当时，．

(1)证明：是等差数列，并求通项公式；

(2)设数列的前n项和为，若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）根据题意，由与的关系将原式化简，即可证明是等差数列，再结合等差数列的通项公式即可得到结果；

（2）根据题意，由错位相减法求得，然后代入计算即可得到的取值范围．

【详解】（1）当时，，所以，．

整理得：，即．

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．

所以，即．

（2）由（1）知．．所以，①

所以，②

①-②得，，

所以，，

所以，，所以，即，

即，因为，

当且仅当时，等号成立，所以．

21．已知函数，．

(1)求函数的单调区间；

(2)若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)函数的单调增区间为，无减区间

(2)

【分析】（1）可得，设，求得，求得函数的单调区间和最小值，结合，即可求解；

（2）由，得到，令，求得，得到单调递减，结合，，得到，使得，得到，再由单调性和，即可求解.

【详解】（1）解：由函数，可得的定义域为且，

设，可得

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，所以，即，

故在定义域为上单调递增，无减区间，

即函数的单调增区间为，无减区间.

（2）解：设，其中，

则，

令，其中，可得对任意恒成立，

所以在上单调递减，

因为，，

所以，使得，即，则，即，

因此，当时，，即，则单调递增；

当时，，即，则单调递减，

故，解得，

所以当时，恒成立．

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，若存在，，使得恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导后，研究导函数的零点个数即大小关系，对参数进行讨论即可；

（2）先计算，然后分离变量转化为函数的最值问题.

【详解】（1）定义域

，

若,则,令,得，

当单调递减，

当单调递增，

若,得或，

若,则对恒成立,所以在上单调递减，

若,则，

当单调递减，

当单调递增，

当单调递减，

若,则，

当单调递减，

当单调递增，

当单调递减，

综上，

若在上单调递减,在上单调递增，

若在上单调递减，

若在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减，

若在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减，

（2）因为,所以,即在[1,2]上单调递减，

所以在，

所以，

所以，

即,对恒成立，

设，

则,令,得，

当单调递增，

当单调递减，

所以，

所以实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是处理，因为是存在性问题，所以只需要.