2021-2022学年山东省聊城市第三中学高二下学期第一次质量检测数学试题(解析版)
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这是一份2021-2022学年山东省聊城市第三中学高二下学期第一次质量检测数学试题(解析版),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省聊城市第三中学高二下学期第一次质量检测数学试题一、单选题1.展开式中的常数项为( )A. B. C.15 D.30【答案】C【分析】由二项式写出展开式的通项,再判断常数项对应的r值,即可求常数项.【详解】由题设,,所以,当时常数项为.故选:C2.已知随机变量服从正态分布,则=( )A. B. C. D.【答案】D【分析】由方差的性质直接求解即可【详解】因为随机变量服从正态分布,所以,所以,故选:D3.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有( )A.种 B.种 C.种 D.种【答案】A【分析】根据分步计算原理,每个人选报一科,则每个人有3种报名方法,即可得解.【详解】4名学生,每人有三种可选方案,根据分步计数原理,4人共有种方法.故选:A.4.从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字,可以组成多少个无重复数字的三位偶数( )A.52 B.56 C.48 D.72【答案】A【分析】分类讨论个位为0与不为0的情况,按照特殊位置优先考虑原则分析求解.【详解】当个位为0时,共有个;当个位不为0时,共有个,所以综合可得,共有个偶数.故选:A5.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.285【答案】A【分析】记事件A为“甲厂产品”,事件B为“合格产品”,则由P(AB)=P(A)·P(B|A)可求.【详解】记事件A为“甲厂产品”,事件B为“合格产品”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,∴P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665.故选:A.6.若函数在上为单调减函数,则的取值范围( )A. B.C. D.【答案】A【分析】分析可知对任意的恒成立,利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.【详解】因为,则,由题意可知,对任意的恒成立,则,当时,在上单调递减,在上单调递减,所以,,故.故选:A.7.某工厂产品合格的概率均为,各产品合格与否相互独立.设为该工厂生产的件商品中合格的数量,其中,,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】利用二项分布的分布列求D(X),P(X=2),P(X=3),结合已知求p的范围.【详解】由已知X服从与参数为5,p的二项分布,∴ ,,,又,,∴ ,,∴ ,故选:B.8.如图,已知电路中有个开关,开关闭合的概率为,其它开关闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率为( )A. B.C. D.【答案】A【分析】设开关闭合为事件,,由所设事件表示事件灯不亮,利用概率乘法公式求其概率,再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关闭合为事件,,则事件灯不亮可表示为,由已知,,∴ ,∴ 事件灯亮的概率,故选:A.二、多选题9.袋内有大小完全相同的个黑球和个白球,从中不放回地每次任取个小球,直至取到白球后停止取球,则( )A.抽取次后停止取球的概率为B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为C.取球次数的期望为D.取球次数的方差为【答案】BD【分析】设取球次数为,可知随机变量的可能取值有、、,计算出随机变量在不同取值下的概率,可判断出A选项的正误,计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为,可判断出B选项的正误,利用数学期望公式和方差公式计算出随机变量的期望和方差,可判断C、D选项的正误,综合可得出结论.【详解】设取球次数为,可知随机变量的可能取值有、、,则,,.对于A选项,抽取次后停止取球的概率为,A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为,B选项正确;对于C选项,取球次数的期望为,C选项错误;对于D选项,取球次数的方差为,D选项正确.故选:BD.【点睛】本题考查概率的计算,同时也考查了随机变量的数学期望与方差的计算,根据题意得出随机变量的概率分布是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.10.甲,乙,丙,丁,戊五人并排站成一排照相,下列说法正确的是( )A.如果甲,乙必须相邻,那么不同的排法有24种B.甲不站在排头,乙不站在正中间,则不同的排法共有78种C.甲乙不相邻且乙在甲的右边,则不同的排法共有36种D.若五人已站好,后来情况有变,需加上2人,但不能改变原来五人的相对顺序,则不同的排法共有42种【答案】BCD【分析】采用排列组合公式对各选项进行计算判断即可【详解】对A,如果甲,乙必须相邻,则可将甲乙先捆绑,考虑左右位置,共有2种情况,再将4个位置全排列,共有种排法,故A错误;对B,分两种情况,①甲站中间时,共有种排法;②甲不站中间,先排甲,有3种情况,中间位置3选1,有3种情况,剩下3人全排列,有种情况,则共有种情况,甲不站在排头,乙不站在正中间,不同的排法共有种情况;对C,甲乙不相邻且乙在甲的右边,按中间人数多少分类,当中间有1人时,有种;当中间有两人时,有种;当中间有3人时,有种排法,则共有36种排法;对D,五人站好后,有6个空,剩下两人再逐一插空,共有种情况;故答案为:BCD11.若,,则( )A.B.C.D.【答案】ABD【分析】根据给定条件,利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.【详解】因,则,A正确;展开式的通项,,当为奇数时,,当为偶数时,,则,B正确;,而,则,C不正确;,而,则,D正确.故选:ABD12.已如函数,则以下结论正确的是( )A.函数存在极大值和极小值B.C.函数存在最小值D.对于任意实数k,方程最多有4个实数解【答案】BCD【分析】利用导数求出单调性可判断AC,根据单调性判断B,转化为,交点问题,数形结合判断D.【详解】由可得.由可得:.由可得:.所以在单调递减,在单调递增,故选项A不正确,C正确:对于选项B:在单调递增,因为,所以,故B正确;对于选项D:方程即,有一根为,令.则,令可得或,令可得,所以在和单调递增,在单调递减,,作出,的图形如图所示: 所以存在时,方程有3个实数解,此时方程有4个实数解,故D正确.故选:BCD三、填空题13.已知,则______.【答案】16【分析】在所给的等式中,令即可得出答案.【详解】在,令,可得:,所以.故答案为:16.14.若随机变量,,若,,则______.【答案】【分析】解不等式1﹣(1﹣p)3=0.657得到p=0.3,再利用正态分布求解.【详解】解:∵P(X≥1)=0.657,∴1﹣(1﹣p)3=0.657,即(1﹣p)3=0.343,解得p=0.3,∴P(0<Y<2)=p=0.3,∴P(Y>4)==.故答案为:0.2.15.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻颜色不同,则不同的涂色方法种数为____________.【答案】72【分析】根据题意,分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目,由分步计数原理计算答案.【详解】分4步进行分析:①,对于区域,有4种颜色可选;②,对于区域,与区域相邻,有3种颜色可选;③,对于区域,与、区域相邻,有2种颜色可选;④,对于区域、,若与颜色相同,区域有2种颜色可选,若与颜色不相同,区域有1种颜色可选,区域有1种颜色可选,则区域、有种选择,则不同的涂色方案有种;故答案为:72四、双空题16.已知随机变量的分布列如下: 则当时,___________;当时,的最大值为___________.【答案】 【分析】当时,利用期望公式可求得的值;求得关于的函数表达式,利用二次函数的基本性质可求得的最大值.【详解】由期望公式可得,当时,.当时,,当且仅当时,等号成立,故的最大值为.故答案为:;.五、解答题17.已知的展开式中,只有第六项的二项式系数最大.(1)求该展开式中所有有理项的项数;(2)求该展开式中系数最大的项.【答案】(1)所有有理项的项数为6项;(2).【详解】试题分析:(1)由题意可知,,只需令该展开式中x的系数为整数可得;(2)设第Tr+1项的系数最大,可得关于r的不等式组,解不等式组可得r的范围,可得系数最大的项.试题解析: (1)由题意可知: ,. 要求该展开式中的有理项,只需令,,所有有理项的项数为6项.(2)设第项的系数最大,则 , 即 , 解得: ,,得.展开式中的系数最大的项为点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项,再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数.18.坛子里放着5个相同大小,相同形状的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋,求:(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率;(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率;(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.【答案】(1);(2);(3).【分析】设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件,第2次拿到绿皮鸭蛋为事件,则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件,(1)从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为,,由古典概型可得结果;(2)求得,利用古典概型求解即可;(3)利用(1)、(2),根据条件概率公式可得结果.【详解】设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件,第2次拿到绿皮鸭蛋为事件,则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件,(1)从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为,, (2)因为,所以,(3)由(1)(2)可得,在第一次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第二次拿出绿皮鸭蛋的概率为.19.已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值;(2)若函数在内有零点,求实数b的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)由题意可得,从而可求出a的值;(2)先对函数求导,求得函数的单调区间,从而可由函数的变化情况可知,要函数在内有零点,只要函数在内的最大值大于等于零,最小值小于等于零,然后解不等式组可得答案【详解】解:(1)在处取得极值,∴,∴.经验证时,在处取得极值.(2)由(1)知,∴极值点为2,. 将x,,在内的取值列表如下:x024/-0+/b极小值 由此可得,在内有零点,只需∴.20.小张从家到公司上班总共有三条路可以直达(如图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于路的远近不同,选择每条路的概率如下:,,.每天上述三条路不拥堵的概率分别为:,,.假设遇到拥堵会迟到,求:(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少?(2)小张到达公司未迟到,选择第1条路的概率是多少?【答案】(1)0.36;(2).【分析】(1)将不迟到的事件C分拆成三个互斥事件的和,再求出每个事件的概率即可求解作答.(2)利用(1)的结论利用条件概率公式计算作答.【详解】(1)不迟到就是对应着不拥堵,设事件C为到公司不迟到,它是分别选择、、不迟到的三个互斥事件的和,因此,,所以小张从家到公司不迟到的概率为0.36.(2)由(1)知,小张到达公司未迟到的概率,,所以小张到达公司未迟到,选择第1条路的概率约为.21.受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:品牌 甲 乙 首次出现故障时间x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率.(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.【答案】(1)(2)X1的分布列为X1 1 2 3 P X2的分布列为X2 1.8 2.9 P (3)甲品牌轿车【详解】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)==.(2)依题意得,X1的分布列为X1 1 2 3 P X2的分布列为X2 1.8 2.9 P (3)由(2)得E(X1)=1×+2×+3×==2.86(万元),E(X2)=1.8×+2.9×=2.79(万元).因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车.22.为普及传染病防治知识,增强学生的疾病防范意识,提高自身保护能力,校委会在全校学生范围内,组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分),竞赛奖励规则如下:得分在内的学生获三等奖,得分在内的学生获二等奖,得分在内的学生获一等奖,其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取了100名学生的竞赛成绩,并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表.竞赛成绩人数61218341686 (1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩,求这2名学生恰有一名学生获奖的概率;(2)若该校所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布,利用所得正态分布模型解决以下问题:①若该校共有10000名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数);②若从所有参赛学生中(参赛学生人数大于10000)随机抽取4名学生进行座谈,设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为,求随机变量的分布列和数学期望.附:若随机变量X服从正态分布,则,,.【答案】(1);(2)①1587;②分布列见解析,数学期望为2.【分析】(1)由题得共30人获奖,70人没有获奖,再利用古典概型的概率公式求解;(2)①该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布N(64,225),利用正态分布求解;②随机变量ξ~B(4,),再利用二项分布写出分布列,求出数学期望得解.【详解】解:(1)由样本频率分布表可知,样本中获一等奖的6人,获二等奖的8人,获三等奖的16人,共30人获奖,70人没有获奖,故从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩,这2名学生恰有一名学生获奖的概率P=.(2)该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布N(64,225),①∵μ+σ=79,∴P(X>79),∴估计参赛学生中超过79分的学生人数为0.15865×10000≈1587.②∵μ=,∴P(X>64)=,即从所有参赛学生中随机抽取1名学生,该生竞赛成绩在64分以上的概率为,∴随机变量ξ~B(4,),P(ξ=k)= (k=0,1,2,3,4),所以P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,∴ξ的分布列为:ξ01234P 故E(ξ)=4×.
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