2022-2023学年山东省淄博市第一中学高二上学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年山东省淄博市第一中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角.

【详解】设直线的倾斜角为，

由题意可得.

故选：C.

2．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直线始终平分圆的周长，即直线经过点,即故点在直线上,可看作动点到定点的距离的平方，利用点到直线的距离公式即可求得.

【详解】解：，故圆的圆心坐标为，直线始终平分圆的周长，即直线经过点,故，即.

可看作动点到定点的距离的平方，又因为，故点在直线上,所以的最小值为点到直线的距离.

∵

∴

∴

即的最小值为.

故选：D.

3．甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，，则至少有一人命中目标的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据题意求出甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可.

【详解】∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为，

∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为.

故选：D.

4．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【解析】利用空间向量的加减法运算用来表示，即得结果.

【详解】，

故，，，则．

故选：C.

5．从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线的方程为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求得关于轴的对称点，由此求得反射光线所在直线方程.

【详解】关于轴的对称点为，

由于入射光线与平行，

所以反射光线的斜率是，

所以反射光线所在直线方程为.

故选：B

6．设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（    ）

A．90° B．45° C．60° D．30°

【答案】C

【分析】根据题目条件求出双曲线方程，得到渐近线方程，可得两条渐近线的夹角.

【详解】设，，由双曲线的定义可知，

又，，，可得，，

即，解得，，

可得双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的夹角为.

故选：C

7．焦点在x轴上的椭圆方程为（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B．  C．  D．

【答案】C

【解析】根据三角形面积相等求得和的关系，由，即可求得椭圆的离心率.

【详解】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，

根据三角形面积公式以及椭圆的定义，

可得，得a＝2c，

即e＝，

故选：C.

【点睛】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的几何性质，考查了焦点三角形问题，属于基础题.

8．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】A

【解析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.

【详解】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以，

，

所以由题意得是的中位线，所以，

所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，

Q与短轴端点取最近距离

故选：A.

二、多选题

9．分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（    ）

A．与互斥 B． C．与相互独立 D．

【答案】BC

【分析】对于A，利用互斥事件的定义分析判断，对于B，由古典概型的概率公式求解即可，对于C，由独立事件的定义分析判断，对于D，利用对立事件的概率公式求解.

【详解】对于选项A：事件与是可能同时发生的，故与不互斥，选项A不正确；

对于选项B：，选项B正确；

对于选项C：事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立，故C正确；

对于选项D：事件发生概率为，事件发生的概率，，选项D不正确.

故选：BC

10．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线C的实轴长为2

B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m

C．若是双曲线C的一个焦点，则

D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则

【答案】CD

【分析】根据双曲线方程求出，从而可求出实轴长，即可判断A；取双曲线的一个焦点和一条渐近线，根据点到直线的距离公式即可判断B；根据焦点坐标求出，即可判断C；由两直线垂直，则斜率之积为，求出，即可判断D.

【详解】解：由双曲线C：，

得，

则双曲线C的实轴长为，故A错误；

双曲线的渐近线方程为，即，

取右焦点和渐近线，

则右焦点和到渐近线的距离为，故B错误；

因为是双曲线C的一个焦点，

所以，则，故C正确；

因为渐近线和垂直，

所以，解得，故D正确.

故选：CD.

11．如图所示，棱长为2的正方体中，为的中点，则下列结论正确的有（    ）

A．与所成角的余弦值为

B．与面的交点是的重心

C．三棱锥的外接球的体积为

D．与面所成角的正弦值为

【答案】BCD

【分析】对A，连接，可得即为异面直线与所成角或其补角；对B，可得四面体为正四面体，证明平面即可判断；对C，三棱锥和正方体有相同的外接球，求出即可；对D，可得为直线与平面所成的角，即可求出判断.

【详解】对A，连接，则由正方体的性质可知，所以即为异面直线与所成角或其补角，

连接，设，则为的中点，

连接，则，，，

在中，，即与所成角的余弦值为，故A错误；

对B，连接，则，则四面体为正四面体，

因为，，所以平面，

因为平面，所以，同理可得，

因为，所以平面，垂足为，

又四面体为正四面体，所以为的中心，即为的重心，故B正确；

对C，由于三棱锥的顶点均为正方体的顶点，所以三棱锥和正方体有相同的外接球，所以外接球半径，体积为，故C正确；

对D，连接，并延长交于点，由选项B知平面，所以为直线与平面所成的角，由为正三角形，且为的中心，所以为的中点，也是的中点，在中，，所以，故D正确.

故选：BCD.

12．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为0

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】ABD

【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.

【详解】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，

因为表示点与坐标原点连线的斜率，

设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，

，，，A，B正确；

表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，

所以最大值为，又，

所以的最大值为，C错，

因为可化为，

故可设，，

所以，

所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，

故选：ABD.

三、填空题

13．点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是      ．

【答案】

【分析】根据题意求得，且，结合，即可求解.

【详解】由题意，点和，可得，且，

所以点到直线的距离是.

故答案为：.

14．若直线与连接的线段总有公共点，则的取值范围是      .

【答案】

【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或，从而可求得答案

【详解】得直线的斜率为，且过定点，

则由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或，

，或，

或.

故答案为：

15．设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程          .

【答案】或.

【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程．

【详解】由题意设所求的圆的方程为：.

圆心到直线的距离为，

圆被直线：截得的弦的中点为，，

解得或，

即所求的圆的方程为：或.

故答案为：或.

16．是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆的离心率为           .

【答案】/0.5

【分析】先由求得，再利用求得，即可求出离心率.

【详解】

由于椭圆关于原点对称，不妨设点在轴上方.设点纵坐标为，点纵坐标为，内切圆半径为，椭圆长轴长为，焦距为，

则，得，又，

即，又，化简得，即，

解得，可得离心率为.

故答案为：.

四、解答题

17．为庆祝建校115周年，某校举行了校史知识竞赛．在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.

(1)求甲恰好抽到1道填空题的概率；

(2)求甲比乙恰好多答对1道题的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）列举出事件空间中的所有基本事件，并得出甲至少抽到1道填空题的事件，结合古典概型运算求解；（2）由相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式运算求解．

【详解】（1）记3道选择题的题号为1，2，3，2道填空题的题号为4，5，

则试验的样本空间，，，，，，，，，，

共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，

记事件“甲恰好抽到1道填空题”，则，故，

因此甲恰好抽到1道填空题的概率为.

（2）设事件，分别表示甲答对1道题，2道题，事件，分别表示乙答对0道题，1道题，

根据事件的独立性得，，

，，

记事件“甲比乙恰好多答对1道题”，

则，且，两两互斥，与，与分别相互独立，

所以，，

所以，

故甲比乙恰好多答对1道题的概率为.

18．已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点．

(1)求的最小值；

(2)当的面积最大时，求直线l的方程．

【答案】(1)4；

(2)或.

【分析】(1)过定点D(4，2)，当CD⊥l时，|PQ|最小；

(2)，当时，△CPQ面积最大，此时△CPQ为等腰直角三角形，圆心到直线l的距离，据此即可求出m.

【详解】（1）由，得，

由，

∴直线l过定点D(4，2)，

∵，

∴在圆C内部，∴直线和l与圆C相交，

当CD⊥l时，|PQ|最小，

；

（2）∵，∴当时，△CPQ面积最大，

此时△CPQ为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离，

∴，解得，

∴此时l的方程为：或.

19．如图，在四棱锥 中，平面与底面 所成角为 ，四边形是梯形，，， ．

(1)证明：平面平面 ；

(2)若点T是 的中点，点M是 的中点，求点P到平面 的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明，继而证明，即可证明平面，从而根据面面垂直的判定定理证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.

【详解】（1）证明：由平面，平面，平面，

得，， 与底面所成角为 ．

所以三角形 为等腰直角三角形， ．

又由四边形是直角梯形，，可知，

所以为等腰直角三角形，而，故．

在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形，

可知 ．

所以 ，在等腰直角三角形 中，．

则有，所以．

又因为，，平面 ，平面．

所以平面．因为平面 ，所以平面平面．

（2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，．

因为T是 的中点，点M是 的中点，所以，．

设平面 的法向量为，，，

则 ，得 ，

取 ，则 ，得平面的一个法向量为，

而,所以点P到平面的距离为．

20．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点M为的中点．

(1)证明：平面；

(2)AC上是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）连接与交于点O，连接OM，证明，根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，不妨设，设，，利用向量法求出，从而可得出的结论.

【详解】（1）解：连接与交于点O，则O为的中点，连接OM，

因为点M为的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）解：因为，

所以，所以，

如图建立空间直角坐标系，

设，则，，，

设，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则有，取，得，

设平面的一个法向量为，

则有，取得，

因为，解得或（舍），

此时，

所以AC上存在点N，当时，二面角的大小为.

21．已知椭圆的焦距为2，左右焦点分别为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

(1)求椭圆的方程；

(2)设不过原点的直线与椭圆C交于两点,若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；

【答案】（1）（2）线恒过定点，详见解析

【分析】（1）根据焦距得到，根据圆心到直线的距离得到，由得到，从而得到椭圆方程；（2）直线，联立得到，然后表示，代入韦达定理，得到和的关系，从而得到直线过的定点.

【详解】(1)由题意可得，即，

由直线与圆相切，

可得，解得，

即有椭圆的方程为；

(2)证明：设，

将直线代入椭圆，

可得，

即有，

，

由，

即有，

代入韦达定理，可得，

化简可得，

则直线的方程为，即，

故直线恒过定点；

【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.

22．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上有一点且点在第一象限，交轴于点，交轴于点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得方程；（2）设直线AP的方程，进而可求点的坐标，根据结合基本不等式求最大值.

【详解】（1）由题意可得，解得，

故椭圆的标准方程为.

（2）由（1）可得：

设直线，则，

联立方程，消去得：，

由题意可得，则，

∴，即，

直线：，令，解得，即，

直线：，令，解得，即，

则的面积

，

令，则，

∴，

∵，当且仅当，即时等号成立，

∴

故面积的最大值.

【点睛】本题考查了根据椭圆性质求椭圆方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了斜率公式，基本不等式求最值，运算求解能力，属于中档题.