还剩15页未读，
继续阅读
2022-2023学年山东省淄博市淄博实验中学、淄博齐盛高中高一上学期期中考试数学试题 含答案
展开
这是一份2022-2023学年山东省淄博市淄博实验中学、淄博齐盛高中高一上学期期中考试数学试题 含答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东淄博实验中学、齐盛高中高一（上）期中
数学试卷
一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜2} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜4}
2．（5分）“a＞0＞b“是“ea＞eb”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（0））＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）若关于x的不等式kx2+2kx﹣k﹣1＞0的解集为∅，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣，0） B．[﹣，0） C．[﹣，0] D．（﹣，0]
5．（5分）已知a＝log52，，c＝ln3，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
6．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）在R上定义运算：＝ad﹣bc，若存在实数x 使不等式≥成立．则a最大为（ ）
A． B．﹣ C． D．
8．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f（x）]的值域为（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
二、多项选择题。本题共2小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若，则下列不等式中，正确的不等式有（ ）
A．a+b＜ab B．|a|＞|b| C．a＜b D．a＞b
（多选）10．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）
B．命题“∃x0∈（0，+∞），＝x0+1“的否定是“∀x∈（0，+∞），ex≠x+1“
C．若loga＞1，则a的取值范围是（，1）
D．若奇函数f（x）在（0，+∞）上有最小值M，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值﹣M
（多选）11．（5分）关于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当a＝0时，f（x）是增函数
B．当a＝0时，f（x）的值域为（﹣1，+∞）
C．当a＝1时，f（x）是奇函数
D．若f（x）的定义域为R，则a＜2
（多选）12．（5分）若定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）为奇函数，且对任意x1，x2∈[2，+∞），都有＞0，则下列正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于点（﹣2，0）对称
B．f（x）在 R上是增函数
C．f（x）+f（4﹣x）＝4
D．关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，2）
三、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数f（x）＝的定义域为 ．
14．（5分）﹣+lg+2lg2＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝loga（﹣x2+2x+3）的单调递减区间为 ．
16．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足＜1，且f（2）＝4，则不等式f（x）﹣＞1的解集为 ．
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{x|a≤x＜2a+1，a∈R}．
（1）当a＝时，求A∩B；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数 f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）当a＞1时，若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为2，求a的值．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＞﹣1对∀x∈（1，3）恒成立，求a的取值范围；
（2）已知函数g（x）＝log2（x﹣），若对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[﹣1，2]，使不等式g（x1）≥f（x2）+ax2成立，求a的取值范围．
20．（12分）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
21．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的函数，且对定义域内任意的a，b，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）判断f（x）的单调性，井加以证明；
（2）解关于t的不等式f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0．
22．（12分）已知函数f（x）＝1﹣ （a＞0，a≠1）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）若方程（2x+1）•f（x）+k＝0在[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围；
（3）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．
2022-2023学年山东淄博实验中学、齐盛高中高一（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜2} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜4}
【分析】求出集合N，利用交集定义能求出M∩N．
【解答】解：集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，
N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，
则M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）“a＞0＞b“是“ea＞eb”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先解指数不等式，再利用充分必要条件的定义求解即可．
【解答】解：∵ea＞eb⇔a＞b，
∴a＞0＞b是ea＞eb的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了指数不等式的解法，充分必要条件的应用，属于基础题．
3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（0））＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，
则f（0）＝20+2＝3，
故f（f（0））＝f（3）＝log33+1＝2，
故选：B．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
4．（5分）若关于x的不等式kx2+2kx﹣k﹣1＞0的解集为∅，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣，0） B．[﹣，0） C．[﹣，0] D．（﹣，0]
【分析】分k＝0与k≠0两种情况，当k≠0时，根据二次函数的性质建立不等式即可求解．
【解答】解：当k＝0时，不等式化为﹣1＞0，此时不等式无解，
当k≠0时，要满足题意，只需，解得﹣，
综上，实数k的范围为[﹣，0]，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
5．（5分）已知a＝log52，，c＝ln3，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可比较出大小关系．
【解答】解：∵0＝log51＜a＝log52＜＝，1＞＝＞，c＝ln3＞lne＝1，
∴c＞b＞a，
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由函数的奇偶性，可排除选项A，由x＞1时，f（x）＞0，可排除选项BC，进而得解．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，，
则函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，选项A错误；
当x＞1时，，选项BC错误．
故选：D．
【点评】本题考查根据函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．
7．（5分）在R上定义运算：＝ad﹣bc，若存在实数x 使不等式≥成立．则a最大为（ ）
A． B．﹣ C． D．
【分析】根据运算的定义等价于x﹣x2﹣（a+1）（a﹣2）≥，利用二次函数的性质求出其解后可得实数a的最大值．
【解答】解：∵存在实数x使不等式≥成立，
∴（1﹣x）x﹣（a+1）（a﹣2）＝x﹣x2﹣（a+1）（a﹣2）≥，
即x2﹣x+a2﹣a﹣≤0存在x使不等式成立．
∴Δ＝1﹣4（a2﹣a﹣）≥0，∴4a2﹣4a﹣3≤0，
∴﹣．
∴a最大为．
故选：D．
【点评】本题考查行列式展开法则、一元二次不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f（x）]的值域为（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
【分析】先化简f（x）的解析式，利用不等式的性质，求出函数f（x）的值域，可得函数y＝[f（x）]的值域．
【解答】解：∵f（x）＝＝﹣＝﹣，ex∈（0，+∞），
∴∈（ 0，2），f（x）∈（﹣，），
故函数y＝[f（x）]的值域为{﹣2，﹣1，0}，
故选：C．
【点评】本题主要考查新定义，不等式的性质，求函数的值域，属于中档题．
二、多项选择题。本题共2小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若，则下列不等式中，正确的不等式有（ ）
A．a+b＜ab B．|a|＞|b| C．a＜b D．a＞b
【分析】利用不等式的性质，即可解出．
【解答】解：∵，
∴b＜a＜0，
故选项BC错误，D选项正确，
所以ab＞0，a+b＜0，故选项A正确，
故选：AD．
【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）
B．命题“∃x0∈（0，+∞），＝x0+1“的否定是“∀x∈（0，+∞），ex≠x+1“
C．若loga＞1，则a的取值范围是（，1）
D．若奇函数f（x）在（0，+∞）上有最小值M，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值﹣M
【分析】根据对数的运算公式，含一个量词命题的否定，对数函数的单调性，奇函数的性质即可分别求解．
【解答】解：对A选项，∵f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），∴A选项错误；
对B选项，∵命题“∃x0∈（0，+∞），＝x0+1“的否定是“∀x∈（0，+∞），ex≠x+1“，∴B选项正确；
对C选项，∵loga＞1，∴或，∴a∈（，1），∴C选项正确；
对D选项，∵f（x）为奇函数，又f（x）在（0，+∞）上有最小值M，
∴f（x）在（﹣∞，0）上有最大值﹣M，∴D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查对数的运算公式，含一个量词命题的否定，对数函数的单调性，奇函数的性质，属基础题．
（多选）11．（5分）关于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当a＝0时，f（x）是增函数
B．当a＝0时，f（x）的值域为（﹣1，+∞）
C．当a＝1时，f（x）是奇函数
D．若f（x）的定义域为R，则a＜2
【分析】当a＝0时，＝1﹣，可分析其单调性与值域，从而可判断A、B的正误；
当a＝1时，利用奇函数的定义可判断C的正误；由4x+1﹣a•2x＞0恒成立，①，或4x+1﹣a•2x＜0恒成立，②可判断D的正误．
【解答】解：∵函数，
∴当a＝0时，＝1﹣为R上的增函数，且当x→﹣∞时，f（x）→﹣1，当x→+∞时，f（x）→1，即f（x）∈（﹣1，1），故A正确，B错误；
当a＝1时，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，故C正确；
若f（x）的定义域为R，则4x+1﹣a•2x＞0恒成立，①，或4x+1﹣a•2x＜0恒成立，②
解①得：a＜2x+恒成立，
∵2x+≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝0时取等号，
∴a＜2；
解②得：a＞2x+恒成立，由于当x→+∞时，2x+→+∞，故a不存在；
综上所述，若f（x）的定义域为R，则a＜2，故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化与化归思想及综合运算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）若定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）为奇函数，且对任意x1，x2∈[2，+∞），都有＞0，则下列正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于点（﹣2，0）对称
B．f（x）在 R上是增函数
C．f（x）+f（4﹣x）＝4
D．关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，2）
【分析】由已知结合函数的对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）为奇函数，
所以函数f（x）关于（2，0）对称，A错误；
因为对任意x1，x2∈[2，+∞），都有＞0，
所以f（x）在[2，+∞）上单调递增，
根据函数的对称性可知f（x）在R上单调递增，B正确；
由f（x）关于（2，0）对称可知f（x）+f（4﹣x）＝0，C错误；
因为f（x+2）为奇函数且定义域为R，所以f（2）＝0，
由f（x）＜0可得x＜2，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及单调性的应用，属于中档题．
三、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数f（x）＝的定义域为 [1，+∞） ．
【分析】可看出，要使得f（x）有意义，则需满足log2（3x﹣2）≥0，然后解出x的范围即可．
【解答】解：要使f（x）有意义，则log2（3x﹣2）≥0，
∴3x﹣2≥1，解得x≥1，
∴f（x）的定义域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）﹣+lg+2lg2＝ 1 ．
【分析】由已知结合指数及对数的运算性质即可求解．
【解答】解：﹣3+lg+lg4＝2﹣2+lg（4×）＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝loga（﹣x2+2x+3）的单调递减区间为 （1，3） ．
【分析】由指数函数的单调性可得f（x）的最值，解方程可得a，再由复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求减区间．
【解答】解：当a＞1时，f（x）在[0，1]递增，可得a+1＝3，即a＝2；
当0＜a＜1时，f（x）在[0，1]递减，可得a+1＝3，即a＝2，舍去；
所以y＝loga（﹣x2+2x+3）即y＝log2（﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜3），
设t＝﹣x2+2x+3（﹣1＜x＜3），则y＝log2t．
因为y＝log2t在（0，+∞）递增，
所以要求函数y＝loga（﹣x2+2x+3）的单调递减区间，只需求t＝﹣x2+2x+3（﹣1＜x＜3）的减区间．
而t＝﹣x2+2x+3（﹣1＜x＜3）的减区间为（1，3），
故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查复合函数的单调性，以及指数函数、对数函数和二次函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足＜1，且f（2）＝4，则不等式f（x）﹣＞1的解集为 （0，2） ．
【分析】不妨设0＜x1＜x2，即可将原式＜1化为x1f（x1）﹣x1＞x2f（x2）﹣x2，从而说明函数g（x）＝xf（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减，然后结合已知条件即可解决问题．
【解答】解：由已知，令0＜x1＜x2，则＜1化为x1f（x1）﹣x1＞x2f（x2）﹣x2，
令g（x）＝xf（x）﹣x，所以该函数在（0，+∞）上单调递减，
又f（2）＝4，故g（2）＝2f（2）﹣2＝6，
不等式f（x）﹣＞1可化为xf（x）﹣x＞6，
故该不等式的解集为（0，2），
即不等式f（x）﹣＞1的解集为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查利用函数的单调性解决不等式的问题，合理构造函数是解决本题的关键，属于中档题．
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{x|a≤x＜2a+1，a∈R}．
（1）当a＝时，求A∩B；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
（2）根据已知条件，分B是否为空集讨论，即可求解．
【解答】解：（1）当a＝时，
则B＝{x|a≤x＜2a+1，a∈R}＝{x|}，
A＝{x|﹣2＜x≤2}，
则A∩B＝{x|}．
（2）B⊆A，
当B＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，
当B≠∅时，，解得﹣1＜a≤，
综上所述，实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
18．（12分）已知函数 f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）当a＞1时，若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为2，求a的值．
【分析】（1）求出函数的定义域，分a＞1、0＜a＜1分别求解即可；
（2）先根据复合函数的单调性判断出f（x）在[﹣1，1]上为增函数，即可求得f（x）max＝f（1）＝loga3＝2，即可解得a的值．
【解答】解：（1）由，可得﹣2＜x＜2，
即函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＝loga，
当a＞1时，f（x）＞0⇔loga＞0⇔＞1，解得0＜x＜2，
当0＜a＜1时，f（x）＞0⇔loga＞0⇔0＜＜1，解得﹣2＜x＜0，
所以当a＞1时，f（x）＞0的解集为（0，2）；
当0＜a＜1时，f（x）＞0的解集为（﹣2，0）；
（2）当a＞1时，y＝loga（2+x）在定义域上为增函数，y＝﹣loga（2﹣x）在定义域上也为增函数，
所以f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）在（﹣2，2）上为增函数，
所以f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）在[﹣1，1]上为增函数，
所以f（x）max＝f（1）＝loga3﹣loga1＝loga3＝2，
所以a2＝3，
解得a＝．
【点评】本题考查了对数函数的性质、复合函数的单调性、分类讨论思想，属于中档题．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＞﹣1对∀x∈（1，3）恒成立，求a的取值范围；
（2）已知函数g（x）＝log2（x﹣），若对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[﹣1，2]，使不等式g（x1）≥f（x2）+ax2成立，求a的取值范围．
【分析】（1）问题可转化为a（x﹣1）≤x2﹣x+1对∀x∈（1，3）恒成立，即a≤对∀x∈（1，3）恒成立，只需a≤（）min，即可得出答案．
（2）问题可转化为g（x）min≥[f（x）+ax]min，只需求出g（x）min，令F（x）＝f（x）+ax＝x2﹣（a+1）x+a+ax＝x2﹣x+a，x∈[﹣1，2]，求出F（x）min，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为二次函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R，
所以关于x的不等式f（x）≥﹣1对∀x∈（1，3）恒成立，
转化为a（x﹣1）≤x2﹣x+1对∀x∈（1，3）恒成立，
所以a≤对∀x∈（1，3）恒成立，
因为＝＝x﹣1++1≥2+1＝3，
当且仅当x﹣1＝，即x＝2∈（1，3）等号成立，
所以a≤3，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，3]．
（2）因为对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[﹣1，2]，使不等式g（x1）≥f（x2）+ax2成立，
所以g（x）min≥[f（x）+ax]min，
因为g（x）＝log2（x﹣），x∈[2，4]，
所以g（x）在[2，4]上单调递增，
所以g（x）min＝g（2）＝log2（2﹣）＝log2＝﹣l，
因为f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R，
令F（x）＝f（x）+ax＝x2﹣（a+1）x+a+ax＝x2﹣x+a，x∈[﹣1，2]，
对称轴为x＝，
所以F（x）min＝（）2﹣+a＝﹣+a，
所以﹣1≥﹣+a，
所以a≤﹣，
所以a的取值范围为（﹣∞，﹣]．
【点评】本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
20．（12分）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【分析】（1）由题意设该项目获利W元，则当x∈[200，300]时，W＝﹣（x﹣400）2，结合二次函数的图象与性质，即可得出答案；
（2）根据分段函数的性质，分类讨论x∈[120，144），x∈[144，500），结合二次函数的图象与性质和基本不等式，分别求出最小值，比较大小，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意设该项目获利W元，
∵，
∴当x∈[200，300]时，y＝x2﹣200x+80000，则W＝200x﹣（x2﹣200x+80000）＝﹣x2+400x﹣80000＝﹣（x﹣400）2，
∴当x∈[200，300]时，W＜0，
故该项目不获利，且当x＝300时，W取得最大值且为﹣5000，则政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；
（2）∵，
∴当x∈[120，144）时，则每吨的平均处理成本为＝x2﹣80x+5040＝（x﹣120）2+240，
∴当x＝120时，取得最小值且为240元，
当x∈[144，500）时，则每吨的平均处理成本为＝x+﹣200≥2﹣200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
∵200＜240，
∴该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的函数，且对定义域内任意的a，b，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）判断f（x）的单调性，井加以证明；
（2）解关于t的不等式f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0．
【分析】（1）判断：f（x）在（﹣1，1）上单调递减，先利用赋值法得出f（x）是奇函数，结合单调性的定义，即可证明结论；
（2）由（1）得f（x）在（﹣1，1）上单调递减，f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，题意转化为，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）判断：f（x）在（﹣1，1）上单调递减，
证明：∵a，b∈（﹣1，1），都有f（a+b）＝f（a）+f（b），
∴令a＝b＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），解得f（0）＝0，
令a＝x，b＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
任取x1，x2∈（0，1）且x1＞x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2），
∵x1，x2∈（0，1）且x1＞x2，当x＞0时，f（x）＜0恒成立，
∴0＜x1﹣x2＜1，f（x1﹣x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，1）上单调递减，
∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，
故f（x）在（﹣1，1）上单调递减；
（2）由（1）得f（x）在（﹣1，1）上单调递减，f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数
∵f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，即f（1﹣t）＜﹣f（1﹣t2）＝f（t2﹣1），
∴，解得0＜t＜1，
故原不等式的解集为（0，1）．
【点评】本题考查抽象函数问题和函数的单调性和奇偶性的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝1﹣ （a＞0，a≠1）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）若方程（2x+1）•f（x）+k＝0在[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围；
（3）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由奇函数的定义可得f（0）＝0，解得a，再由奇函数的定义检验，即可得出答案．
（2）由（1）可知，f（x）＝1﹣，问题转化为方程（2x+1）•（1﹣）+k＝0在[﹣1，1]上有解，即2x﹣1＝k在[﹣1，1]上有解，即可得出答案．
（3）根据题意可得当x∈（0，1）时，1﹣＞m•2x﹣2恒成立，即当x∈（0，1）时，＞m恒成立，只需m≤（）min，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，
所以f（0）＝0，
所以1﹣＝0，
所以a＝2，
所以f（x）＝1﹣＝1﹣，
f（﹣x）＝1﹣＝1﹣，
所以f（x）+f（﹣x）＝1﹣+1﹣＝2﹣＝2﹣＝0，
所以f（x）＝﹣f（﹣x），
所以f（x）是奇函数，
所以a＝2．
（2）由（1）可知，f（x）＝1﹣＝1﹣，
因为方程（2x+1）•f（x）+k＝0在[﹣1，1]上有解，
所以方程（2x+1）•（1﹣）+k＝0在[﹣1，1]上有解，
所以2x+1﹣2＝k在[﹣1，1]上有解，
所以2x﹣1＝k在[﹣1，1]上有解，
令h（x）＝2x﹣1，x∈[﹣1，1]，
函数h（x）在[﹣1，1]上单调递增，
所以h（x）min＝﹣，h（x）max＝1，
所以h（x）的值域为[﹣，1]，
所以﹣≤k≤1，
所以k的取值范围为[﹣，1]．
（3）因为当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，
所以当x∈（0，1）时，1﹣＞m•2x﹣2恒成立，
所以当x∈（0，1）时，1﹣＞m•2x﹣2恒成立，
所以当x∈（0，1）时，＞m恒成立，
令h（x）＝，x∈（0，1），
令t＝2x，t∈（1，2），
y＝＝+在（1，2）上单调递减，
所以当x＝2时，y＝+＝，
所以m≤，
所以m的取值范围为（﹣∞，]．
【点评】本题考查函数的奇偶性，恒成立问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
2022-2023学年山东淄博实验中学、齐盛高中高一（上）期中
数学试卷
一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜2} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜4}
2．（5分）“a＞0＞b“是“ea＞eb”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（0））＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）若关于x的不等式kx2+2kx﹣k﹣1＞0的解集为∅，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣，0） B．[﹣，0） C．[﹣，0] D．（﹣，0]
5．（5分）已知a＝log52，，c＝ln3，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
6．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）在R上定义运算：＝ad﹣bc，若存在实数x 使不等式≥成立．则a最大为（ ）
A． B．﹣ C． D．
8．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f（x）]的值域为（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
二、多项选择题。本题共2小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若，则下列不等式中，正确的不等式有（ ）
A．a+b＜ab B．|a|＞|b| C．a＜b D．a＞b
（多选）10．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）
B．命题“∃x0∈（0，+∞），＝x0+1“的否定是“∀x∈（0，+∞），ex≠x+1“
C．若loga＞1，则a的取值范围是（，1）
D．若奇函数f（x）在（0，+∞）上有最小值M，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值﹣M
（多选）11．（5分）关于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当a＝0时，f（x）是增函数
B．当a＝0时，f（x）的值域为（﹣1，+∞）
C．当a＝1时，f（x）是奇函数
D．若f（x）的定义域为R，则a＜2
（多选）12．（5分）若定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）为奇函数，且对任意x1，x2∈[2，+∞），都有＞0，则下列正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于点（﹣2，0）对称
B．f（x）在 R上是增函数
C．f（x）+f（4﹣x）＝4
D．关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，2）
三、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数f（x）＝的定义域为 ．
14．（5分）﹣+lg+2lg2＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝loga（﹣x2+2x+3）的单调递减区间为 ．
16．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足＜1，且f（2）＝4，则不等式f（x）﹣＞1的解集为 ．
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{x|a≤x＜2a+1，a∈R}．
（1）当a＝时，求A∩B；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数 f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）当a＞1时，若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为2，求a的值．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＞﹣1对∀x∈（1，3）恒成立，求a的取值范围；
（2）已知函数g（x）＝log2（x﹣），若对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[﹣1，2]，使不等式g（x1）≥f（x2）+ax2成立，求a的取值范围．
20．（12分）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
21．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的函数，且对定义域内任意的a，b，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）判断f（x）的单调性，井加以证明；
（2）解关于t的不等式f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0．
22．（12分）已知函数f（x）＝1﹣ （a＞0，a≠1）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）若方程（2x+1）•f（x）+k＝0在[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围；
（3）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．
2022-2023学年山东淄博实验中学、齐盛高中高一（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜2} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜4}
【分析】求出集合N，利用交集定义能求出M∩N．
【解答】解：集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，
N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，
则M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）“a＞0＞b“是“ea＞eb”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先解指数不等式，再利用充分必要条件的定义求解即可．
【解答】解：∵ea＞eb⇔a＞b，
∴a＞0＞b是ea＞eb的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了指数不等式的解法，充分必要条件的应用，属于基础题．
3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（0））＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，
则f（0）＝20+2＝3，
故f（f（0））＝f（3）＝log33+1＝2，
故选：B．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
4．（5分）若关于x的不等式kx2+2kx﹣k﹣1＞0的解集为∅，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣，0） B．[﹣，0） C．[﹣，0] D．（﹣，0]
【分析】分k＝0与k≠0两种情况，当k≠0时，根据二次函数的性质建立不等式即可求解．
【解答】解：当k＝0时，不等式化为﹣1＞0，此时不等式无解，
当k≠0时，要满足题意，只需，解得﹣，
综上，实数k的范围为[﹣，0]，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
5．（5分）已知a＝log52，，c＝ln3，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可比较出大小关系．
【解答】解：∵0＝log51＜a＝log52＜＝，1＞＝＞，c＝ln3＞lne＝1，
∴c＞b＞a，
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由函数的奇偶性，可排除选项A，由x＞1时，f（x）＞0，可排除选项BC，进而得解．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，，
则函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，选项A错误；
当x＞1时，，选项BC错误．
故选：D．
【点评】本题考查根据函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．
7．（5分）在R上定义运算：＝ad﹣bc，若存在实数x 使不等式≥成立．则a最大为（ ）
A． B．﹣ C． D．
【分析】根据运算的定义等价于x﹣x2﹣（a+1）（a﹣2）≥，利用二次函数的性质求出其解后可得实数a的最大值．
【解答】解：∵存在实数x使不等式≥成立，
∴（1﹣x）x﹣（a+1）（a﹣2）＝x﹣x2﹣（a+1）（a﹣2）≥，
即x2﹣x+a2﹣a﹣≤0存在x使不等式成立．
∴Δ＝1﹣4（a2﹣a﹣）≥0，∴4a2﹣4a﹣3≤0，
∴﹣．
∴a最大为．
故选：D．
【点评】本题考查行列式展开法则、一元二次不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f（x）]的值域为（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
【分析】先化简f（x）的解析式，利用不等式的性质，求出函数f（x）的值域，可得函数y＝[f（x）]的值域．
【解答】解：∵f（x）＝＝﹣＝﹣，ex∈（0，+∞），
∴∈（ 0，2），f（x）∈（﹣，），
故函数y＝[f（x）]的值域为{﹣2，﹣1，0}，
故选：C．
【点评】本题主要考查新定义，不等式的性质，求函数的值域，属于中档题．
二、多项选择题。本题共2小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）若，则下列不等式中，正确的不等式有（ ）
A．a+b＜ab B．|a|＞|b| C．a＜b D．a＞b
【分析】利用不等式的性质，即可解出．
【解答】解：∵，
∴b＜a＜0，
故选项BC错误，D选项正确，
所以ab＞0，a+b＜0，故选项A正确，
故选：AD．
【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）
B．命题“∃x0∈（0，+∞），＝x0+1“的否定是“∀x∈（0，+∞），ex≠x+1“
C．若loga＞1，则a的取值范围是（，1）
D．若奇函数f（x）在（0，+∞）上有最小值M，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值﹣M
【分析】根据对数的运算公式，含一个量词命题的否定，对数函数的单调性，奇函数的性质即可分别求解．
【解答】解：对A选项，∵f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），∴A选项错误；
对B选项，∵命题“∃x0∈（0，+∞），＝x0+1“的否定是“∀x∈（0，+∞），ex≠x+1“，∴B选项正确；
对C选项，∵loga＞1，∴或，∴a∈（，1），∴C选项正确；
对D选项，∵f（x）为奇函数，又f（x）在（0，+∞）上有最小值M，
∴f（x）在（﹣∞，0）上有最大值﹣M，∴D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查对数的运算公式，含一个量词命题的否定，对数函数的单调性，奇函数的性质，属基础题．
（多选）11．（5分）关于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当a＝0时，f（x）是增函数
B．当a＝0时，f（x）的值域为（﹣1，+∞）
C．当a＝1时，f（x）是奇函数
D．若f（x）的定义域为R，则a＜2
【分析】当a＝0时，＝1﹣，可分析其单调性与值域，从而可判断A、B的正误；
当a＝1时，利用奇函数的定义可判断C的正误；由4x+1﹣a•2x＞0恒成立，①，或4x+1﹣a•2x＜0恒成立，②可判断D的正误．
【解答】解：∵函数，
∴当a＝0时，＝1﹣为R上的增函数，且当x→﹣∞时，f（x）→﹣1，当x→+∞时，f（x）→1，即f（x）∈（﹣1，1），故A正确，B错误；
当a＝1时，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，故C正确；
若f（x）的定义域为R，则4x+1﹣a•2x＞0恒成立，①，或4x+1﹣a•2x＜0恒成立，②
解①得：a＜2x+恒成立，
∵2x+≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝0时取等号，
∴a＜2；
解②得：a＞2x+恒成立，由于当x→+∞时，2x+→+∞，故a不存在；
综上所述，若f（x）的定义域为R，则a＜2，故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化与化归思想及综合运算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）若定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）为奇函数，且对任意x1，x2∈[2，+∞），都有＞0，则下列正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于点（﹣2，0）对称
B．f（x）在 R上是增函数
C．f（x）+f（4﹣x）＝4
D．关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，2）
【分析】由已知结合函数的对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）为奇函数，
所以函数f（x）关于（2，0）对称，A错误；
因为对任意x1，x2∈[2，+∞），都有＞0，
所以f（x）在[2，+∞）上单调递增，
根据函数的对称性可知f（x）在R上单调递增，B正确；
由f（x）关于（2，0）对称可知f（x）+f（4﹣x）＝0，C错误；
因为f（x+2）为奇函数且定义域为R，所以f（2）＝0，
由f（x）＜0可得x＜2，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及单调性的应用，属于中档题．
三、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数f（x）＝的定义域为 [1，+∞） ．
【分析】可看出，要使得f（x）有意义，则需满足log2（3x﹣2）≥0，然后解出x的范围即可．
【解答】解：要使f（x）有意义，则log2（3x﹣2）≥0，
∴3x﹣2≥1，解得x≥1，
∴f（x）的定义域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）﹣+lg+2lg2＝ 1 ．
【分析】由已知结合指数及对数的运算性质即可求解．
【解答】解：﹣3+lg+lg4＝2﹣2+lg（4×）＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝loga（﹣x2+2x+3）的单调递减区间为 （1，3） ．
【分析】由指数函数的单调性可得f（x）的最值，解方程可得a，再由复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求减区间．
【解答】解：当a＞1时，f（x）在[0，1]递增，可得a+1＝3，即a＝2；
当0＜a＜1时，f（x）在[0，1]递减，可得a+1＝3，即a＝2，舍去；
所以y＝loga（﹣x2+2x+3）即y＝log2（﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜3），
设t＝﹣x2+2x+3（﹣1＜x＜3），则y＝log2t．
因为y＝log2t在（0，+∞）递增，
所以要求函数y＝loga（﹣x2+2x+3）的单调递减区间，只需求t＝﹣x2+2x+3（﹣1＜x＜3）的减区间．
而t＝﹣x2+2x+3（﹣1＜x＜3）的减区间为（1，3），
故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查复合函数的单调性，以及指数函数、对数函数和二次函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足＜1，且f（2）＝4，则不等式f（x）﹣＞1的解集为 （0，2） ．
【分析】不妨设0＜x1＜x2，即可将原式＜1化为x1f（x1）﹣x1＞x2f（x2）﹣x2，从而说明函数g（x）＝xf（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减，然后结合已知条件即可解决问题．
【解答】解：由已知，令0＜x1＜x2，则＜1化为x1f（x1）﹣x1＞x2f（x2）﹣x2，
令g（x）＝xf（x）﹣x，所以该函数在（0，+∞）上单调递减，
又f（2）＝4，故g（2）＝2f（2）﹣2＝6，
不等式f（x）﹣＞1可化为xf（x）﹣x＞6，
故该不等式的解集为（0，2），
即不等式f（x）﹣＞1的解集为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查利用函数的单调性解决不等式的问题，合理构造函数是解决本题的关键，属于中档题．
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{x|a≤x＜2a+1，a∈R}．
（1）当a＝时，求A∩B；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
（2）根据已知条件，分B是否为空集讨论，即可求解．
【解答】解：（1）当a＝时，
则B＝{x|a≤x＜2a+1，a∈R}＝{x|}，
A＝{x|﹣2＜x≤2}，
则A∩B＝{x|}．
（2）B⊆A，
当B＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，
当B≠∅时，，解得﹣1＜a≤，
综上所述，实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
18．（12分）已知函数 f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）当a＞1时，若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为2，求a的值．
【分析】（1）求出函数的定义域，分a＞1、0＜a＜1分别求解即可；
（2）先根据复合函数的单调性判断出f（x）在[﹣1，1]上为增函数，即可求得f（x）max＝f（1）＝loga3＝2，即可解得a的值．
【解答】解：（1）由，可得﹣2＜x＜2，
即函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＝loga，
当a＞1时，f（x）＞0⇔loga＞0⇔＞1，解得0＜x＜2，
当0＜a＜1时，f（x）＞0⇔loga＞0⇔0＜＜1，解得﹣2＜x＜0，
所以当a＞1时，f（x）＞0的解集为（0，2）；
当0＜a＜1时，f（x）＞0的解集为（﹣2，0）；
（2）当a＞1时，y＝loga（2+x）在定义域上为增函数，y＝﹣loga（2﹣x）在定义域上也为增函数，
所以f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）在（﹣2，2）上为增函数，
所以f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）在[﹣1，1]上为增函数，
所以f（x）max＝f（1）＝loga3﹣loga1＝loga3＝2，
所以a2＝3，
解得a＝．
【点评】本题考查了对数函数的性质、复合函数的单调性、分类讨论思想，属于中档题．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＞﹣1对∀x∈（1，3）恒成立，求a的取值范围；
（2）已知函数g（x）＝log2（x﹣），若对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[﹣1，2]，使不等式g（x1）≥f（x2）+ax2成立，求a的取值范围．
【分析】（1）问题可转化为a（x﹣1）≤x2﹣x+1对∀x∈（1，3）恒成立，即a≤对∀x∈（1，3）恒成立，只需a≤（）min，即可得出答案．
（2）问题可转化为g（x）min≥[f（x）+ax]min，只需求出g（x）min，令F（x）＝f（x）+ax＝x2﹣（a+1）x+a+ax＝x2﹣x+a，x∈[﹣1，2]，求出F（x）min，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为二次函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R，
所以关于x的不等式f（x）≥﹣1对∀x∈（1，3）恒成立，
转化为a（x﹣1）≤x2﹣x+1对∀x∈（1，3）恒成立，
所以a≤对∀x∈（1，3）恒成立，
因为＝＝x﹣1++1≥2+1＝3，
当且仅当x﹣1＝，即x＝2∈（1，3）等号成立，
所以a≤3，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，3]．
（2）因为对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[﹣1，2]，使不等式g（x1）≥f（x2）+ax2成立，
所以g（x）min≥[f（x）+ax]min，
因为g（x）＝log2（x﹣），x∈[2，4]，
所以g（x）在[2，4]上单调递增，
所以g（x）min＝g（2）＝log2（2﹣）＝log2＝﹣l，
因为f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R，
令F（x）＝f（x）+ax＝x2﹣（a+1）x+a+ax＝x2﹣x+a，x∈[﹣1，2]，
对称轴为x＝，
所以F（x）min＝（）2﹣+a＝﹣+a，
所以﹣1≥﹣+a，
所以a≤﹣，
所以a的取值范围为（﹣∞，﹣]．
【点评】本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
20．（12分）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【分析】（1）由题意设该项目获利W元，则当x∈[200，300]时，W＝﹣（x﹣400）2，结合二次函数的图象与性质，即可得出答案；
（2）根据分段函数的性质，分类讨论x∈[120，144），x∈[144，500），结合二次函数的图象与性质和基本不等式，分别求出最小值，比较大小，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意设该项目获利W元，
∵，
∴当x∈[200，300]时，y＝x2﹣200x+80000，则W＝200x﹣（x2﹣200x+80000）＝﹣x2+400x﹣80000＝﹣（x﹣400）2，
∴当x∈[200，300]时，W＜0，
故该项目不获利，且当x＝300时，W取得最大值且为﹣5000，则政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；
（2）∵，
∴当x∈[120，144）时，则每吨的平均处理成本为＝x2﹣80x+5040＝（x﹣120）2+240，
∴当x＝120时，取得最小值且为240元，
当x∈[144，500）时，则每吨的平均处理成本为＝x+﹣200≥2﹣200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
∵200＜240，
∴该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的函数，且对定义域内任意的a，b，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）判断f（x）的单调性，井加以证明；
（2）解关于t的不等式f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0．
【分析】（1）判断：f（x）在（﹣1，1）上单调递减，先利用赋值法得出f（x）是奇函数，结合单调性的定义，即可证明结论；
（2）由（1）得f（x）在（﹣1，1）上单调递减，f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，题意转化为，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）判断：f（x）在（﹣1，1）上单调递减，
证明：∵a，b∈（﹣1，1），都有f（a+b）＝f（a）+f（b），
∴令a＝b＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），解得f（0）＝0，
令a＝x，b＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
任取x1，x2∈（0，1）且x1＞x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2），
∵x1，x2∈（0，1）且x1＞x2，当x＞0时，f（x）＜0恒成立，
∴0＜x1﹣x2＜1，f（x1﹣x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，1）上单调递减，
∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，
故f（x）在（﹣1，1）上单调递减；
（2）由（1）得f（x）在（﹣1，1）上单调递减，f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数
∵f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，即f（1﹣t）＜﹣f（1﹣t2）＝f（t2﹣1），
∴，解得0＜t＜1，
故原不等式的解集为（0，1）．
【点评】本题考查抽象函数问题和函数的单调性和奇偶性的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝1﹣ （a＞0，a≠1）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）若方程（2x+1）•f（x）+k＝0在[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围；
（3）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由奇函数的定义可得f（0）＝0，解得a，再由奇函数的定义检验，即可得出答案．
（2）由（1）可知，f（x）＝1﹣，问题转化为方程（2x+1）•（1﹣）+k＝0在[﹣1，1]上有解，即2x﹣1＝k在[﹣1，1]上有解，即可得出答案．
（3）根据题意可得当x∈（0，1）时，1﹣＞m•2x﹣2恒成立，即当x∈（0，1）时，＞m恒成立，只需m≤（）min，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，
所以f（0）＝0，
所以1﹣＝0，
所以a＝2，
所以f（x）＝1﹣＝1﹣，
f（﹣x）＝1﹣＝1﹣，
所以f（x）+f（﹣x）＝1﹣+1﹣＝2﹣＝2﹣＝0，
所以f（x）＝﹣f（﹣x），
所以f（x）是奇函数，
所以a＝2．
（2）由（1）可知，f（x）＝1﹣＝1﹣，
因为方程（2x+1）•f（x）+k＝0在[﹣1，1]上有解，
所以方程（2x+1）•（1﹣）+k＝0在[﹣1，1]上有解，
所以2x+1﹣2＝k在[﹣1，1]上有解，
所以2x﹣1＝k在[﹣1，1]上有解，
令h（x）＝2x﹣1，x∈[﹣1，1]，
函数h（x）在[﹣1，1]上单调递增，
所以h（x）min＝﹣，h（x）max＝1，
所以h（x）的值域为[﹣，1]，
所以﹣≤k≤1，
所以k的取值范围为[﹣，1]．
（3）因为当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，
所以当x∈（0，1）时，1﹣＞m•2x﹣2恒成立，
所以当x∈（0，1）时，1﹣＞m•2x﹣2恒成立，
所以当x∈（0，1）时，＞m恒成立，
令h（x）＝，x∈（0，1），
令t＝2x，t∈（1，2），
y＝＝+在（1，2）上单调递减，
所以当x＝2时，y＝+＝，
所以m≤，
所以m的取值范围为（﹣∞，]．
【点评】本题考查函数的奇偶性，恒成立问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
相关试卷
山东省淄博实验中学与齐盛高级中学2024届高三国庆联合训练数学试题： 这是一份山东省淄博实验中学与齐盛高级中学2024届高三国庆联合训练数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届山东省淄博实验中学、齐盛高中、淄博六中高三上学期第二次阶段性诊断检测数学试题含答案： 这是一份2024届山东省淄博实验中学、齐盛高中、淄博六中高三上学期第二次阶段性诊断检测数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省淄博市实验中学、齐盛高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年山东省淄博市实验中学、齐盛高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，解答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。
