2021-2022学年山东省烟台第二中学高二下学期第一次阶段测试数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省烟台第二中学高二下学期第一次阶段测试数学试题

一、单选题

1．已知是第二象限的角，那么是（       ）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角

【答案】D

【分析】写出第二象限角，再求出的范围，讨论的取值范围即可求解.

【详解】是第二象限的角，

则，

所以，

当时，，属于第一象限角，

当时，，属于第三象限角，

当时，，属于第一象限角，

所以是第一或第三象限角，

故选：D

【点睛】本题考查了象限角，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

2．已知下列结论：①；②；③；④⑤若 ，则对任一非零向量有；⑥若，则与中至少有一个为 ；⑦若与是两个单位向量，则.则以上结论正确的是（       ）

A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤

【答案】C

【分析】按照向量数乘和向量数量积的定义分析即可.

【详解】（1） ，故错误；

（2） 根据数乘的定义，正确；

（3） 是表达式错误，0是数量， 是向量，这样的表达式没有意义，故错误；

（4） ，故错误；

（5）当向量 与 的夹角是 时， ，故错误；

（6）同（5），错误；

（7） ，故正确；

故选：C.

3．在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式化简求出,得出,利用正弦定理得到,判断的范围,从而得出.

【详解】由得，

且为锐角，

由正弦定理可得

，解得，故选A.

【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

4．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午时到达一座灯塔的南偏西距塔海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这艘船航行的速度为

A．海里/时 B．海里/时

C．海里/时 D．海里/时

【答案】A

【分析】根据已知条件，直接利用正弦定理解出MN.

【详解】，

在 中有

海里/时，选A.

【点睛】本题考查正弦定理的使用，属于简单题．

5．若函数的部分图象如图所示，则和的值是（       ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【分析】根据图象求得的值.

【详解】由图象可知，

所以，

，

由于，所以.

故选：C

6．已知向量，，，的夹角为45°，若，，设方向上的单位向量为，则在方向上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.

【详解】，

依题意在方向上的投影向量为

.

故选：C

7．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简,再根据终边经过点求角α的三角函数值即可.

【详解】,

又,故.

故

故选：B

8．在中，角，，所对的边分别为，，，，则的形状一定是（       ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【解析】由降幂公式及正弦定理化简可得，根据两角和的正弦公式化简可得.

【详解】，

，

化简得.

，

，

即.

，

，即，

∴是直角三角形，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变化，考查了变形化简能力，属于中档题.

二、多选题

9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（     ）

A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°

C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°

【答案】BC

【分析】结合选项逐个求解，可进行判断.

【详解】对于A，因为，所以，只有一解；

对于B，因为，且，所以有两解；

对于C，因为，且，所以有两解；

对于D，因为，但，所以有一解；

故选：BC.

10．下列命题中正确的是（       ）

A．函数是奇函数

B．若，是第一象限角且，则

C．在区间上的最小值是，最大值是2

D．是函数的一条对称轴

【答案】CD

【分析】根据三角函数的奇偶性、最值、对称性以及诱导公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，为偶函数，A选项错误.

B选项，不妨设第一象限角但，B选项错误.

C选项，，，所以C选项正确.

D选项，，所以是函数的一条对称轴，D选项正确.

故选：CD

11．一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（       ）

A．点P第一次到达最高点需要20秒

B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方

C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米

D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米

【答案】ABC

【分析】结合周期性以及角度判断出正确答案.

【详解】设水面为，

过作直径，垂足为，

依题意米，所以，，

第一次到达最高点需要的时间为秒，A选项正确.

根据对称性可知，由运动到，需要时间秒，B选项正确.

当水轮转动秒时，位置与秒时相同，

秒转过的角度为，

如图中的位置，其中，故此时在水面上方，距离水面的距离等于米，C选项正确.

当水轮转动秒时，位于的位置，距离水面米，D选项错误.

故选：ABC

12．在△ABC中，已知，给出下列结论，其中正确的结论是（       ）

A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．若，则△ABC的面积是

C． D．△ABC一定是钝三角形

【答案】CD

【分析】由比值关系可得（），再结合正余弦定理逐项分析判断即可得解.

【详解】由可设：

（），

所以，

对A，只知道各边的比值关系，并不能确定大小，

所以这个三角形不能被唯一确定，故A错误；

对B，若，即，

所以，所以，

所以，

所以，所以，故B错误；

对C，，故C正确；

对D，由，

所以为钝角，故D正确.

故选：CD

三、解答题

13．已知，且

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式求得正确答案.

（2）先求得，由此求得正确答案.

【详解】(1)依题意，

，两边平方并化简得，

由于，所以，

所以，

.

(2)，

所以，

所以.

14．已知

(1)化简的解析式，求的最小正周期

(2)若将的图象向左平移个单位得到的图象.求在区间上的值域.

【答案】(1)，最小正周期为

(2)

【分析】（1）利用两角和的正弦公式、降次公式化简解析式，即而求得的最小正周期.

（2）利用图象变换的知识求得，利用三角函数值域的求法求得在区间上的值域.

【详解】(1)，

所以的最小正周期为.

(2)将的图象向左平移个单位得到.

，

所以.

15．的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，

(1)求角A的大小；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理求得正确答案.

（2）结合余弦定理、基本不等式求得面积的最大值.

【详解】(1)依题意，

由正弦定理得，

由于，

所以，则.

(2)由余弦定理得，

即，当且仅当时等号成立.

所以.

即面积的最大值为.

16．

(1)若的图象关于对称，且，求的单调减区间；

(2)在（1）条件下，当时，函数有且只有一个零点，求b的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简的解析式，根据的对称性求得，进而求得的单调减区间.

（2）由分离常数，结合三角函数图象与性质求得的取值范围.

【详解】(1)

，

由于的图象关于对称，所以，

由于，所以.

由，，

所以的单调减区间为

(2)由（1）得，

令，得有唯一解，

令，

.

画出在区间上的图象如下图所示，

由图可知，的取值范围是.

17．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c面积为S，且，

(1)求的值

(2)若，，求的周长

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合三角形的面积公式以及正弦定理求得.

（2）先求得，结合余弦定理求得三角形的周长.

【详解】(1)依题意，即，

，由正弦定理得，

由于，所以.

(2)，

所以，

即，为钝角，则.

由余弦定理得，

即，

由得，

，

，

，

所以三角形的周长为.

18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b.c，且面积为，.

(1)求角B的大小

(2)求的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可得

，可求出，进而求出角B的大小.

（2）由正弦定理可得：，由求出角的范围，即可求出的取值范围.

【详解】(1)由余弦定理可得：，所以，因为，则，因为，所以.

(2)由正弦定理可得：，

因为，所以，则是钝角，所以，所以，，可得：.

四、填空题

19．在平行四边形中，若，则四边形是______.

【答案】矩形

【分析】由向量加法和减法法则可知平行四边形的两条对角线相等，由此可判断出四边形的形状.

【详解】由向量加法的平行四边形法则可知，，，

，，即平行四边形的两条对角线相等，

因此，四边形为矩形，故答案为：矩形.

【点睛】本题考查四边形形状的判断，解题时要充分利用向量加法和减法法则，考查推理能力，属于中等题.

20．已知函数在上单调递增，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由的取值范围，求出，再根据的范围及函数的单调性，

得到不等式组求解即可.

【详解】当时，，

又，且在上单调递增，所以，

所以，解得，即.

故答案为：.

21．函数，，的部分图像如图所示，则的值等于___________.

【答案】

【分析】根据正弦函数图像的特性求出f(x)的解析式，再根据周期性即可求所给式子的值.

【详解】由图象可知，，∴，

∴，

∵的图像过点，∴，

则，又，∴k取0，，

故，

∵，2020＝8×252＋4，

∴.

故答案为：.

五、双空题

22．在△ABC中，，，，则___________，___________.

【答案】         

【分析】根据正弦定理求，再根据余弦定理求.

【详解】根据正弦定理可知，，；

，即，

化简为

解得：或（舍）.

故答案为：；