2021-2022学年广西北海市合浦县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年广西北海市合浦县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共10小题，共30分）
下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
下列各组数中，是勾股数的是( )
A. 1，5，2B. 0.3，0.4，0.5C. 8，15，17D. 5，6，7
已知一个正多边形的内角是140°，则它是几边形( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是( )
A. SASB. SSSC. ASAD. HL
如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是( )
A. 4B. 3C. 3.5D. 2
如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为( )
A. 70m
B. 80m
C. 90m
D. 100m
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是( )
A. 当AB=BC时，它是矩形
B. 当AC⊥BD时，它是矩形
C. 当∠ABC=90°时，它是正方形
D. 当AC⊥BD时，它是菱形
如图，O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E是AB边的中点．若AB=8，OE=3，则线段OC的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( )
A. 线段EF的长逐渐增大
B. 线段EF的长逐渐减小
C. 线段EF的长不改变
D. 线段EF的长不能确定
如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=20，点D在边AB上，CA=CD，BD=8，则AD=( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BD=4，点D到AB的距离为2，则BC=______．
如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，AB=2，则四边形BEOF面积是______．
菱形ABCD的面积为24，对角线AC的长为6，则对角线BD的长为______．
选做题：如图，在锐角△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共55分）
如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，请用尺规作图法，在AC边上求作一点D，使BD=12AC.(保留作图痕迹，不写作法)
小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形，你能说说小明这样做的道理吗？
如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线．
在等腰△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D．
(1)若∠A=40°，求∠DCB的度数；
(2)若BC=15，CD=12，求AC的长．
已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF与AD、BD、BC分别交于点E、O、F.求证：四边形BFDE是菱形．
如图：AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE=DF.求证：CE=CF．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE//BD交AD的延长线于点E，CE=AC．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长．
如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且
PE=PB．
(1)当PC=CE时，求∠CDP的度数；
(2)求证：BC2+CE2=2BP2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.1，5，2不是整数，不是勾股数；
B.0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；
C.82+152=172，是勾股数；
D.52+62≠72，不是勾股数；
故选：C．
欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
3.【答案】B
【解析】解：设正边形的边数是n，由内角和公式，得
(n−2)×180°=n×140°．
解得n=9，
故选：B．
多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成140°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
4.【答案】D
【解析】解：在Rt△POM和Rt△PON中，
OP=OPOM=ON，
∴Rt△POM≌Rt△PON(HL)，
∴∠POM=∠PON，
∴OP平分∠AOB，
故选：D．
根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴ED=AD−AE=AD−AB=5−3=2．
故选：D．
根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，根据ED=AD−AE=AD−AB即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE=∠AEB，判断三角形ABE中，AB=AE，难度一般．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠APB=180°−60°−30°=90°，PA=3×20=60(m)，PB=4×20=80(m)，
∴AB=PA2+PB2=602+802=100(m)，
答：20s后他们之间的距离为100m，
故选：D．
根据题意得到∠APB=180°−60°−30°=90°，PA=3×20=60(m)，PB=4×20=80(m)，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴它是菱形，故A选项不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴它是菱形；故B选项不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴它是矩形，故C选项不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴它是菱形，故D选项符合题意．
故选：D．
根据平行四边形的性质，正方形和菱形的判定定理进行判断即可．
本题考查了平行四边形的性质，正方形和菱形还有矩形的判定，熟练掌握正方形和菱形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠BCD=90°，DO=OB，
∵E是AB边的中点，
∴OE是△ADB的中位线，
∴AD=2OE=6，
∵AB=8，
∴BD=AD2+AB2=62+82=10，
∴OC=12BD=5，
故选：C．
根据矩形的性质和三角形中位线定理得出AD=2OE，进而利用勾股定理得出BD，再根据直角三角形的性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和三角形中位线定理得出AD=2OE解答．
9.【答案】C
【解析】解：连接AR．
因为E、F分别是AP、RP的中点，
则EF为△APR的中位线，
所以EF=12AR，为定值．
所以线段EF的长不改变．
故选：C．
因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．
10.【答案】C
【解析】解：过C点作CE⊥AD于E，

∵CA=CD，
∴AD=2DE，
∵∠ABC=60°，∠CEB=90°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=12BC=10，
∵BD=8，
∴DE=BE−BD=10−8=2，
∴AD=4．
故选：C．
由等腰三角形的性质可得AD=2DE，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BE的长，即可求得DE的长，进而可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11.【答案】平行四边形
【解析】解：四边形ABCD是：平行四边形．理由：
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD//EF，AD=EF．
∵四边形EBCF是平行四边形，
∴BC//EF，BC=EF．
∴AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
根据平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，利用已知得出AD//BC，AD=BC是解题关键．
12.【答案】6
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD平分∠CAB，
∴DC=DE=2，
∵BD=4，
∴BC=CD+BD=2+4=6，
故答案为：6．
过点D作DE⊥AB于点E，由AD平分∠CAB知DC=DE=2，则可得出答案．
本题主要考查角平分线的性质、勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的性质．
13.【答案】1
【解析】解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE=S△BOF，
∴四边形BEOF面积=S△AOB=14S正方形ABCD=14×22=1，
故答案为：1．
由旋转的性质可得S△AOE=S△BOF，由面积和差关系可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：菱形ABCD的面积S=12AC⋅BD=24，
∵AC=6，
∴BD=2×246=8，
故答案为8．
菱形的面积可以根据对角线的长计算，已知菱形的面积，对角线AC的长即可计算BD的长
本题考查了根据对角线长计算菱形的面积的方法，本题中正确计算是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：如图，作点B关于AD的对称点B′，
由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，
由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=2，
∴B′N=2×32=3，
即BM+MN的最小值是3．
故答案为：3．
作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
16.【答案】解：如图所示，点D即为所求．
【解析】作出线段AC的垂直平分线，与AC的交点即为所求点D．
本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质和线段垂直平分线的尺规作图．
17.【答案】解：∵将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，
∴AB=A1B1，
∵∠B1A1A=∠BAC，
∴A1B1//AB，
∴四边形ABB1A1是平行四边形．
【解析】直接利用平移的性质结合平行四边形的判定定方法得出答案．
本题考查了平行四边形的判定定理，平移的基本性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AD垂直平分EF，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可证得AD是△ABC的角平分线．
本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠DBC=70°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB=90°−70°=20°；
(2)Rt△BCD中，BD=BC2−CD2=152−122=9，
设AC=AB=x，则AD=x−9，
∵Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，
∴(x−9)2+122=x2，
解得x=22518=12.5，
∴AC=12.5．
【解析】(1)根据三角形的内角和定理即可求得；
(2)根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理列方程，即可得到AC的长．
此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理，并列方程求解是解本题的关键．
20.【答案】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OB=OD，
∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB(AAS)，
∴DE=BF，
又∵ED//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，菱形的判定等知识点，一般通过全等三角形来证明线段相等．
由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD//BC，OB=OD，易证得△OED≌△OFB，可得DE=BF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，又由EF⊥BD，即可证得四边形BFDE是菱形．
21.【答案】证明：如图，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC−∠ABD=∠ADC−∠ADB，
∴∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
BC=CDBE=DF，
∴Rt△BCERt≌Rt△DCF(HL)，
∴EC=CF．
【解析】连接BD，根据等腰三角形的性质和判定求出BC=DC，根据HL证Rt△BCERt≌Rt△DCF，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形全等的判定和性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//BC，
∵CE//BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴CE=BD．
∵CE=AC，
∴AC=BD．
∴▱ABCD是矩形；
(2)解：∵AB=4，AD=3，∠DAB=90°，
∴BD=AB2+AD2=42+32=5．
∵四边形BCED是平行四边形，
∴四边形BCED的周长为2(BC+BD)=2×(3+5)=16．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AE//BC，推出四边形BCED是平行四边形，得到CE=BD.根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到BD=AB2+AD2=42+32=5.根据平行四边形的周长公式即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
23.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=∠DCE=90°，
∴∠PCE=45°+90°=135°，
在△BCP和△DCP中，
BC=DC∠BCP=∠DCPCP=CP，
∴△BCP≌△DCP(SAS)，
∴BP=DP，∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，PC=CE，
∴PD=PE，∠CBP=∠PEB=∠CPE=12(180°−135°)=22.5°，
∴∠CDP=22.5°；
(2)证明：设PE交CD于F，

由(1)可知，△BCP≌△DCP(SAS)，∠BCD=90°，
∴BP=DP，∠CBP=∠CDP，∠DCE=90°，
∵PE=PB，
∴PD=PE，∠CBP=∠PEB，
∴∠CDP=∠PEB，
∵∠DPE+∠CDP+∠PFD=∠DCE+∠PEB+∠EFC=180°，∠PFD=∠EFC，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴DE2=PD2+PE2=2PE2=2PB2，
∵DE2=CD2+CE2，BC=CD，PB=PD=PE，
∴BC2+CE2=2PB2．
【解析】(1)由SAS证明△BCP≌△DCP，得出BP=DP，∠CBP=∠CDP，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠CBP=∠PEB=∠CPE=22.5°，即可得出结果；
(2)证明∠DPE=∠DCE=90°，由勾股定理得出DE2=CD2+CE2，DE2=PD2+PE2，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识；熟记正方形的性质，证明∠DPE=∠DCE=90°是解决问题(2)的关键．
题号
一
二
三
总分
得分