广西贵港市覃塘区2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

广西贵港市覃塘区2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 在中，已知，，则这个三角形是

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

2. 下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形

3. 下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是

A. 两个锐角对应相等 B. 一个锐角和斜边对应相等
C. 两条直角边对应相等 D. 一条直角边和斜边对应相等

4. 若从一个多边形的一个顶点出发最多可作条对角线，则该多边形的内角和为

A.  B.  C.  D.

5. 正方形具有而矩形不具有的性质是

A. 对边平行 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分

6. 已知，，是一个直角三角形的三条边长，则实数的相反数为

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形

8. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是

A. 测量对角线是否相等 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量其中三个角是否都为直角

9. 如图，在中，，是边的中点，交于点，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是的角平分线，交于点，垂足为，连接若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在菱形中，，是边的中点，是对角线上的一个动点，连接，，若的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在矩形中，对角线与交于点，交于点，交于点，垂足分别为、，连接、则下列四个结论：
    ；
    ；
    ；
    当时，四边形是菱形；
    其中正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 正七边形的外角和是______．
14. 已知等腰三角形的一个底角为，则该等腰三角形的顶角度数为______．
15. 已知一个直角三角形的面积为，两直角边的和为，则它的斜边长为______．
16. 如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为______．
    
     

17. 如图，平行四边形的对角线与交于点，，若：：，，则的长为______．

18. 如图，正方形的面积为，菱形的面积为，则的面积为______．
    
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共66分）

19. 如图，在中，，于点，是边的中点，连接．
    若，，求的长；
    若，求的度数．

20. 尺规作图保留痕迹，不写作法：
    如图，已知和点，求作一个，使它与关于点成中心对称．
    
     

21. 尺规作图保留痕迹，不写作法：
    如图，已知线段，求作一个正方形，使它的边长等于．
22. 如图，在中，，，交于点．
    求证：；
    若，求的面积．

23. 如图，在菱形中，、分别是和上的点，且，连接，．
    求证：≌；
    若，，求的度数．

24. 如图，已知点，，，分别在正方形的四条边上，且，连接，，，．
    求证：四边形是正方形；
    若，，求四边形的周长．
     

25. 如图，在四边形的中，，，是边的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求四边形的面积．
26. 如图，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交，于点，，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求折痕的长．
    
     

27. 如图，已知正方形的对角线交于点，点在边的延长线上，点在边的延长线上，交于点，交于点，且，连接．
    求证：；
    若正方形的边长为，为的中点，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，
，
是直角三角形．
故选：．
根据三角形的内角和定理和直角三角形的定义可解答．
本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，掌握三角形的内角和定理是关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】解：、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；
B、一个锐角和斜边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意；
C、两条直角边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；
D、一条直角边和斜边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；
故选：．
根据，，，，，逐一判断即可解答．
本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：从一个多边形的一个顶点出发，至多可引条对角线，
这个多边形的边数是，
度，
则这个多边形的内角和是度．
故选：．
一个多边形的一个顶点出发，一共可作条对角线，则这个多边形的边数是边形的内角和可以表示成，代入公式就可以求出内角和．
本题主要考查了多边形的内角和公式和多边形的对角线，是需要熟记的内容．
 

5.【答案】

【解析】解：正方形对边平行，矩形对边平行，
选项不符合题意；
正方形对角线相等，矩形对角线相等，
选项不符合题意；
正方形对角线互相垂直，矩形对角线不垂直，
选项符合题意；
正方形对角线互相平分，矩形对角线互相平分，
选项不符合题意．
故选：．
根据正方形的性质和矩形的性质进行判断即可．
本题考查了正方形的性质和矩形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：当为斜边时：，
解得：，不符合题意；
当为直角边时：，
解得：，不符合题意．
故第三边长为或，
实数的相反数为或．
故选：．
由于不知道为斜边还是直角边，故应分两种情况进行讨论．
本题考查了相反数及勾股定理，即在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

7.【答案】

【解析】解：连接、，
在中，
，
，
同理，，，
又在矩形中，，
，
四边形为菱形．
故选B．
因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了矩形的定义和判定．
矩形的判定定理有：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判断．

【解答】
解： 、对角线相等，四边形不一定是矩形，例如等腰梯形；
B 、两组对边相等，四边形也不一定是矩形，例如平行四边形；
C 、两组对角都为直角，四边形不一定是矩形，因为另两个角度数不确定；
D 、根据矩形的判定，三个角都为直角，四边形就是矩形．
故选 D ．   

9.【答案】

【解析】解：，是边的中点，
，即，
解得：，，
由勾股定理得：，
故选：．
根据三角形中位线定理分别求出、，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
 

10.【答案】

【解析】解：，，
，
在和中，
．
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故选：．
利用三角形内角和定理求出，利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，
四边形是菱形，
，且，
，
，
当点，点，点三点共线且垂直时，有最小值，
最小值为
故选：．
由菱形的性质可得，可得，可得，由垂线段最短，可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，即，
，
四边形是平行四边形，
，故正确；
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；故正确；
故选：．
根据矩形的性质得到，，，，，，根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，由全等三角形的性质得到，，故正确；证≌，得出，，故正确；证四边形是平行四边形，得出，故正确；证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；故正确；即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：根据任意多边形的外角和都为，可知正七边形的外角和是，
故答案为．
根据多形的外角和定理进行解答．
本题主要考查了多边形的外角和．此题比较简单，只要识记多边形的外角和等于即可．
 

14.【答案】

【解析】解：因为等腰三角形的一个底角为，
所以该等腰三角形的顶角度数为．
故答案为：．
根据等腰三角形的两底角相等，三角形内角和是和底角是，进而求得它的顶角的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：设一条直角边长为，则另一条直角边为，
根据题意得：，
解得：，，
斜边的长为；
方法二：设两直角边为和，则，．
，
，
．
．
斜边长；
故答案为：．
设一条直角边长为，则另一条直角边为，根据面积列出方程求解后将负根舍去即可．
本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是能够根据直角边表示出另一条直角边的长并熟悉直角三角形的面积计算方法．
 

16.【答案】

【解析】解：是的中位线，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
由三角形的中位线定理得到，，，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出，可得，即可求出的长．
本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

17.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
：：，
：：，
设，，
，，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的对角线、交于点，且：：，可得：：，又由，即可求得的长，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
 

18.【答案】

【解析】解：设，相交于，

由题意知，正方形的边长为，
四边形是菱形，
，
，
，
菱形的面积为，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
边上的高，
的面积，
故答案为：．
根据正方形的性质和菱形的性质得出边长，进而利用勾股定理和三角形面积公式解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和菱形的性质得出边长解答．
 

19.【答案】解：在中，，，，
，
是斜边的中点，
；
解：，，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】先利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质即可得到的长；
先求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得，再求出．
本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】连接，延长到，使得，同法作出，，连接，，即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：如图，
 

【解析】先画射线，在射线上截取，使得，再过点作，在射线上截取，使得，分别以，为圆心，为半径画弧，两弧交于点，四边形即为所求．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正方形的判定．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
，
，
过点作于点，如图所示：

则为的中点，
，
，
，
的面积为．

【解析】根据，可得，根据以及三角形的内角和定理可得，即可得证；
根据已知条件可得，根据含角的直角三角形的性质可得和，即可求出的面积．
本题考查了等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
四边形是菱形，
，
，
，
．

【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“”即可证明≌；
由全等三角形的性质得，再由菱形的性质得，然后由三角形的外角性质求解即可．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
在，，，中，
，
≌≌≌，
，，，
四边形是菱形，，
，
，
，
四边形是正方形；
解：，，
，
，
四边形是正方形，
四边形的周长．

【解析】根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质可得，，，再根据菱形的判定与性质可得，，最后由正方形的可得结论；由正方形的性质及周长公式可得答案．
此题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
解：在中，，，
，
由可知，，
．

【解析】证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理证明结论；
根据勾股定理求出，根据梯形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是直角梯形、全等三角形的判定和性质，掌握直角梯形的面积公式是解题的关键．
 

26.【答案】证明：由折叠性质得，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形；
解：设，则，，
四边形是矩形，
，
，
，
解得：，即，
，
如图，连接，

，
，
．

【解析】由折叠性质得，，，由矩形性质得出，，证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论；
首先设，则，，然后由勾股定理求得，求出值，连接，根据勾股定理求出，然后根据菱形的面积即可解决问题．
本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

27.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
≌，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即．
解：如图，过点作于点，

正方形的边长为，
，
为的中点，
，
则，
．

【解析】证≌和≌即可得；
作，由正方形的边长为且为的中点知、，再根据勾股定理得，由直角三角形性质知．
本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．