2021-2022学年广西贵港市港南区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广西贵港市港南区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 在下列各数中，不是勾股数的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A. 等边三角形 B. 平行四边形
C. 圆 D. 五角星

3. 已知中，，，，则的周长等于

A.  B.  C.  D.

4. 如果过一个多边形的一个顶点的对角线有条，则该多边形是

A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形

5. 如图，，，是的三条中线，则下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，是正方形的边上一点，过点作交的延长线于点，若，则四边形的面积是

A.
B.
C.
D. 无法计算

7. 如图，，平分，交于，交于，若，则等于

A.  B.  C.  D.

8. 两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点若，则的大小为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，，是的平分线，于点，若的周长等于，则的长是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，，是角平分线上一点，，垂足为，点是的中点，且，如果点是射线上一个动点，则的最小值是

A.
B.
C.
D.

12. 如图所示，为正方形的中点，平分，交于点，延长到，使，连结交的延长线于点，连结交于点，连结，则下列结论：；；；三角形是直角三角形．其中正确的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 已知一个多边形的内角和是，这个多边形外角和是______
14. 在平行四边形中，点关于对角线的交点的对称点______．
15. 如图，在中，，若，则线段的长为______．
    
     

16. 如图，是直线上一点，已知，平分，则______．
     

17. 一架云梯长米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______米．
     

18. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为若，则对角线的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 如图，在▱中，的平分线交于，．
    求、的度数；
    若，，求的长．
     

20. 如图：已知和两条公路，以及、两个村庄，建立一个车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到，两条公路的距离相等．

21. 求图中的值．

22. 已知：如图，在▱中，，过点作交的延长线于点．
    求证：四边形是矩形；
    连接，若，求证：是等边三角形．
     

23. 如图，在中，，是线段上一点，，连接，．
    求证：．
    若，求的周长．
     

24. 如图，在中，平分，，于点，点在上，．
    求证：；
    若，，求的长．
    
    
     

25. 如图，在四边形中，为对角线的中点，过点作直线分别与四边形的边，交于，两点，连接，．
    求证；四边形为平行四边形；
    当平分时，
    求证；四边形为菱形；
    当四边形是矩形时，若，，求的长．

26. 在中，点是边上的一个动点，连接作，，连接．
    如图，当时，求证：；
    如图，当是的中点时，
    四边形的形状是______；请说明理由．
    若，，则四边形的面积为______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B.，不是勾股数，此选项符合题意；
C.，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
D.，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

2.【答案】

【解析】解：、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、五角星是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
的周长等于，
故选：．
由，得，即可得的周长等于．
本题考查直角三角形的周长，解题的关键是熟练掌握并能应用勾股定理．
 

4.【答案】

【解析】解：过一个多边形的一个顶点的对角线有条，
多边形的边数为，
故选：．
根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为计算即可．
本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点出发可以作的对角线的条数为是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、、是的三条中线，
，，，
故A、、都不正确；B正确．
故选：．
根据三角形的中线的定义判断即可．
本题考查了三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得 ≌ 是关键 由正方形 中的角边关系，易证得 ≌ ，即可得 ，求得答案．
【解答】
解： 四边形 是正方形，
， ，
即 ，

，且

在 和 中，
，
≌ ，
，
，
．
故选 C ．   

7.【答案】

【解析】解：过作，
，
，
是的平分线，
，
，
，
在中，，，
，
，是的平分线，
，
故选：．
根据平行线的性质可知，然后根据角平分线的性质解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据，得出，再根据三角形内角和是求的大小即可．
本题主要考查等腰直角三角形的知识，熟练掌握三角尺各角的度数，平行线的性质，三角形内角和等知识是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：点、分别是、的中点，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：平分，，，
，
，
，
，
的周长等于，
的周长为．
故选：．
由角平分线的性质可得，即可得结合三角形的周长即可得的周长，进而可求解的长．
本题主要考查角平分线的性质，等腰直角三角形，求得的周长是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：是角平分线上的一点，，
，
，是的中点，，
，
，
点是上一个动点，
的最小值为到距离，
的最小值．
故选：．
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
平分，
，
，，故错误，不符合题意；
，
，是等腰三角形，
，即点是的中点，
，
，
，故正确，符合题意；
为的中点，
是三角形的中位线，
，故正确，符合题意；
，
在正方形中，，
，
，，
，
，故错误，不符合题意；
正确的有两个，
故选：．
先由正方形的性质得到，，然后结合得到≌，结合角平分线的性质得到相关的角，然后可以判定，再利用等腰三角形的性质得到，然后利用直角三角形斜边上的中线得到，最后结合中位线的性质得证．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解题的关键是利用已知条件得证≌．
 

13.【答案】

【解析】解：任意多边形的外角和都是，
故答案为：．
根据任意多边形的外角和总是可得答案．
本题考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和是是解题关键．
 

14.【答案】是点

【解析】解：在平行四边形中，点关于对角线的交点的对称点是点，
故答案为：是点．
根据平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
由得，从而，由勾股定理即得答案．
本题考查等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是证明及熟练应用勾股定理．
 

16.【答案】

【解析】解：，
，
平分，
，
，
故答案为：．
求出的大小，再由角平分线求出，即可求．
本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用角的和差关系求角的大小是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：设子的底端在水平方向滑动了米，
根据勾股定理得：
梯子距离地面的高度为：；
又梯子下滑了米，
即梯子距离地面的高度为，
根据勾股定理：
，
解得：或舍去．
即梯子的底端在水平方向滑动了米，
故答案为：．
先利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度，得出梯子的初始高度，下滑米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，已知梯子的底端距离墙的距离为米，再次使用勾股定理，可以得出梯子底端水平方向上滑行的距离．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，，
，，，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
连接交于点，先证，再证≌，得，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：在▱中，的平分线交于，，
，
，
，
，
，
在▱中，，，
，，
，
的长是．

【解析】利用角平分线的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的性质得出：、的度数；
根据等角对等边可得，即可得的长．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
 

20.【答案】解：如图，点为所作．
 

【解析】作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点．
本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

21.【答案】解：由三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，
得，
解得：，
由四边形内角和等于，
得
解得：．

【解析】根据三角形外角的性质列出方程可得答案；
根据四边形的内角和是列出关于的方程．解方程即可．
本题考查三角形的外角的性质和多边形的内角和，熟练掌握三角形外角的性质和多边形的内角和公式是解题关键．
 

22.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
又，
，
四边形是矩形；
四边形是平行四边形，
，，
由得：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
是等边三角形．

【解析】证，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，，再由矩形的性质得，，则，，然后由，得，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为矩形是解题的关键．
 

23.【答案】证明：在中，，，，
，
是直角三角形，且，
；
解：，
是直角三角形，
，，
，
，
在中，，即，
解得，
的周长是．

【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
 

24.【答案】证明：于点，
，
又平分，，
，
在和中，
，
≌，
．
解：在和中，
，
≌，
，
设，则，，
，解得：．
故CF．

【解析】利用角平分线的性质可得，再利用“”证明≌，即可证明；
利用““证明≌，可得，设，则，，即可建立方程求解．
本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，难度较低，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键．
 

25.【答案】证明：，为对角线的中点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形；
解：平分，
，
，
，
，
，
平行四边形为菱形；
四边形是矩形，
，，
，，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
故D的长为．

【解析】根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形；
根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到即可得到结论．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明≌．
 

26.【答案】菱形 

【解析】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
．
解：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形是菱形，
故答案为菱形；
四边形是菱形，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形的面积为．
故答案为．
证明四边形是平行四边形，得出，由矩形的判定可得出四边形是矩形，由矩形的性质可得出结论；
由直角三角形的性质得出，根据菱形的判定可得出答案；
求出，由勾股定理求出，由菱形的面积公式可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．