河南省洛阳市嵩县2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷（含解析

河南省洛阳市嵩县2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各式中是方程的是

A.  B.  C.  D.

2. 解方程时，去分母正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 若，则下列不等式正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 方程、、，二元一次方程的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 用加减法解方程组，最简单的方法是

A.  B.  C.  D.

6. 方程组的解为

A.  B.  C.  D.

7. 某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶个，市场上有型和型两种分类垃圾桶，型分类垃圾桶元个，型分类垃圾桶元个，总费用不超过元，则不同的购买方式有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8. 一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大，则这样的两位数共有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 关于、的方程组有正整数解，则正整数为

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或

10. 定义一种运算：，则不等式的解集是

A. 或 B.
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 不等式的解集为______．
12. 如果是关于的方程的解，那么的值是______．
13. 当时，代数式的值是，则，这个代数式的值是______．
14. 若方程的一个解与方程组的解相同，则的值为______．
15. 孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 解方程：
    ；
    ．
17. 解方程组：
    ；
    ．
18. 解不等式，并在数轴上表示其解集．
19. 年北京冬奥会期间体育中心将举行短道速滑比赛，观看短道速滑比赛的门票分为两种：种门票元张，种门票元张．某旅行社为一个旅行团代购部分门票，若旅行社购买，两种门票共张，总费用元，求旅行社为这个旅行团代购的种门票和种门票各多少张？要求列方程组解答
20. 情景：试根据图中信息，解答下列问题：
    
    购买根跳绳需______元，购买根跳绳需______元．
    小红比小明多买根，付款时小红反而比小明少元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由．
21. 某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时千米的速度走平路，后又以每小时千米的速度上坡，共用了小时．原路返回时，以每小时千米的速度下坡，又以每小时千米的速度走平路，共用了小时．问平路和坡路的路程各多少千米？
22. 阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
    换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为运用以上知识解决下列问题：
    解方程组；
    关于，的二元一次方程组解为，则方程组的解为______．
23. 解方程由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与和的距离之和为的点对应的的值．在数轴上，和的距离为，满足方程的对应点在的右边或的左边，若对应点在的右边，由图可以看出；同理，若对应点在的左边，可得，故原方程的解是或．
    
    参考阅读材料，解答下列问题：

方程的解为______．
解不等式；
若对任意的都成立，求的取值范围．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：含有未知数，但不是等式，所以不是方程，故不符合题意；
B.不含有未知数，且不是等式，所以不是方程，故不符合题意；
C.不是等式，所以不是方程，故不符合题意；
D.符合方程的定义，故符合题意．
故选：．
根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程可得答案．
此题主要考查了方程的定义．方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点等式；含有未知数．
 

2.【答案】

【解析】解：方程两边都乘以，去分母得，．
故选：．
根据解一元一次方程的方法，方程两边都乘以分母的最小公倍数即可．
本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子如果是一个多项式作为一个整体加上括号．
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质：不等式的两边同时乘以 或除以 同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以 或除以 同一个负数，不等号的方向改变．将原不等式两边分别都减 、都除以 、都乘以 、都乘以 ，根据不等式的基本性质逐一判断即可得．

【解答】
解： 、将 两边都减 得： ，此选项错误；
B 、将 两边都除以 得： ，此选项正确；
C 、将 两边都乘以 得： ，此选项错误；
D 、将 两边都乘以 ，得： ，此选项错误；
故选： ．   

4.【答案】

【解析】解：符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，
属于二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，
符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，
属于分式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，
是二元一次方程的个数是个，
故选：．
根据二元一次方程的定义，依次分析各个方程，找出是二元一次方程的方程即可．
本题考查了二元一次方程的定义，正确掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】根据二元一次方程组的解法即可得到结论．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
解：用加减法解方程组，最简单的方法是，
故选：．
 

6.【答案】

【解析】解：
得到：  
由解得代入得，
，
故选：．
由消去，转化为二元方程组即可解决问题．
本题考查三元方程组，解题的关键是三元方程组转化为二元方程组，学会转化的数学思想，属于中考常考题型．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
设购买 型分类垃圾桶 个，则购买 型分类垃圾桶 个，根据总价 单价 数量，结合总费用不超过 元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围，再结合 ， 均为非负整数，即可得出 的可能值，进而可得出购买方案的数量．
【解答】
解：设购买 型分类垃圾桶 个，则购买 型分类垃圾桶 个，
依题意，得： ，
解得： ．
， 均为非负整数，
可以为 ， ， ，
共有 种购买方案．
故选 B ．   

8.【答案】

【解析】解：设原来的两位数为，根据题意得：
，
解得：，
因为可取到个数，所以这两位数共有个，它们分别，，，，，，，，，都是个位数字比十位数字大的两位数．
故选：．
先设原来的两位数为，根据交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数比原两位数大，列出方程，得出，因此可取到个数，并且这个数的特点都是个位数字比十位数字大的两位数．
此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程，再求解，弄清两位数的表示是：十位上的数个位上的数，注意不要漏数．
 

9.【答案】

【解析】解：方程组有正整数解，
两式相加有，因为，均为正整数，故的可能值为，这时，这与矛盾，舍去；
可能值还有或，这时或与无矛盾．
或．
故选A．
解题时先把两方程相加，去掉，然后根据方程组有正整数解确定正整数的值．
本题考查的是二元一次方程的解法．解题的关键是正确利用方程组有正整数解这一已知条件．
 

10.【答案】

【解析】解：由新定义得或，
解得或
故选：．
分和两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．
此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
则，
故答案为：．
先去分母，再移项、合并即可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

12.【答案】

【解析】解：把代入方程得，
解得：．
故答案为：．
把代入方程得到关于的方程，求得的值即可．
本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．
 

13.【答案】

【解析】解：把代入代数式得：
，
根据题意，整理得：
，
解得：，
把代入代数式得：
，
把代入代数式得：
，
故答案为：．
根据“当时，代数式的值是”，得到关于的一元一次方程，解之，即可得到的值，代入代数式，得到关于的代数式，把代入，计算求值即可．
本题考查了代数式求值，正确掌握代入法，解一元一次方程的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
联立不含 的方程组成方程组，求出方程组的解得到 与 的值，即可确定出 的值．
【解答】
解：联立得： ，
解得： ，
代入方程得： ，
解得： ，
故答案为：   

15.【答案】

【解析】解：根据题意得：；
故答案为：．
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺可知：绳子比木条长尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余尺可知：绳子对折后比木条短尺得：；组成方程组即可．
本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．
 

16.【答案】解：，
，
，
则；

，
，
，
，
．

【解析】首先去括号，然后移项、合并同类项，系数化成即可求解；
这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为，从而得到方程的解．
本题考查了一元一次方程的解法，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子如果是一个多项式作为一个整体加上括号．
 

17.【答案】解：，
把代入得，
解得，
把代入得，
所以方程组的解为；
，
得，
解得，
把代入得，
解得，
所以方程组的解为．

【解析】利用代入消元法解方程组；
利用加减消元法解方程组．
本题考查了解二元一次方程组：利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．
 

18.【答案】解：去分母得，
移项、合并得，
所以不等式的解集为，
在数轴上表示为：
 

【解析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解法的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为是解题的关键．去分母、移项、合并、即可得到不等式的解集为，然后在数轴上表示解集即可．
 

19.【答案】解：设旅行社为这个旅行团代购种门票张，种门票张，
依题意得：，
解得：．
答：旅行社为这个旅行团代购种门票张，种门票张．

【解析】设旅行社为这个旅行团代购种门票张，种门票张，利用总价单价数量，结合“旅行社购买，两种门票共张，总费用元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】解：；；  
有这种可能．
设小红购买跳绳根，则
，
解得．
故小红购买跳绳根．

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
根据总价 单价 数量，现价 原价 ，列式计算即可求解；
设小红购买跳绳 根，根据等量关系：小红比小明多买 跟，付款时小红反而比小明少 元；即可列出方程求解即可．
【解答】
解： 元 ，


元 ．
答：购买 根跳绳需 元，购买 根跳绳需 元．
故答案为 ； ；
见答案．   

21.【答案】解：设平路的路程为千米，坡路的路程为千米，根据题意可得：
，
解得：，
答：平路的路程为千米，坡路的路程为千米．

【解析】设平路的路程为千米，坡路的路程为千米，利用行走的速度结合所用时间分别得出等式求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确利用行走时间得出等式是解题关键．
 

22.【答案】

【解析】解：设，，原方程组可变为：
，
解得，，
即，
解得；
关于，的二元一次方程组解为，
，
解得，
故答案为：，
利用换元法，设，，原方程组可变为，解得，，即，进而得出；
根据方程组的对称性可得，进而得出，
本题考查二元一次方程组及其解法，理解“换元”的意义是解决问题的关键．
 

23.【答案】和

【解析】解：方程的解就是在数轴上到这一点，距离是个单位长度的点所表示的数，是和．
故解是和；

由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与和的距离之和为大于或等于的点对应的的值．
在数轴上，即可求得：或．

即表示的点到数轴上与和的距离之和，
当表示对应的点在数轴上与之间时，距离的和最小，是．
故．
根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；
不等式表示到与两点距离的和，大于或等于个单位长度的点所表示的数；
对任意的都成立，即求到与两点距离的和最小的数值．
正确理解题中叙述的题目的意义是解决本题的关键，本题主要考查了绝对值的意义，就是表示距离．