2021-2022学年河南省洛阳市洛龙区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省洛阳市洛龙区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在，，，，，，中，无理数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下列各式中，正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，下列条件中，不能判断直线的是

A.
B.
C.
D.
 

4. 某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是

A. 第一次左拐，第二次右拐
B. 第一次右拐，第二次左拐
C. 第一次右拐，第二次右拐
D. 第一次向左拐，第二次向左拐

5. 已知点在轴上，则点的坐标是

A.  B.  C.  D.

6. 若点在第四象限内，到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是直线上一点，，射线平分，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 下列命题中，是真命题是

A. 相等的两个角是对顶角
B. 两直线平行，同旁内角相等
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，则阴影部分的面积

A.  B.  C.  D.

10. 如图，长方形的各边分别平行于轴与轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以个单位长度秒的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位长度秒的速度匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果那么”的形式___________________________
12. 实数的平方根______．
13. 如果与互为相反数，那么______．
14. 点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得对应点，则的值为______．
15. 两个角的两边分别平行，若其中一个角比另一个角的倍少，则这两个角的度数分别为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算和解方程：
    ；
    ．
17. 按要求作图．不写作法，但要保留作图痕迹
    如图，已知点，分别在的边，上．
    作直线；
    过点作的垂线，垂足为点；
    过点作的平行线．
18. 如图，已知点在上，，，垂足分别为、，点、在上，交于点，，，则有下面是小颖同学的思考过程，请你在括号内填上依据．
    思考过程：
    因为，，垂足分别为、已知，
    所以，______
    所以等量代换．
    所以______同位角相等，两直线平行．
    所以______
    因为已知，
    所以______
    所以______内错角相等，两直线平行，
    因为______，
    所以______
    所以______
19. 如图，在平面直角坐标系中．
    写出各顶点的坐标；
    求出的面积；
    若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得，请画出，并写出，，的坐标．

20. 已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求的算术平方根．
21. 如图，已知，是直线上的一点，平分，射线，，
    求的度数；
    若，求证：．

22. 问题情境：
    在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小明在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为；
    【应用】：
    若点、，则轴，的长度为______．
    若点，且轴，且，则点的坐标为______．
    【拓展】：
    我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点，之间的折线距离为；例如：图中，点与点之间的折线距离为．
    解决下列问题：
    如图，已知，若，则______；
    如图，已知，，若，则______．
    如图，已知，点在轴上，且的面积为，则______．

23. 已知，平分．
    如图，当点，在上时，写出与的数量关系，并说明理由．
    如图，当点在，之间，且在连线右侧，点仍在上时，写出，，间的数量关系．不用说理
    如图，当点，都在下方，且在上时，探索，，间的数量关系，并说明理由．如有必要，可使用三角形内和等于

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：在，，，，，，中，无理数有，，，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个，等有这样规律的数．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故原式错误；
B、，故原式错误；
C、，故正确；
D、，故原式错误，
故选：．
利用算术平方根的定义分别计算后即可确定正确的选项．
本题考查了算术平方根的计算方法，属于基础题，比较简单．
 

3.【答案】

【解析】解：当时，；
当时，；
当时，．
故选：．
根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
 

4.【答案】

【解析】解：如图所示实线为行驶路线：

符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定．
故选：．
两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案．
本题考查平行线的判定，熟记定理是解决问题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：点在轴上，
，
解得：，
，
则点的坐标是：．
故选：．
直接利用关于轴上点的坐标特点得出的值，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确得出的值是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：点在第四象限，
其横、纵坐标分别为正数、负数，
又点到轴的距离为，到轴的距离为，
点的横坐标为，纵坐标为．
故点的坐标为．
故选：．
根据点在第四象限可知其横坐标为正，纵坐标为负即可确定点坐标．
本题考查了点的坐标，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一、二、三、四象限内各点的符号分别为、、、．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查垂直定义、角平分线的性质，关键在于角平分线所分的角相等且等于原角的一半，属于基础题．
根据已知求出 ，结合垂直和角平分线即可求解．

【解答】
解： ．
．
平分 ．
．
．
．
．
故选 B ．

8.【答案】

【解析】解：、相等的两个角不一定是对顶角，故原命题为假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题为假命题，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题为假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题，符合题意；
故选：．
根据对顶角的性质、平行线的判定及性质、平行公理、垂直公理等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质、平行线的判定及性质、平行公理、垂直公理等知识是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：两个三角形大小一样，
阴影部分面积等于梯形的面积，
由平移的性质得，，，
，，
，
阴影部分的面积，
故选：．
先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由已知，矩形周长为，
甲、乙速度分别为单位秒，单位秒，
则两个物体每次相遇时间间隔为秒，
则两个物体相遇点依次为、、，
，
第次两个物体相遇位置为，
故选：．
根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律．
本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两个物体相遇的位置的变化规律．
 

11.【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等

【解析】

【分析】
本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果 那么 ”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】
解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．
故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．   

12.【答案】

【解析】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
则．
故答案是：．
与互为相反数，即两个式子的和是，根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求式子计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

14.【答案】

【解析】解：点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得对应点，
，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出、的值，再相加计算即可得解．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

15.【答案】，

【解析】

【分析】
此题考查了平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，可设其中一个角为 ，由其中一个角比另一个角的 倍少 ，即可列方程，解方程即可求得这两个角的度数．

【解答】
解： 两个角的两边分别平行，
这两个角相等或互补，
设其中一个角为 ，
其中一个角比另一个角的 倍少 ，
这两个角互补，则 ，
解得： ，
这两个角的度数分别为 ， ；
综上，这两个角的度数分别为 ， ．
故答案为： ，

16.【答案】解：原式
；
，
，
，．

【解析】根据二次根式的性质，立方根的性质，绝对值的性质，合并同类二次根式的法则进行计算便可；
运用直接开平方法解方程便可．
本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程．关键是熟记二次根式的性质，立方根的性质，绝对值的性质，合并同类二次根式的法则，解一元二次方程的方法．
 

17.【答案】解：如图，直线即为所求；
如图，直线即为所求；
如图，直线即为所求．
 

【解析】根据要求一一画出图形即可．
本题考查作图复杂作图，平行线，垂线等知识，解题的关键是掌握基本概念，属于中考常考题型．
 

18.【答案】垂直的定义    两直线平行，同位角相等  等量代换    已知  同旁内角互补，两直线平行  平行于同一条直线的两条直线平行

【解析】解：因为，，垂足分别为、已知，
所以，垂直的定义，
所以等量代换，
所以同位角相等，两直线平行，
所以两直线平行，同位角相等，
因为已知，
所以等量代换，
所以内错角相等，两直线平行，
因为已知，
所以同旁内角互补，两直线平行，
所以平行于同一条直线的两条直线平行；
故答案为：垂直的定义；；两直线平行，同位角相等；等量代换；；已知；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
根据平行线的判定与性质进行解答即可．
本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，；

的面积为：；

如图所示：即为所求，，，．

【解析】直接利用已知平面直角坐标系得出各顶点坐标；
直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
直接利用平移的性质得出对应点坐标即可．
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
 

20.【答案】解：某正数的两个平方根分别是和，的立方根是，
，，
解得，，，
，
即的算术平方根是

【解析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得的值，根据的立方根是，可以求得的值，从而可以求得的算术平方根．
本题考查立方根、平方根、算术平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义．
 

21.【答案】解：，
，
平分，
；
，
，
，
，
，
．

【解析】根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；
根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】【应用】；或
【拓展】；或；或

【解析】解：【应用】：
的长度为．
故答案为：．
由轴，可设点的坐标为，
，
，解得：，
点的坐标为或．
故答案为：或．
【拓展】：
．
故答案为：．
，，，
，解得：．
故答案为：或．
由点在轴上，可设点的坐标为，
的面积为，
，解得：．
当点的坐标为时，；
当点的坐标为时，．
故答案为：或．
【应用】：根据若，则轴，且线段的长度为，代入数据即可得出结论；
由轴，可设点的坐标为，根据即可得出，解之即可得出结论；
【拓展】：根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论；
根据两点之间的折线距离公式结合，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
由点在轴上，可设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合的面积为即可求出的值，再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论．
本题考查了两点间的距离公式，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
证明：平分．
，
，
，
，
；
过点作，如图，

，
，
，
，
；
为外角，
，
，
，
，
平分．
，
是的外角，
，
，
．

【解析】利用两直线平行，内错角相等求解；
过点作，再利用两直线平行内错角相等进行求解；
利用三角形外角等于不相邻的两个内角之和进行求解．
本题主要考查平行线的性质，解题关键是借助三角形的外角等于不相邻的两个内角之和求解．