2021-2022学年甘肃省张掖市校际联考高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

2022年春学期高二年级期中考试

数学（文科）试卷

Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项符合要求．

1．设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是（    ）

A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i

2．曲线在点处的切线斜率是（    ）

A．9 B．6 C．－3 D．－1

3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数分别如下表：

哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

4．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以”，你认为这个推理（    ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的

5．已知的内角，，对边分别为，，，，，．则（    ）

A． B． C． D．

6．已知复数，i为虚数单位，则等于（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数有以下说法：

①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．

以上说法中正确的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

9．在△ABC中，B＝30°，，AC＝2，则△ABC的面积为（    ）

A． B． C．或 D．或

10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（    ）

A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

11．在△ABC中，，则△ABC为（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形

12．已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

Ⅱ卷

一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若复数为纯虚数，则实数的值为______．

14．函数，的单调递增区间为______．

15．函数，已知x＝－3是函数的一个极值点，则实数a＝______．

16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m．

二、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）求下列函数的导数．

（1）；（2）．

18．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，求△ABC的面积．

19．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．

附：

20．（12分）如图，甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若，且对任意恒成立，求k的最大值．

22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；

（2）求圆C截直线l所得的弦长．

2022年春学期高二文科数学答案

一、选择题

D A A A B   D B B D B   C D

1．【答案】D

【解析】由复数的几何意义，得＝(2,－3)，＝(－3,2)，

∴＝－＝(2,－3)－(－3,2)＝(5,－5)．

∴对应的复数是5－5i．

2．【答案】A

【解析】∵Δy＝(2＋Δx)3－3(2＋Δx)－23＋6＝9Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3，

∴＝9＋6Δx＋(Δx)2，

∴[9＋6Δx＋(Δx)2]＝9，由导数的几何意义可知，曲线y＝x3－3x在点(2,2)处的切线斜率是9．

3．【答案】A

【解析】相关指数R2越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好．

4．【答案】A

【解析】任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，

大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．

故选A．

5．【答案】B

6．【答案】D

【解析】因为z＝－＋i，

所以＋|z|＝－－i＋＝－i．

7．【答案】B

【解析】∵f(x)＝2x，

∴f′(x)＝2xln2．

8．【答案】B

【解析】可用反证法推出①②不正确，因此③正确

9．【答案】D

【解析】方法一如图，

AD＝ABsinB＝＜2，

故△ABC有两解，且BC＝2，BC′＝4，

S△ABC＝BC×AD＝，

S△ABC′＝BC′×AD＝2．

方法二如图，

设BC＝x，

由余弦定理可得22＝(2)2＋x2－2x×2×cos30°，

解得x＝2或x＝4，

故△ABC有两解，

S△ABC＝BC×AB×sinB

＝×2×2×sin30°＝，

或S△ABC＝BC×AB×sinB

＝×2×4×sin30°＝2．

10．【答案】B

【解析】＝＝3.5，＝＝42，

∴＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，

∴回归方程为＝9.4x＋9.1，

∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B．

11．【答案】C

【解析】由已知得cosB＋cosC＝，

由正弦、余弦定理得，

即a2(b＋c)－(b＋c)(b2－bc＋c2)＝bc(b＋c)，

即a2＝b2＋c2，

故△ABC是直角三角形．

12．【答案】D

【解析】∵f（x）是奇函数，

∴不等式xf′(x)＜f(－x)，等价于xf′(x)＜－f(x)，

即xf′(x)＋f(x)＜0，

∵F(x)＝xf(x)，

∴F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，

即当x∈(－∞,0]时，F′(x)＝xf′(x)＋f(x)＜0，

函数F(x)为减函数，

∵f(x)是奇函数，

∴F(x)＝xf(x)为偶数，且当x＞0为增函数．

即不等式F(3)＞F(2x－1)等价为F(3)＞F(|2x－1|)，

∴|2x－1|＜3，

∴－3＜2x－1＜3，

即－2＜2x＜4，

∴－1＜x＜2，

即实数x的取值范围是(－1,2)，

故选D．

13．【答案】1

14．【答案】

【解析】，令，即，解得．

故函数的单调递增区间为．

15．【答案】5

【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，

∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴f′(－3)＝0⇒a＝5，验证知，符合题意．

16．【答案】100

【解析】在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，

由正弦定理得，即，所以BC＝300．

在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan30°＝100．

17．【答案】（1）f′(x)＝

（2）∵y＝，

∴y′＝＝．

18．【答案】（1）由b2＋c2＝a2＋bc，得b2＋c2－a2＝bc，

故cosA＝，

又∵0＜A＜π，∴A＝．

（2）由＝2R，得a＝2sinA＝，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，

即()2＝b2＋c2－2bccos，

即3＝4－2bc×，∴bc＝1，

∴S△ABC＝bcsinA＝×1×sin．

19．【答案】（1）将2×2列联表中的数据代入计算公式，

得K2＝≈4.762．

由于4.462＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）从5名数学系学生中随机抽取3人的一切可能结果所组成的基本事件为下列10个：

(a1,a2,b1)，(a1,a2,b2)，(a1,a2,b3)，(a1,b1,b2)，(a1,b1,b3)，(a1,b2,b3)，(a2,b1,b2)，(a2,b1,b3)(a2,b2,b3)，(b1,b2,b3)，

其中ai(i＝1,2)表示喜欢甜品的学生，bj(j＝1,2,3)表示不喜欢甜品的学生，这10个基本事件的出现是等可能的．

抽取3人，至多有1人喜欢甜品的事件为以下7个：(a1,b1,b2)，(a1,b1,b3)，(a1,b2,b3)，(a2,b1,b2)，(a2,b1,b3)，(a2,b2,b3)，(b1,b2,b3)，从这5名学生中随机抽取3人，至多有1人喜欢甜品的概率为．

20．【答案】如图，设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C、D两点，

则AC＝8x，AD＝AB－BD＝20－10x．

∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos60°

＝(8x)2＋(20－10x)2－16x·(20－10x)·

＝244x2－560x＋400

＝244(x－)2＋．

∵当CD2取得最小值时，CD取得最小值．

∴当x＝时，CD取得最小值．

因此经过小时甲、乙两船相距最近．

21．【答案】解（1）因为函数f(x)＝x＋xlnx，所以f′(x)＝lnx＋2，所以f′(1)＝2，又f(1)＝1，

则函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．

（2）因为f(x)＝x＋xlnx，所以k(x－1)＜f(x)对任意的x＞1恒成立，即k(x－1)＜x＋xlnx，

因为x＞1，即k＜对任意x＞1恒成立．

令g(x)＝，则g′(x)＝，

令h(x)＝x－lnx－2(x>1)，则h′(x)＝1－＞0，

所以函数h(x)在(1,＋∞)上单调递增．

因为h(3)＝1－ln3＜0，h(4)＝2－2ln2＞0，

所以方程h(x)＝0在(1,＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3,4)．

当1＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0；当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，

所以函数g(x)＝在(1,x0)上单调递减，在(x0,＋∞)上单调递增．

所以g(x)min＝g(x0)＝＝x0∈(3,4)，所以k＜g(x)min＝x0．

因为x0∈(3,4)，故整数k的最大值是3．

22．【答案】（1）消去参数得圆C的普通方程为(x－)2＋(y－1)2＝9，

由ρcos＝0，得ρcosθ－ρsinθ＝0，

直线l的直角坐标方程x－y＝0．

（2）圆心(,1)到l的距离d＝＝1．

设圆心截直线l所得弦长为m，则＝2，∴m＝4．