2021-2022学年陕西省汉中市高二上学期期末校际联考数学（理）试题（解析版）

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2021-2022学年陕西省汉中市高二上学期期末校际联考数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，根据集合交集的概念及运算，可得.故选：C.2．命题“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案.【详解】命题“，”的否定是：对，.故选：B3．如果，且，那么下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质，结合特殊值，即可得出.【详解】对于A项，因为，所以，所以，故A项错误；对于B项，因为，所以，所以，故B项正确；对于C项，因为，若，则，故C项错误；对于D项，取，，则满足，但，故D项错误.故选：B.4．已知是双曲线右支上的一点，的左､右焦点分别为，且，的实轴长为，则（    ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根据双曲线的定义可求.【详解】因为在双曲线的右支上，所以又因为所以.故选：B.5．如图，在长方体中，设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量线性运算直接求解即可.【详解】.故选：D.6．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（    ）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合【答案】B【分析】利用数量积运算可证得法向量互相垂直，由此可得结论.【详解】将平面的法向量记为，平面的法向量记为，，，则.故选：B.7．设，则“”是“直线与平行”的（    ）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件【答案】C【分析】由直线与平行，可得且，解出即可判断出．【详解】解：直线与平行， 则且，解得，因此“”是“直线与”平行的充要条件.故选：C.8．下列函数中，最小值是2的是A． B．C． D．【答案】C【分析】结合基本不等式以及各个选项的定义域，即可求出的取值范围.【详解】解：A：当时，，最小值不是2，故A错误；B：当时，，则，当且仅当，即时等号成立，故当时，，B错误；C：，当且仅当，即时等号成立，C正确；D：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，由得，D错误.故选:C.【点睛】本题考查了基本不等式.在用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.9．已知命题：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断出p、q的真假，再分别判断四个选项的真假.【详解】因为“若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或”，所以p为假命题；对于等轴双曲线，，所以离心率为，所以q为真命题.所以为假命题，故A错误；为假命题，故B错误；为假命题，故C错误；为真命题，故D正确.故选：D10．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，拱桥内水面宽度是A．6米 B．6米 C．3米 D．3米【答案】A【分析】建立直角坐标系，求抛物线方程，再求结果.【详解】一抛物线顶点为坐标原点，平行水面的直线为x轴建立直角坐标系，如图，可设抛物线方程为，因为过点，所以，令，则，选A.【点睛】本题考查抛物线标准方程，考查基本分析判断能力，属基础题.11．函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】令，根据图象交点有两个即可求解参数．【详解】由得令，如图所示：当时，即，有两个根；当时，即，有两个根；所以或时，函数有两个不同的零点．故选：D12．将正方形沿对角线折成直二面角，得到如图所示的三棱锥，其中为的中点，则下列结论错误的是（    ）A．平面B．平面与平面所成角的余弦值为C．与所成的角为D．与所成的角为【答案】D【分析】根据题意，利用线面垂直的判定定理可以证明A正确；由于平面，可得C正确；建立空间直角坐标系，设出三棱锥的棱长，求出平面与平面的法向量，计算可得B正确；求出与的方向向量，通过其方向向量计算异面直线所成的角,得D错误.【详解】因为折叠前为正方形，由题意则折叠后有，，又平面，平面，，所以平面，故A正确；又平面，所以，与所成的角为，故C正确；因为二面角为直二面角，而平面，所以为二面角的平面角，即，如图所示，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，设平面的法向量为，则令，则可得，取平面的法向量为，平面与平面所成角的余弦值为，故B正确；设与所成的角为，则，又因为，所以，故D错误.故选：D.二、填空题13．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为_________.【答案】【分析】由，得出与平行，利用向量的共线关系求解即可【详解】由题意得，，所以与平行，则存在实数使得，即，可得，所以，，，答案为：【点睛】本题考查空间向量的共线问题，属于基础题14．若椭圆的离心率为，短半轴长为，则该椭圆的长半轴长为______．【答案】【分析】根据离心率、短半轴长和椭圆关系，可构造方程组求得的值.【详解】由题意知：，解得：，，即椭圆的长半轴长为.故答案为：.15．用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______.【答案】【分析】由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果.【详解】半圆的弧长为：    即圆锥的底面半径为：圆锥的高为：圆锥的体积为：本题正确结果：【点睛】本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.16．设双曲线的右焦点为，以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，且，则双曲线的离心率为__________．【答案】【分析】根据题意可得，再结合渐近线的斜率与离心率的关系列式求解即可.【详解】因为以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，故.又根据渐近线的斜率可得，故离心率.故答案为：三、解答题17．已知等比数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件求出即可；（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，有，解得故数列的通项公式为；（2），故数列的前项和18．的内角的对边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得，进而得到；（2）利用余弦定理可求得，代入三角形面积公式即可.【详解】（1）由正弦定理得：，即，，，，又，.（2）由余弦定理得：，解得：，，.19．面对当前严峻复杂的疫情防控形势，为更好教育引导群众理性对待疫情、科学防控疫情，陕西新华出版传媒集团迅速推出《版新型冠状病毒肺炎防护知识读本》、《新冠肺炎防控与心理干预问》种抗疫电子出版物．为了解某市市民对这两种抗疫电子出版物的理解情况，从该市岁岁的人群中随机抽取了人进行调查，并将这人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求图中的值；(2)将频率视为概率，现从该市年龄在，这两个年龄段的人群中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人参加座谈，求这人来自不同年龄段的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得结果；（2）根据分层抽样原则可知年龄在和两组中分别抽取的人数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知：，解得：．（2）∵，的频率之比为，∴应从年龄在中抽取人，记为，从年龄在中抽取人，记为，从人中随机抽取人，所有可能的情况有：，，，，，，，，，，共种；其中人在不同年龄段的情况有：，，，，，，共种；∴这人来自不同年龄段的概率．20．已知抛物线：.（1）若直线经过抛物线的焦点，求抛物线的准线方程；（2）若斜率为-1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，当时，求抛物线的方程.【答案】(1) .(2) .【分析】（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线与横轴的交点坐标就是抛物线的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；（2）写出斜率为-1经过抛物线的焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出，结合已知，求出的值，写出抛物线的方程.【详解】(1)∵直线经过抛物线的焦点，∴抛物线的焦点坐标为，∴抛物线的准线方程为.（2）设过抛物线的焦点且斜率为-1的直线方程为，且直线与交于，，由化简得，∴.∵，解得，∴抛物线的方程为.【点睛】本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.21．在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是的中点．请用空间向量知识解答下列问题：(1)求证：平面；(2)求直线与平面夹角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量坐标运算可得，知，根据线面平行的判定可得结论；（2）利用线面角的向量求法可直接求得结果.【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，又平面，平面，平面.（2）由（1）知：，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，，，即直线与平面夹角的正弦值为.22．已知分别是椭圆的左、右焦点，，点在椭圆上且满足．(1)求椭圆的方程；(2)斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据椭圆定义、焦点坐标和椭圆关系直接求解即可；（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，利用弦长公式可构造方程求得，进而得到直线方程.【详解】（1）由椭圆定义知：，解得：，又，即，，椭圆的方程为：.（2）设直线，，，由得：，，解得：；，，，解得：，直线的方程为：或.