2021-2022学年河南省开封市五县部分校高一下学期期中考试数学试卷含答案

2021-2022学年开封市五县高一下学期期中联考

数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他容案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．已知直线a，b，平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．，则          B．，则

C．，则    D．a与b互为异面直线，，则

3．已知，且与垂直，则（    ）

A．     B．     C．1     D．2

4．如果用半径为的半圆形铁皮卷成侧面积最大的圆锥，则这个圆锥的高是（    ）

A．3     B．     C．     D．6

5．已知i是虚数单位，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件     C．充分必要条件     D．既不充分也不必要条件

6．在正方体的所有面对角线中，所在直线与直线互为异面直线且所成角为的面对角线的条数为（    ）

A．2     B．4     C．6     D．8

7．如图，等边三角形的边长为4，D，E，F分别为和的中点，将、、分别沿、和折起，使A、B、C三点重合，则折叠后的四面体的体积为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为（    ）

A．     B．     C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．与向量共线的单位向量有（    ）

A．     B．     C．     D．

10．将长和宽分别为4和3的矩形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体的体积可能为（    ）

A．     B．     C．     D．

11．已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且则下列结论正确的是（    ）

A．                   B．z的虚部为

C．z的共轭复数为     D．

12．如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M、N分别为侧棱、的中点，O是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的有（    ）

A．平面     B．平面平面

C．     D．平面

三、填空题：本题有4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．已知，则________．

14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则角C等于__________．

15，如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则________．

16．正方形中，，P为中点，Q为中点，则_________；若M为上的动点，则的最大值为__________．（第1空2分，第2空3分）

四、解答题：本题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在条件①；②；③平面平面中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．

问题：如图，在直三棱柱中，，且________，求证：．

18．（12分）已知平面向量．

（1）若，求x的值；

（2）若，求与的夹角的余弦值．

19．（12分）已知：复数．

（1）求的值；

（2）求的值．

20．（12分）如图，一个圆锥的底面半径，高，在其内部有一个高为的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．

（1）求圆锥的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．

21．（12分）如图，正三棱柱中，，E、F分别为棱和的中点．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）在线段是否存在一点M，使得平面平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．

22．（12分）如图，直三棱柱中，，点B在以线段为直径的圆上运动（异于点A、C），M为矩形的中心．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱柱体积最大时，求异面直线与所成的角的大小．

2021-2022学年开封市五县高一下学期期中联考

数学参考答案

1-5 BDCAA  6-8 BCB  9.AD  10.CD  11.AB  12.ABC 

13．0 

14．

15． 

16．1；3

17．（情况一）补充条件①．

证明：在直棱柱中，平面，

因为平面，所以．

因为，所以平面．

因为平面，所以，

因为，所以四边形为菱形，所以．

因为，所以平面．

因为平面，所以．

（情况二）补充条件②．

证明：设，连接．

因为，M为的中点，所以．

因为，所以四边形为菱形，所以．

因为平面平面，

所以平面．

因为平面，所以，

（情况三）补充条件③平面平面．

证明：在棱柱中，

因为，所以四边形为菱形，所以．

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面．

因为平面，所以．

18．（1）平面向量，

若，则，

解得；

（2）若，则，

即，解得，

所以，

所以与的夹角的余弦值为，

19．（1）由，所以；

（2）由（1）得：，所以

．

20．（1）圆锥的母线长为，

所以圆锥的侧面积为．

（2）设圆柱的底面半径为r，

如图可得，即，

得．

所以圆柱的侧面积．

由于S是x的二次函数，所以当时，S取得最大值．

即当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为．

21．（1）取的中点D，连接．

在正三棱柱中，平面．

因为平面，所以，

因为平面平面，

所以平面，

所以就是直线与面所成的角．

因为，所以，

所以，

即直线与面所成角的正弦值为．

（2）当M为的中点时，平面平面．

证明：连接．

因为E，F分别是和的中点，所以．

因为平面平面，

所以平面．

因为，所以四边形是平行四边形，

所以，所以．因为平面平面，

所以平面．

又因为平面平面，

所以平面平面．

22．（1）证明：在直三棱柱中，平面，

因为平面，所以．

又是圆O的直径，所以．

因为平面平面，

所以平面．

又平面，所以平面平面．

（2）连接，则M为的中点．连接．

因为O是的中点，所以．

所以或其补角就是异面直线与所成的角．

因为直三棱柱的体积，

所以当V最大时，最大，此时B在弧的中点．

因为，所以，

所以，所以．

由已知平面平面，所以．

因为，所以平面．

因为，所以平面．

因为平面，所以，所以．

因为，所以．

又因为，所以，

所以，即异面直线与的所成的角为．