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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学设计及反思
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学设计及反思，共5页。
教学基本信息
课题
平面向量的减法运算
学科
数学
学段： 高一
年级
高一
教材
书名：人教A版数学必修第二册 出版社： 人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
本节课类比数的减法运算定义平面向量的减法运算；能借助图形画出一个向量的相反向量；借助实例和平面向量的几何表示掌握平面向量减法运算，理解平面向量减法运算的几何意义.感受数形结合、类比、转化等数学思想.在教学过程中设计了三道例题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
我们知道，在数的运算中，学完加法后，会接着学习减法.同样，在向量的运算中，上节课学习了平面向量的加法运算，本节课我们就来学习《平面向量的减法运算》.我们先回顾一下上节课所学的加法运算的内容.
1.平面向量加法的运算法则.
2.之间的关系.
上节课所学的向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则及之间的关系.与本节课减法的学习都息息相关.回顾旧知，为学习新知作铺垫.
新课
二、探究新知
（一）定义向量的减法
类比实数x的相反数是-x，定义向量a的相反向量-a，并说明相反向量的性质.
给出向量减法的定义是减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
（二）动手实践，理解向量减法的几何意义
问题1：已知向量a和b，如何作a- b的图？追问向量的加法的两个法则都是有几何意义的，那么向量减法的几何意义是什么呢？
探究：向量减法的几何意义.
讲解探究的过程，第一种探究方法:
选择向量b的相反向量，使得-b与向量a能够共起点.设，，，连接，由向量减法的定义，知
．
在四边形中，，所以是平行四边形，所以．
最后概括出向量减法的作图步骤：
已知向量a，，在平面内任取一点，作，，则就是.强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义.
第二种探究方法：选择选择向量b的相反向量，使得-b与向量a能够首尾相接，选择-b 的终点与向量a的起点相接.探究出向量减法的几何意义.
第三种探究方法：选择选择向量b的相反向量，选择-b 的起点与向量a的终点首尾相接.探究出向量减法的几何意义.
思考：（1）如果从a的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？
（2）如果改变向量的方向，使，怎样作呢？
例题：如图，已知向量，求作向量，.
作法：如图上图（2）在平面内任取一点，作，，，.则，.
（三）之间的关系
问题2：之间有什么关系？
由上节课我们学习的向量的加法我们得到了之间的关系，那么作两向量的差的图时也形成了三角形，那么之间一定也有关系.一起探究的关系.
通过把减法运算转化成加法运算，再利用整体代换的数学思想把不等式中的向量b用-b替换，就得到了.
再从三角形三边关系出发，从形上验证刚才的代数求解的正确性。同时得到向量a, b共线时，差向量的模与两向量模的关系.
例题：已知，.求的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
三、向量加、减法在几何中的应用
例 如图在中，，，你能用，表示向量，吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道
.
同样，由向量的减法，知.
追问1：一定成立吗？
通过举反例，判断提问中的不等式不成立.
第一个反例是矩形，矩形时，
第二个反例是通过画图，变成钝角时，，让学生通过图形感受即可，不用跟学生说明角的大小的变化.
追问2：若平行四边形满足，能得到更特殊的平行四边形吗？
类比实数x的相反数是-x，定义相反向量，为帮助学生探讨向量的减法法则进行准备。引导学生类比数的减法定义向量的减法．
向量加法的两个法则是通过图形给出的，在此基础上思考如何作向量减法的图形.
让学生明确向量减法的几何意义.
分享多种探究向量减法几何意义的作图法，加深遇到减法时把它转化成加法的数学思想.
通过思考（1）加深对向量减法法则的理解同时通过图形明确向量减法是加法的逆运算.
通过思考（2）掌握共线向量求作两向量的差的方法并比较和数的减法的区别与联系.
通过例题加深对向量减法几何意义的理解。掌握作两个系列的差的基本方法.
把减法转发化成加法来思考，再利用
这个不等式的结论和整体代换的方法得到
.
从形的角度验证数的求解的正确性.
通过例题加深对之间的关系的理解.
平行四边形对角线可以用两个向量的和与两个向量的差来表示.
这就体现了向量既是代数的研究对象也是几何的研究对象.
向量集数与形于一身，用向量表示几何元素是用向量解决几何问题的基础.
让学生感受从数的角度出发，向量的模的关系可以刻画几何图形及其性质.
总结
四、课堂回顾
回顾本节课所学内容
1. 向量减法的几何意义是什么？
2. 之间有什么关系？
3. 如何研究向量的减法运算？
回顾本节课的知识、方法与思想.
作业
五、课后作业
1. 如图，已知向量a，b，求作向量a - b.
a
b
2.（1）；（2）.
3.（1）已知向量a，，求作向量c，使.
（2）（1）中表示量a，b，c的有向线段能构成三角形吗？
课后作业，加深对知识的理解和掌握.
教学基本信息
课题
平面向量的减法运算
学科
数学
学段： 高一
年级
高一
教材
书名：人教A版数学必修第二册 出版社： 人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
本节课类比数的减法运算定义平面向量的减法运算；能借助图形画出一个向量的相反向量；借助实例和平面向量的几何表示掌握平面向量减法运算，理解平面向量减法运算的几何意义.感受数形结合、类比、转化等数学思想.在教学过程中设计了三道例题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
我们知道，在数的运算中，学完加法后，会接着学习减法.同样，在向量的运算中，上节课学习了平面向量的加法运算，本节课我们就来学习《平面向量的减法运算》.我们先回顾一下上节课所学的加法运算的内容.
1.平面向量加法的运算法则.
2.之间的关系.
上节课所学的向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则及之间的关系.与本节课减法的学习都息息相关.回顾旧知，为学习新知作铺垫.
新课
二、探究新知
（一）定义向量的减法
类比实数x的相反数是-x，定义向量a的相反向量-a，并说明相反向量的性质.
给出向量减法的定义是减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
（二）动手实践，理解向量减法的几何意义
问题1：已知向量a和b，如何作a- b的图？追问向量的加法的两个法则都是有几何意义的，那么向量减法的几何意义是什么呢？
探究：向量减法的几何意义.
讲解探究的过程，第一种探究方法:
选择向量b的相反向量，使得-b与向量a能够共起点.设，，，连接，由向量减法的定义，知
．
在四边形中，，所以是平行四边形，所以．
最后概括出向量减法的作图步骤：
已知向量a，，在平面内任取一点，作，，则就是.强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义.
第二种探究方法：选择选择向量b的相反向量，使得-b与向量a能够首尾相接，选择-b 的终点与向量a的起点相接.探究出向量减法的几何意义.
第三种探究方法：选择选择向量b的相反向量，选择-b 的起点与向量a的终点首尾相接.探究出向量减法的几何意义.
思考：（1）如果从a的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？
（2）如果改变向量的方向，使，怎样作呢？
例题：如图，已知向量，求作向量，.
作法：如图上图（2）在平面内任取一点，作，，，.则，.
（三）之间的关系
问题2：之间有什么关系？
由上节课我们学习的向量的加法我们得到了之间的关系，那么作两向量的差的图时也形成了三角形，那么之间一定也有关系.一起探究的关系.
通过把减法运算转化成加法运算，再利用整体代换的数学思想把不等式中的向量b用-b替换，就得到了.
再从三角形三边关系出发，从形上验证刚才的代数求解的正确性。同时得到向量a, b共线时，差向量的模与两向量模的关系.
例题：已知，.求的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
三、向量加、减法在几何中的应用
例 如图在中，，，你能用，表示向量，吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道
.
同样，由向量的减法，知.
追问1：一定成立吗？
通过举反例，判断提问中的不等式不成立.
第一个反例是矩形，矩形时，
第二个反例是通过画图，变成钝角时，，让学生通过图形感受即可，不用跟学生说明角的大小的变化.
追问2：若平行四边形满足，能得到更特殊的平行四边形吗？
类比实数x的相反数是-x，定义相反向量，为帮助学生探讨向量的减法法则进行准备。引导学生类比数的减法定义向量的减法．
向量加法的两个法则是通过图形给出的，在此基础上思考如何作向量减法的图形.
让学生明确向量减法的几何意义.
分享多种探究向量减法几何意义的作图法，加深遇到减法时把它转化成加法的数学思想.
通过思考（1）加深对向量减法法则的理解同时通过图形明确向量减法是加法的逆运算.
通过思考（2）掌握共线向量求作两向量的差的方法并比较和数的减法的区别与联系.
通过例题加深对向量减法几何意义的理解。掌握作两个系列的差的基本方法.
把减法转发化成加法来思考，再利用
这个不等式的结论和整体代换的方法得到
.
从形的角度验证数的求解的正确性.
通过例题加深对之间的关系的理解.
平行四边形对角线可以用两个向量的和与两个向量的差来表示.
这就体现了向量既是代数的研究对象也是几何的研究对象.
向量集数与形于一身，用向量表示几何元素是用向量解决几何问题的基础.
让学生感受从数的角度出发，向量的模的关系可以刻画几何图形及其性质.
总结
四、课堂回顾
回顾本节课所学内容
1. 向量减法的几何意义是什么？
2. 之间有什么关系？
3. 如何研究向量的减法运算？
回顾本节课的知识、方法与思想.
作业
五、课后作业
1. 如图，已知向量a，b，求作向量a - b.
a
b
2.（1）；（2）.
3.（1）已知向量a，，求作向量c，使.
（2）（1）中表示量a，b，c的有向线段能构成三角形吗？
课后作业，加深对知识的理解和掌握.
