初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试授课ppt课件

专题06   二次函数中相似三角形存在性（1）——直角三角形

【专题导入】

1. 如图，在平面直角坐标系中，点A（-4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB=5．过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC与△BOD相似？

【解析】∵点A（-4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB=5，
∴点B（1，2）.

过点B作BD⊥CO，则点D（1，0），
∴OD=1，BD=2，
∵AC⊥x轴，点A（-4，2），
∴AC=2，CO=4，
∴＝＝，且∠ACO=∠ODB=90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴当点D为（1，0）时，△AOC与△BOD相似；
∵△ACO∽△ODB，
∴∠AOC=∠OBD，∠CAO=∠BOD，
∵∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴AO⊥BO，
∵AC=2，CO=4，
∴AO===2，
∵OD=1，BD=2，
∴OB===，
过点B作BD'⊥OB，交x轴于D'，
∵∠ACO=∠OBD'，∠BOD=∠CAO，
∴△ACO∽△OBD'，
∴＝，
∴OD'==5.
∴D'（5，0）
综上所述：当点D为（1，0）或（5，0）时，△AOC与△BOD相似

【方法技巧】两个三角形相似，最容易得出的特征是“角”的相等.对于是否存在一个三角形与另外一个直角三角形相似，最直观的做法就是“做垂线”.

示例：已知∠B=∠E，∠C=90°，动点F在直线EG上运动，要找出D,E,F三点为顶点的三角形与△ABC相似，

①过点D作DF′⊥EG，与EG交于点F′，F′即为所求；

②过点D作DF″⊥ED，与EG交于点F″，F″即为所求.

【例1】如图，抛物线y=-x2-2x+3与坐标轴交点分别为A,B,C.点D（0,1）.连接CD，若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标.

【解析】可得A（1，0），B（0，3），C（-3，0），

抛物线对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），
∵△COD为直角三角形，
∴当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，
若∠FEC=90°，则PE⊥CE.
∵对称轴与x轴垂直，
∴此时抛物线的顶点即为满足条件的P点，此时P点坐标为（-1，4）；
若∠EFC=90°，则PE⊥CD，
如图，过P作PG⊥x轴于点G，

则∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，
∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，
∴△PGE∽△COD，
∴=，
∵E（-1，0），G（t，0），且P点横坐标为t，
∴GE=-1-t，PG=-t2-2t+3，
∴=，解得t=-2或t=3，
∵P点在第二象限，
∴t＜0，即t=-2，
此时P点坐标为（-2，3），
综上可知满足条件的P点坐标为（-1，4）或（-2，3）.

同步练习1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x-2与x轴、y轴分别交于点A和点B，抛物线y=x2-5x-2经过点B，且与直线l的另一个交点为C（6，4）.在y轴上是否存在点M，使△BMC与△BAO相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
 

【解析】存在，理由：
由点A、B的坐标知，△ABO为等腰直角三角形，

当△BMC与△BAO相似时，则△BMC为等腰直角三角形，
①当∠BM′C为直角时，
则点M′的纵坐标与点C的纵坐标相同，故点M′（0，4）；
②当∠BCM为直角时，
则点M′是BM的中点，故点M（0，10）；
故点M的坐标为（0，4）或（0，10）．

【专题过关】

1.如图，抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3，点D为抛物线的顶点.在坐标轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）．
又∵C（0，3），B（3，0），
∴CD＝，BC＝3，DB＝2．
∴CD2+CB2=BD2，
∴∠DCB=90°．
如图所示：连接AC．

①∵A（-1，0），C（0，3），
∴OA=1，CO=3．
∴＝＝，
又∵∠AOC=∠DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
②过点C作CQ′⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ′，
∴△ACQ′∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ′∽△DCB．
∴＝，即=，
解得：AQ′=10．
∴Q′（9，0）．
③过点A作AQ⊥AC，交y轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CA⊥AQ，
∴△QAC∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△QAC∽△DCB．
∴＝，即=，
解得：QC＝.

∴Q(0，−)，
综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（9，0）或(0，−)时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似．

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x-5（a＜0）与x轴交于E，F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】存在，
理由如下：当a=-5时，y=x2-4x-5=（x-2）2-9，此时M（2，-9），
令y=0，即（x-2）2-9=0，解得x1=-1，x2=5，
∴点F（-1，0）E（5，0），
∴EN=FN=3   MN=9，
设点Q（m，m2-4m-5），则G（m，0），
∴EG=|m-5|QG=|m2-4m-5|，
又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE=∠QGE=90°，
如图所示，需分两种情况进行讨论：

i）当＝==3时，即||=3，

即|m-1|=3，
当m=2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，
当m=-4时，此时Q坐标为点Q1（-4，27）；
ii）当===时，即||=，
即|m-1|=.

解得m=−或m=− .
当m=−时，Q坐标为点Q2（−，−），
当m=−，Q坐标为点Q3（−，），
综上所述，点Q的坐标为（-4，27）或（−，−）或（−，）．
 

3. 如图，抛物线M：y=-x2-3x+4与x轴的交点分别为A、B，与y轴交点为C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）将抛物线M向右平移m（m＞）个单位得到抛物线M'，设抛物线M'的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为E，要使△ODE与△OAC相似，求m的值．

【解析】（1）∵y=-x2-3x+4与x轴的交点分别为A、B，
∴0=-x2-3x+4，
∴x1=-4，x2=1，
∴点A（1，0），点B（-4，0），
∵y=-x2-3x+4与y轴交点为C，
∴点C（0，4）；
（2）∵y=-x2-3x+4=-（x+）2+，
∴顶点坐标为（-，），
∵将抛物线M向右平移m（m＞）个单位得到抛物线M'，
∴点D（-+m，），
∴OE=-+m，DE=，
∵点A（1，0），点C（0，4），
∴OA=1，OC=4，
∵△ODE与△OAC相似，∠AOC=∠DEO=90°，
∴＝或＝，
∴=或=，
∴m=或．

4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c的对称轴是直线x=与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）针对于y=-x+2，令x=0，则y=2，
∴C（0，2），
令y=0，则0=-x+2，
∴x=4，
∴B（4，0），
∵点C在抛物线y=-x2+bx+c上，
∴c=2，
∴抛物线的解析式为y=-x2+bx+2，
∵点B（4，0）在抛物线上，
∴-8+4b+2=0，
∴b=，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.

（2）由（1）知，

令y=0，则0=-x2+x+2，
∴x=4或x=-1，
∴A（-1，0），
∵B（4，0），C（0，2），
∴BC2=20，AC2=5，AB2=25，
∴CB2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵NH⊥x轴，
∴∠BHN=90°=∠ACB，
设N（n，-n2+n+2），
∴HN=|-n2+n+2|，BH=|n-4|，
∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，
∴①△BHN∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴n=-5或n=3或n=4（舍），
∴N（-5，-18）或（3，2），
②△BHN∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴n=0或n=4（舍）或n=-2，
∴N（0，2）或（-2，-3），
即满足条件的点N的坐标为（-5，-18）或（-2，-3）或（0，2）或（3，2）．

【专题提高】

5.如图，抛物线y=-x2+x+2与x交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，连接BC，在线段BC上有一动点P，过P作y轴的平行线l1，交抛物线于点N，交x轴于点M，若以C、P、N为顶点的三角形与△BPM相似时，求P点的横坐标.

【解析】∵以C、P、N为顶点的三角形与△BPM相似，∠BPM=∠CPN，
∴∠CNP=∠PMB=90°或∠NCP=∠PMB=90°，
若∠CNP=∠PMB=90°，
∴CN∥BM，
∴点N的纵坐标与点C的纵坐标相同，
∴点N的纵坐标为2，
∴2=-x2+x+2，
∴x1=0（舍去），x2=，
∴点N的横坐标为.
若∠NCP=∠PMB=90°，
∵点B（3，0），点C（0，2），
∴直线BC解析式为：y=-x+2，
设点M（c，0），
则点N（c，-c2+c+2），点P（c，-c+2），
∴NP2=（-c2+c+2+c-2）2=（-c2+4c）2，NC2=c2+（-c2+c）2，CP2=c2+（-c+2-2）2=c2，
∵NP2=NC2+CP2，
∴（-c2+4c）2=c2+（-c2+c）2+c2，
∴c1=0（舍去），c2=.

∴点N的横坐标为，
综上所述：点N的横坐标为或.

6.已知二次函数y=mx2+2mx-3m（a≠0，m＞0）的图象与x轴的交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．如图，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．

【解析】∵y=mx2+2mx-3m=m（x+1）2-4m，
∴顶点D坐标为（-1，-4m）.

令y=0，可得x1=-3，x2=1.

即A（-3,0），B（1,0）.
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA-OE=2，
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF-OC=4m-3m=m，

由勾股定理得：
AC2=OC2+OA2=9m2+9，
CD2=CF2+DF2=m2+1，
AD2=DE2+AE2=16m2+4，
∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，
∴△ACD必为直角三角形，
i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，
即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，
整理得：m2=-，
∴此种情形不存在；
ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，
即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，
整理得：m2=，
∵m＞0，
∴m=，
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=；
△BOC的三边长为：OB=1，OC=，BC=，
两个三角形对应边不成比例，不可能相似，
∴此种情形不存在；
iii）若点C为直角顶点，则AC2+CD2=AD2，
即：（9m2+9）+（m2+1）=16m2+4，
整理得：m2=1，
∵m＞0，
∴m=1，
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=3.
△BOC的三边长为：OB=1，OC=3，BC=，
∵＝＝=，
∴满足两个三角形相似的条件，
∴m=1．
综上所述，当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．