2022年北京市朝阳区中考一模数学试题（附答案）

 中考一模数学试题

一、单选题

1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱

2．2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报告．报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就.2021年国内生产总值达114万亿元，增长．将1140000用科学记数法表示应为（　　）

A． B． C． D．

3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的大小为（　　）

A． B． C． D．

5．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）

A． B．

C． D．

6．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　）  

A． B． C． D．

7．下图是国家统计局公布的2021年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为，方差分别为，则（　　）

A． B．

C． D．

8．点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（　　）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．存在，使得

二、填空题

9．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　     　.

10．分解因式　        　．

11．写出一个比4大且比5小的无理数　                　．

12．如图，是的弦，是的切线，若，则　     　．

13．如图，在中，，点D在上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是　                                                              　（写出一个即可）．

14．如图，2022年北京冬奥会上，一些可看作正六边形的“小雪花”对称地排列在主火炬周围，中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬，在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，此外还有几个“小雪花”上面只有中国结图案，这些只有中国结图案的“小雪花”共有　     　个．

15．若关于x的一元二次方程有一个根是，则　     　．

16．尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表：

从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序　           　（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．

三、解答题

17．计算：．

18．解不等式组：

19．已知，求代数式的值．

20．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．

21．中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．

由记载可得作法如下：

①作，在上取一点N，以点N为圆心，为半径作，两圆相交于A，B两点，连接；

②以点B为圆心，为半径作，与相交于点C，与相交于点D；

③连接，，，．

，都是圆内接正三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明，

证明：连接，，，．

∵，

∴为①        ．

∴．

同理可得，．

∴．

∴（②       ）（填推理的依据）．

∵，

∴是等边三角形．

同理可得，是等边三角形．

22．如图，在矩形中，，相交于点O，，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求四边形的面积．

23．如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：平分；

（2）若，，求的长．

24．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．

请解决以下问题：

（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；

（3）求h关于d的函数表达式；

（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．

25．某校初三年级有两个校区，其中甲校区有200名学生，乙校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．甲校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）；

b．甲校区成绩在这一组的是：

74       74       75       77       77       77       77       78       79       79

c．甲、乙两校区成绩的平均数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m的值；

（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，并说明理由；

（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为　     　（直接写出结果）．

26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．

（1）若，求的值；

（2）若，求值的取值范围．

27．在中，D是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点E．

（1）如图，若，

①依题意补全图形；

②用等式表示线段之间的数量关系，并证明；

（2）若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）．

28．在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．

（1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；

（2）点M的坐标为，

①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；

②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】D

7．【答案】A

8．【答案】C

9．【答案】x≠1

10．【答案】

11．【答案】 (答案不唯一)

12．【答案】60

13．【答案】∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）

14．【答案】5

15．【答案】-1

16．【答案】EBDC或ECDB

17．【答案】解：原式=

=

=-1．

18．【答案】解：

解①得

解②得

所以，不等式组的解集为．

19．【答案】解：

=

=

=

=

∵

∴原式=0

即代数式的值为0．

20．【答案】（1）证明：，

∵，

∴该方程总有两个实数根．

（2）解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1，

则，

由①得，

代入②可得：，

解之得，，

又因为该方程的两个实数根都是整数，

所以．

21．【答案】（1）解：根据作步骤，画图如下：

（2）证明：如图，连接，，，．

∵，

∴为等边三角形．

∴．

同理可得，．

∴．

∴（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．

∵，

∴是等边三角形．

同理可得，是等边三角形．

22．【答案】（1）证明：，

四边形AEBO是平行四边形

又四边形ABCD是矩形

，，

四边形AEBO是菱形

（2）解：如图：连接EO，交AB于点F

四边形ABCD是矩形

，，

又

是等边三角形，

四边形AEBO是菱形

，

四边形的面积为：

23．【答案】（1）证明：如图1，连接OC，

∵CD为切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，即平分；

（2）解：如图2，连接BC，

∵为的直径，

∴，

∵，

∴，即，

解得，

∵，

∴，

∴．

24．【答案】（1）解：如图所示

（2）解：水柱最高点距离湖面的高度为4米；

（3）解：由题意，得

设顶点式为h=a(d-1)2+4，

又图象过点（3，0），

∴a(3-1)2+4=0，

解得a=-1，

∴函数解析式h=-(d-1)2+4=-d2+2d+3；

（4）解：设水枪高度向上调整m米时，游船恰好能从喷泉拱门下穿过，

则平移后的解析式为h1=-d2+2d+3+m，

当横坐标为1+2=3时，纵坐标的值大于等于1+1=2，

∴-32+6+3+m≥2，

解得m≥2，

∴水枪高度至少向上调整2米，

∴水枪高度调节到5米以上.

25．【答案】（1）解：甲校区成绩的中位数．

（2）解：乙校区赋予等级A的学生更多，理由如下：

甲校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，之间有7人，之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A的学生有8人；

乙校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A的学生至少有10人；

所以乙校区赋予等级A的学生更多．

（3）78

26．【答案】（1）解：将和分别代入解析式，

得，

，

，

，

解得，

把点带入中，

得，

解得，

函数解析式为

当，

；

（2）解：，中，a=1＞0

函数图像开口向上，

又

，，

，

解得，

把点带入中，

得，

，

将代入解析式，

得，

，

，

，

，

即．

27．【答案】（1）解：①补全图形如图所示：

② ，理由如下：

如图，连接 ，

将线段沿所在直线翻折，得到线段，

，

又 ，

，

，

，

，

，

D是的中点，

，

，

，

即，

，

，

，

；

（2）解：不成立，

28．【答案】（1）解：

（2）解：①如图2，设直线与y轴正半轴交点为A，且A(0，1)

∵点M的坐标为，的半径为1，

∴圆与x轴正半轴交点为B(2，0)，

当时，直线的解析式为y=kx+1，

当直线经过点B时，2k+1=0，

解得k=；

过点M作MF⊥AB，垂足为F，

∵OA=1，OB=2，

∴AB=，

∴sin∠ABO=，

∵MB=1，sin∠ABO=，

∴，，

设直线AB与圆M的另一个交点为C，

则BC=2BF=，

∵关于的“圆截距”小于，

∴k的取值范围是；

设直线AM与圆的一个交点为N，

∵点A(0，1)，点M的坐标为，

∴OA=OM，

∴∠AMO=45°，

∴∠BMN=45°，

根据圆的对称性，直线AB和直线AD关于直线AN对称，此时ED=CB，

∴∠DMN=45°，

∴∠DMB=90°，

∴D的坐标为(1，-1)，

∴k+1=-1，

解得k=-2，

直线AD的解析式为y=-2x+1，

∵关于的“圆截距”小于，

∴k的取值范围是；

综上所述，k的取值范围是或．

②b的取值范围-≤b≤．