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2019年北京市朝阳区中考数学一模试卷
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这是一份2019年北京市朝阳区中考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下面是一些北京著名建筑物的简笔画，其中不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 实数 m，n 在数轴上对应的点的位置如图所示，若 mn<0，且 mA. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D
3. 下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是
A. B.
C. D.
4. 电影《流浪地球》中，人类计划带着地球一起逃到距地球 4 光年的半人马星座比邻星．已知光年是天文学中的距离单位，1 光年大约是 95000 亿千米，则 4 光年约为
A. 9.5×104 亿千米B. 95×104 亿千米
C. 3.8×105 亿千米D. 3.8×104 亿千米
5. 把不等式组 1−x≤4,x+12<1 中两个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是
A. B.
C. D.
6. 如果 a−b=3，那么代数式 b2a−a⋅aa+b 的值为
A. −3B. 3C. 3D. 23
7. 今年是我国建国 70 周年，回顾过去展望未来，创新是引领发展的第一动力．北京科技创新能力不断增强，下面的统计图反映了 2010∼2018 年北京市每万人发明专利申请数与授权数的情况．根据统计图提供的信息，下列推断合理的是
A. 2010∼2018 年，北京市每万人发明专利授权数逐年增长
B. 2010∼2018 年，北京市每万人发明专利授权数的平均数超过 10 件
C. 2010 年申请后得到授权的比例最低
D. 2018 年申请后得到授权的比例最高
8. 如表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．
抛掷次数n50100150200250300350400450500"正面向上"次数22527195116138160187214238m"正面向上"频率
下面有三个推断：
① 表中没有出现“正面向上”的频率是 0.5 的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是 0.5；
② 这些次试验投掷次数的最大值是 500，此时“正面向上”的频率是 0.48，所以“正面向上”的概率是 0.48；
③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生；
其中合理的是
A. ①②B. ①③C. ③D. ②③
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 x−1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
10. 用一组 a，b，c 的值说明命题“若 ac=bc，则 a=b”是错误的，这组值可以是 a= ，b= ，c= ．
11. 如图，某人从点 A 出发，前进 5 m 后向右转 60∘，再前进 5 m 后又向右转 60∘，这样一直走下去，当他第一次回到出发点 A 时，共走了 m．
12. 如图所示的网格是正方形网格，△ABC 是 三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）．
13. 如图，过 ⊙O 外一点 P 作 ⊙O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，作直径 BC，连接 AB，AC，若 ∠P=80∘，则 ∠C= ∘．
14. 如图，在矩形 ABCD 中，过点 B 作对角线 AC 的垂线，交 AD 于点 E，若 AB=2，BC=4，则 AE= ．
15. 某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如表：
科目思想品德历史地理选考人数人191318
其中思想品德、历史两门课程都选了的有 3 人，历史、地理两门课程都选了的有 4 人，则该班选了思想品德而没有选历史的有 人；该班至少有学生 人．
16. 某实验室对 150 款不同型号的保温杯进行质量检测，其中一个品牌的 30 款保温杯的保温性、便携性与综合质量在此次检测中的排名情况如图所示，可以看出其中A型保温杯的优势是 ．
三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2sin45∘+−2−π−20190−18．
18. 解分式方程：3x−2−x2x−4=12．
19. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线 l 及直线 l 外一点 P．
求作：直线 PQ，使得 PQ∥l．
作法：如图，
①在直线 l 上取两点 A，B；
②以点 P 为圆心，AB 为半径画弧，以点 B 为圆心，AP 为半径画弧，两弧在直线 l 上方相交于点 Q；
③作直线 PQ．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵PA= ，AB= ，
∴ 四边形 PABQ 是平行四边形．
∴PQ∥l（ ）．（填写推理的依据）
20. 已知关于 x 的方程 mx2+2m−1x+m−1=0m≠0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数 m 的值．
21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，D，E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 ED 并延长到点 F，使 DF=ED，连接 BE，BF，CF，AD．
（1）求证：四边形 BFCE 是菱形；
（2）若 BC=4，EF=2，求 AD 的长．
22. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，点 O 在 AB 上，BC=CD，过点 C 作 ⊙O 的切线，分别交 AB，AD 的延长线于点 E，F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若 csA=45，BE=1，求 AD 的长．
23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴上，点 B 在第一象限内，∠OAB=90∘，OA=AB，△OAB 的面积为 2，反比例函数 y=kx 的图象经过点 B．
（1）求 k 的值；
（2）已知点 P 坐标为 a,0，过点 P 作直线 OB 的垂线 l，点 O，A 关于直线 l 的对称点分别为 OʹAʹ，若线段 OʹAʹ 与反比例函数 y=kx 的图象有公共点，直接写出 a 的取值范围．
24. 小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度，直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢?
小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6 cm，BC=8 cm，点 D 以 1 cm/s 的速度从点 C 向点 B 运动，点 E 以 2 cm/s 的速度从点 A 向点 B 运动，当点 E 到达点 B 时，两点同时停止运动，若点 D，E 同时出发，多长时间后 DE 取得最小值?
小超猜想当 DE⊥AB 时，DE 最小．探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设 C，D 两点间的距离为 x cm，D，E 两点间的距离为 y cm，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）由题意可知线段 AE 和 CD 的数量关系是： ；
（2）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，得到了 y 与 x 的几组对应值；
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：小超的猜想 （填“正确”或“不正确”）；当两点同时出发了 s 时，DE 取得最小值，为 cm．
25. 为了推动全社会自觉尊法学法守法用法，促进全面依法治国，某区每年都举办普法知识竞赛．该区某单位甲、乙两个部门各有员工 200 人，要在这两个部门中挑选一个部门代表单位参加今年的竞赛，为了解这两个部门员工对法律知识的掌握情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个部门各随机抽取 20 名员工，进行了法律知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲部门成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：
b．乙部门成绩如下：
乙4052707071737778808182828282838383869194
c．甲、乙两部门成绩的平均数、方差、中位数如下：
平均数方差中位数甲乙77147.2m
d．近五年该单位参赛员工进入复赛的出线成绩如下：
2014年2015年2016年2017年2018年出线成绩百分制7981808182
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 m 的值；
（2）可以推断出选择 部门参赛更好，理由为 ；
（3）预估（2）中部门今年参赛进入复赛的人数为 ．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线圆心 y=x2−2x+a−3，当 a=0 时，抛物线与 y 轴交于点 A，将点 A 向右平移 4 个单位长度，得到点 B．
（1）求点 B 的坐标；
（2）将抛物线在直线 y=a 上方的部分沿直线 y=a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形 M，若图形 M 与线段 AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．
27. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 α∘0<α<180，得到线段 BD，且 AD∥BC．
（1）依题意补全图形；
（2）求满足条件的 α 的值；
（3）若 AB=2，求 AD 的长．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1x1,y1 和 P2x2,y2，称 dP1,P2=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣ 为 P1，P2 两点的直角距离．
（1）已知点 A1,2，直接写出 d0,A= ．
（2）已知 B 是直线 y=−34x+3 上的一个动点，
① 如图 1，求 d0,B 的最小值；
② 如图 2，C 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求 dB,C 的最小值．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. D
4. C
5. C
6. A
7. B
8. C
第二部分
9. x≥1
10. 1，2，0（答案不唯一）
11. 30
12. 锐角
13. 50
14. 1
15. 16，29
16. 便携性
第三部分
17. 原式=2×22+2−1−32=−1−2.
18. 去分母，得
6−x=x−2.
整理，得
2x=8.
解得
x=4.
经检验，x=4 是原方程的解．
所以原方程的解是
x=4.
19. （1） 如图所示．
（2） QB；PQ；平行四边形对边平行
20. （1） ∵m≠0，
∴mx2+2m−1x+m−1=0 是关于 x 的一元二次方程．
∴Δ=2m−12−4mm−1=1，
∵1>0，
∴ 方程总有两个不相等的实数根．
（2） 由求根公式，得 x=−2m−1±12m，
∴x1=−1，x2=1m−1．
∵ 方程的两个实数根都是整数，且 m 为整数，
∴m=±1．
21. （1） ∵D，E 分别是边 BC，AC 的中点，
∴CD=BD，ED∥AB，
∵∠ABC=90∘，
∴∠EDC=90∘，
∵DF=ED，
∴ 线段 BC，EF 互相垂直平分．
∴ 四边形 BFCE 是菱形．
（2） ∵BC=4，EF=2，
∴BD=2，ED=1，
由（1）可知 AB=2ED=2，
∴ 在 Rt△ABD 中，由勾股定理可求 AD=22．
22. （1） 如图 1，连接 OC．
∵EF 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCE=90∘．
∵BC=CD，
∴BC=CD．
∴∠COB=∠DAB．
∴AF∥CO．
∴∠AFE=∠OCE=90∘．
即 AF⊥EF．
（2） 如图 2，连接 BD，
∴∠ADB=90∘．
由（1）可知 cs∠COE=csA=45．
设 ⊙O 的半径为 r，
∵BE=1，
∴rr+1=45．
解得 r=4．
∴AB=8．
∴ 在 Rt△ABD 中，AD=AB⋅csA=325．
23. （1） ∵△OAB 的面积为 2，
∴k2=2，
∴k=4．
（2） −2≤a≤1−5 或 2≤a≤1+5．
24. （1） AE=2CD
（2） 3.0
（3）
（4） 不正确；4；2.7
25. （1） 81.5．
（2） 乙；从近五年进入复赛的出线成绩可以预测今年的出线成绩约为 81 分，乙部门抽样成绩的中位数为 81.5，说明 20 人中有 10 人可以进入复赛，甲部门不仅抽样成绩的中位数为 78.5，低于乙部门，而且通过直方图可知超过 80 分的人数在 20 人中有 8 人，因此可以预测乙部门能进入复赛的人数多于甲部门，选择乙部门参赛更好
（3） 答案不唯一，如：110
26. （1） 当 a=0 时，抛物线表达式为 y=x2−2x−3，
∵ 当 x=0 时，y=−3，
∴ 点 A 的坐标为 0,−3．
∴ 点 B 的坐标为 4,−3．
（2） 如图 1，
当 a=0 时，图形 M 与线段 AB 恰有三个公共点，
如图 2，
当 a=−3 时，图形 M 与线段 AB 恰有一个公共点，
如图 3，
当 a=1 时，图形 M 与线段 AB 恰有两个公共点，
由图象可知，当 −327. （1） 满足条件的点 D 有两个，补全图形如图 1 所示．
（2） 如图 2，过点 B 作 BE⊥D1D2 于点 E．
由题意可知，BD1=BD2=BC，AE∥BC．
∴∠AEB=90∘．
∵ 在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠EAB=∠ABC=45∘．
∴ 在 Rt△ABE 中，BE=22AB，
在 Rt△ABC 中，AB=22AB，
∴BE=12BC=12BD1．
∴∠D1=∠D2=30∘．
∵D1D2∥BC，
∴α=30或150．
（3） ∵AB=2，
∴BE=AE=2．
∴D1E=D2E=6．
∴AD 的长为 6−2 或 6+2．
28. （1） 3
（2） ① 设直线 y=−34x+3 与 x 轴的交点为 M，与 y 轴的交点为 N，
当点 B 运动到点 N 时，d0,B 取得最小值，由直角距离的定义可知，
d0,B=ON=3．
理由如下：
当点 B 运动到点 M 时，d0,B=OM>ON；
作 BP⊥y 轴于点 P，
如图 1，当点 B 在点 N 的左侧时，d0,B=BP+OP>OP>ON；
如图 2，当点 B 在线段 MN 上时，d0,B=BP+OP>NP+OP，
即 d0,B>ON；
如图 3，当点 B 在点 M 的右侧时，d0,B=BP+OP>BP>OM>ON；
综上所述，当点 B 运动到点 N 时，d0,B 取得最小值，为 3．
② 由 ① 可知，对于 ⊙O 上每一个给定的点 C，当点 B，C 运动到使 BC⊥x 轴时，dB,C 取得最小值，为线段 BC 的长度．
如图 4，过点 C 作直线 y=−34x+3 的垂线，垂足为 D，过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 y=−34x+3 于点 B．可证 BC=54CD．
当 CD 取得最小值时，BC 取得最小值．
因此，将直线 y=−34x+3 沿图中所示由点 D 到点 C 的方向平移到第一次与 ⊙O 有公共点，即与 ⊙O 在第一象限内相切的位置时，切点即为所求的点 C．
此时 CD=75，BC=74．
所以 dB,C 的最小值为 74．
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下面是一些北京著名建筑物的简笔画，其中不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 实数 m，n 在数轴上对应的点的位置如图所示，若 mn<0，且 m
3. 下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是
A. B.
C. D.
4. 电影《流浪地球》中，人类计划带着地球一起逃到距地球 4 光年的半人马星座比邻星．已知光年是天文学中的距离单位，1 光年大约是 95000 亿千米，则 4 光年约为
A. 9.5×104 亿千米B. 95×104 亿千米
C. 3.8×105 亿千米D. 3.8×104 亿千米
5. 把不等式组 1−x≤4,x+12<1 中两个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是
A. B.
C. D.
6. 如果 a−b=3，那么代数式 b2a−a⋅aa+b 的值为
A. −3B. 3C. 3D. 23
7. 今年是我国建国 70 周年，回顾过去展望未来，创新是引领发展的第一动力．北京科技创新能力不断增强，下面的统计图反映了 2010∼2018 年北京市每万人发明专利申请数与授权数的情况．根据统计图提供的信息，下列推断合理的是
A. 2010∼2018 年，北京市每万人发明专利授权数逐年增长
B. 2010∼2018 年，北京市每万人发明专利授权数的平均数超过 10 件
C. 2010 年申请后得到授权的比例最低
D. 2018 年申请后得到授权的比例最高
8. 如表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．
抛掷次数n50100150200250300350400450500"正面向上"次数22527195116138160187214238m"正面向上"频率
下面有三个推断：
① 表中没有出现“正面向上”的频率是 0.5 的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是 0.5；
② 这些次试验投掷次数的最大值是 500，此时“正面向上”的频率是 0.48，所以“正面向上”的概率是 0.48；
③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生；
其中合理的是
A. ①②B. ①③C. ③D. ②③
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 x−1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
10. 用一组 a，b，c 的值说明命题“若 ac=bc，则 a=b”是错误的，这组值可以是 a= ，b= ，c= ．
11. 如图，某人从点 A 出发，前进 5 m 后向右转 60∘，再前进 5 m 后又向右转 60∘，这样一直走下去，当他第一次回到出发点 A 时，共走了 m．
12. 如图所示的网格是正方形网格，△ABC 是 三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）．
13. 如图，过 ⊙O 外一点 P 作 ⊙O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，作直径 BC，连接 AB，AC，若 ∠P=80∘，则 ∠C= ∘．
14. 如图，在矩形 ABCD 中，过点 B 作对角线 AC 的垂线，交 AD 于点 E，若 AB=2，BC=4，则 AE= ．
15. 某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如表：
科目思想品德历史地理选考人数人191318
其中思想品德、历史两门课程都选了的有 3 人，历史、地理两门课程都选了的有 4 人，则该班选了思想品德而没有选历史的有 人；该班至少有学生 人．
16. 某实验室对 150 款不同型号的保温杯进行质量检测，其中一个品牌的 30 款保温杯的保温性、便携性与综合质量在此次检测中的排名情况如图所示，可以看出其中A型保温杯的优势是 ．
三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2sin45∘+−2−π−20190−18．
18. 解分式方程：3x−2−x2x−4=12．
19. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线 l 及直线 l 外一点 P．
求作：直线 PQ，使得 PQ∥l．
作法：如图，
①在直线 l 上取两点 A，B；
②以点 P 为圆心，AB 为半径画弧，以点 B 为圆心，AP 为半径画弧，两弧在直线 l 上方相交于点 Q；
③作直线 PQ．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵PA= ，AB= ，
∴ 四边形 PABQ 是平行四边形．
∴PQ∥l（ ）．（填写推理的依据）
20. 已知关于 x 的方程 mx2+2m−1x+m−1=0m≠0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数 m 的值．
21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，D，E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 ED 并延长到点 F，使 DF=ED，连接 BE，BF，CF，AD．
（1）求证：四边形 BFCE 是菱形；
（2）若 BC=4，EF=2，求 AD 的长．
22. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，点 O 在 AB 上，BC=CD，过点 C 作 ⊙O 的切线，分别交 AB，AD 的延长线于点 E，F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若 csA=45，BE=1，求 AD 的长．
23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴上，点 B 在第一象限内，∠OAB=90∘，OA=AB，△OAB 的面积为 2，反比例函数 y=kx 的图象经过点 B．
（1）求 k 的值；
（2）已知点 P 坐标为 a,0，过点 P 作直线 OB 的垂线 l，点 O，A 关于直线 l 的对称点分别为 OʹAʹ，若线段 OʹAʹ 与反比例函数 y=kx 的图象有公共点，直接写出 a 的取值范围．
24. 小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度，直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢?
小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6 cm，BC=8 cm，点 D 以 1 cm/s 的速度从点 C 向点 B 运动，点 E 以 2 cm/s 的速度从点 A 向点 B 运动，当点 E 到达点 B 时，两点同时停止运动，若点 D，E 同时出发，多长时间后 DE 取得最小值?
小超猜想当 DE⊥AB 时，DE 最小．探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设 C，D 两点间的距离为 x cm，D，E 两点间的距离为 y cm，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）由题意可知线段 AE 和 CD 的数量关系是： ；
（2）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，得到了 y 与 x 的几组对应值；
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：小超的猜想 （填“正确”或“不正确”）；当两点同时出发了 s 时，DE 取得最小值，为 cm．
25. 为了推动全社会自觉尊法学法守法用法，促进全面依法治国，某区每年都举办普法知识竞赛．该区某单位甲、乙两个部门各有员工 200 人，要在这两个部门中挑选一个部门代表单位参加今年的竞赛，为了解这两个部门员工对法律知识的掌握情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个部门各随机抽取 20 名员工，进行了法律知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲部门成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：
b．乙部门成绩如下：
乙4052707071737778808182828282838383869194
c．甲、乙两部门成绩的平均数、方差、中位数如下：
平均数方差中位数甲乙77147.2m
d．近五年该单位参赛员工进入复赛的出线成绩如下：
2014年2015年2016年2017年2018年出线成绩百分制7981808182
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 m 的值；
（2）可以推断出选择 部门参赛更好，理由为 ；
（3）预估（2）中部门今年参赛进入复赛的人数为 ．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线圆心 y=x2−2x+a−3，当 a=0 时，抛物线与 y 轴交于点 A，将点 A 向右平移 4 个单位长度，得到点 B．
（1）求点 B 的坐标；
（2）将抛物线在直线 y=a 上方的部分沿直线 y=a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形 M，若图形 M 与线段 AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．
27. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 α∘0<α<180，得到线段 BD，且 AD∥BC．
（1）依题意补全图形；
（2）求满足条件的 α 的值；
（3）若 AB=2，求 AD 的长．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1x1,y1 和 P2x2,y2，称 dP1,P2=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣ 为 P1，P2 两点的直角距离．
（1）已知点 A1,2，直接写出 d0,A= ．
（2）已知 B 是直线 y=−34x+3 上的一个动点，
① 如图 1，求 d0,B 的最小值；
② 如图 2，C 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求 dB,C 的最小值．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. D
4. C
5. C
6. A
7. B
8. C
第二部分
9. x≥1
10. 1，2，0（答案不唯一）
11. 30
12. 锐角
13. 50
14. 1
15. 16，29
16. 便携性
第三部分
17. 原式=2×22+2−1−32=−1−2.
18. 去分母，得
6−x=x−2.
整理，得
2x=8.
解得
x=4.
经检验，x=4 是原方程的解．
所以原方程的解是
x=4.
19. （1） 如图所示．
（2） QB；PQ；平行四边形对边平行
20. （1） ∵m≠0，
∴mx2+2m−1x+m−1=0 是关于 x 的一元二次方程．
∴Δ=2m−12−4mm−1=1，
∵1>0，
∴ 方程总有两个不相等的实数根．
（2） 由求根公式，得 x=−2m−1±12m，
∴x1=−1，x2=1m−1．
∵ 方程的两个实数根都是整数，且 m 为整数，
∴m=±1．
21. （1） ∵D，E 分别是边 BC，AC 的中点，
∴CD=BD，ED∥AB，
∵∠ABC=90∘，
∴∠EDC=90∘，
∵DF=ED，
∴ 线段 BC，EF 互相垂直平分．
∴ 四边形 BFCE 是菱形．
（2） ∵BC=4，EF=2，
∴BD=2，ED=1，
由（1）可知 AB=2ED=2，
∴ 在 Rt△ABD 中，由勾股定理可求 AD=22．
22. （1） 如图 1，连接 OC．
∵EF 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCE=90∘．
∵BC=CD，
∴BC=CD．
∴∠COB=∠DAB．
∴AF∥CO．
∴∠AFE=∠OCE=90∘．
即 AF⊥EF．
（2） 如图 2，连接 BD，
∴∠ADB=90∘．
由（1）可知 cs∠COE=csA=45．
设 ⊙O 的半径为 r，
∵BE=1，
∴rr+1=45．
解得 r=4．
∴AB=8．
∴ 在 Rt△ABD 中，AD=AB⋅csA=325．
23. （1） ∵△OAB 的面积为 2，
∴k2=2，
∴k=4．
（2） −2≤a≤1−5 或 2≤a≤1+5．
24. （1） AE=2CD
（2） 3.0
（3）
（4） 不正确；4；2.7
25. （1） 81.5．
（2） 乙；从近五年进入复赛的出线成绩可以预测今年的出线成绩约为 81 分，乙部门抽样成绩的中位数为 81.5，说明 20 人中有 10 人可以进入复赛，甲部门不仅抽样成绩的中位数为 78.5，低于乙部门，而且通过直方图可知超过 80 分的人数在 20 人中有 8 人，因此可以预测乙部门能进入复赛的人数多于甲部门，选择乙部门参赛更好
（3） 答案不唯一，如：110
26. （1） 当 a=0 时，抛物线表达式为 y=x2−2x−3，
∵ 当 x=0 时，y=−3，
∴ 点 A 的坐标为 0,−3．
∴ 点 B 的坐标为 4,−3．
（2） 如图 1，
当 a=0 时，图形 M 与线段 AB 恰有三个公共点，
如图 2，
当 a=−3 时，图形 M 与线段 AB 恰有一个公共点，
如图 3，
当 a=1 时，图形 M 与线段 AB 恰有两个公共点，
由图象可知，当 −3
（2） 如图 2，过点 B 作 BE⊥D1D2 于点 E．
由题意可知，BD1=BD2=BC，AE∥BC．
∴∠AEB=90∘．
∵ 在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠EAB=∠ABC=45∘．
∴ 在 Rt△ABE 中，BE=22AB，
在 Rt△ABC 中，AB=22AB，
∴BE=12BC=12BD1．
∴∠D1=∠D2=30∘．
∵D1D2∥BC，
∴α=30或150．
（3） ∵AB=2，
∴BE=AE=2．
∴D1E=D2E=6．
∴AD 的长为 6−2 或 6+2．
28. （1） 3
（2） ① 设直线 y=−34x+3 与 x 轴的交点为 M，与 y 轴的交点为 N，
当点 B 运动到点 N 时，d0,B 取得最小值，由直角距离的定义可知，
d0,B=ON=3．
理由如下：
当点 B 运动到点 M 时，d0,B=OM>ON；
作 BP⊥y 轴于点 P，
如图 1，当点 B 在点 N 的左侧时，d0,B=BP+OP>OP>ON；
如图 2，当点 B 在线段 MN 上时，d0,B=BP+OP>NP+OP，
即 d0,B>ON；
如图 3，当点 B 在点 M 的右侧时，d0,B=BP+OP>BP>OM>ON；
综上所述，当点 B 运动到点 N 时，d0,B 取得最小值，为 3．
② 由 ① 可知，对于 ⊙O 上每一个给定的点 C，当点 B，C 运动到使 BC⊥x 轴时，dB,C 取得最小值，为线段 BC 的长度．
如图 4，过点 C 作直线 y=−34x+3 的垂线，垂足为 D，过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 y=−34x+3 于点 B．可证 BC=54CD．
当 CD 取得最小值时，BC 取得最小值．
因此，将直线 y=−34x+3 沿图中所示由点 D 到点 C 的方向平移到第一次与 ⊙O 有公共点，即与 ⊙O 在第一象限内相切的位置时，切点即为所求的点 C．
此时 CD=75，BC=74．
所以 dB,C 的最小值为 74．
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