2022年北京市朝阳区数学一模试卷

2022北京朝阳初三一模

数    学

2022．4．

一、选择题（共16分，每题2分）

第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．

1．右图是某几何体的三视图，该几何体是

（A）三棱柱 （B）长方体

（C）圆锥 （D）圆柱

2．2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报告．报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就．2021年国内生产总值达114万亿元，增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为

（ A） （B） （C） （D）

3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是

（ A） （B） （C） （D）

4．将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为

（A）100° （B）105°

（C）115° （D）120°

5．下列多边形中，内角和与外角和相等的是

（A） （B） （C） （D）

6．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次摸到相同颜色的小球的概率是

（A） （B） （C） （D）

7．下图是国家统计局公布的2021年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为，方差分别为，则

（A）  （B） 

（C）  （D）

8．点，在反比例函数的图象上，下列推断正确的是

（A）若，则  （B）若，则

 （C）若，则 （D）存在使得

二、填空题（共16分，每题2分）

9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．

10．分解因式：__________．

11．写出一个比4大且比5小的无理数： __________．

12．如图，是的弦，，是的切线，若，则_____．

13．如图，在中，，点在上（不与点重合），只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是______（ 写出一个即可）．

14．如图，2022年北京冬奥会上，一些可看作正六边形的“小雪花”对称地排列在主火炬周围，中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬．在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，此外还有几个“小雪花”上面只有中国结图案．这些只有中国结图案的“小雪花”共有_________个．

15．若关于的一元二次方程有一个根是，则__________．

16．尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表：

从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序__________ （只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．

三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）

17．计算：．

18．解不等式组：．

19．已知，求代数式的值．

20．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中-一个根是另-一个根的2倍，求的值．

21．中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”。

由记载可得作法如下：

①作，在上取一点，以点为圆心，为半径作，两圆相交于两点，

连接；

②以点为圆心，为半径作，与相交于点，与相交于点；

③连接．

，都是圆内接正三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接．

，

为   ①   ．

．

同理可得，．

．

（  ②    ）（ 填推理的依据）．

，

是等边三角形．

，

是等边三角形．

同理可得，是等边三角形．

22．如图，在矩形中，相交于点，，．

（1 ）求证：四边形是菱形；

（2）若，求四边形的面积．

23．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．

（1 ）求证：平分；

（2）若，，求的长．

24．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是拋物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．

请解决以下问题：

（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；

（3）求h关于d的函数表达式；

（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．

25．某校初三年级有两个校区，其中甲校区有200名学生，乙校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．甲校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：， ， ，

）：

b．甲校区成绩在这一组的是：

74  74  75  77  77  77  77  78  79  79

c．甲、乙两校区成绩的平均数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中的值；

（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，并说明理由；

（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为_________（直接写出结果）．

26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．

（1）若，求的值；

（2）若，求的取值范围．

27．在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段

，作交直线于点．

（1）如图，若，

①依题意补全图形；

②用等式表示线段之间的数量关系，并证明；

（2）若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）．

28．在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．

（1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；

（2）点的坐标为，

①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求的取值范围；

②如图3，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值2，直接写出的值．