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2019年北京市朝阳区中考数学二模试卷【含答案】
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这是一份2019年北京市朝阳区中考数学二模试卷【含答案】，共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年北京市朝阳区中考数学二模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列轴对称图形中只有一条对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）2019年4月25﹣27日，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，自“一带一路”倡议提出以来，五年之间，北京市对外贸易总额累计约30000亿美元，年均增速1.5%．将30000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.0×103 B．0.3×104 C．3.0×104 D．0.3×105
3．（2分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．四棱柱
4．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．ac＞0 B．|b|＜|c| C．a＞﹣d D．b+d＞0
5．（2分）如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．（2分）如果x﹣3y＝0，那么代数式的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．3
7．（2分）某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A，B，C，D四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍．为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：
根据以上信息，下列推断合理的是（ ）
A．改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化
B．改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍
C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少
D．改进生产工艺后，D级产品的数量减少
8．（2分）小明使用图形计算器探究函数y＝的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
10．（2分）颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝ °．
11．（2分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1 y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
12．（2分）水果在物流运输过程中会产生一定的损耗，下表统计了某种水果发货时的重量和收货时的重量．
发货时重量（kg）
100
200
300
400
500
600
1000
收货时重量（kg）
94
187
282
338
435
530
901
若一家水果商店以6元/kg的价格购买了5000kg该种水果，不考虑其他因素，要想获得约15000元的利润，销售此批水果时定价应为 元/kg．
13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB＝ °．
14．（2分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为 ．
15．（2分）世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉），两种计量之间有如下的对应表：
摄氏温度（℃）
0
10
20
30
40
50
华氏温度（℉）
32
50
68
86
104
122
由上表可以推断出，华氏0度对应的摄氏温度是 ℃，若某一温度时华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等，则此温度为 ℃．
16．（2分）某公园门票的收费标准如下：
门票类别
成人票
儿童票
团体票（限5张及以上）
价格（元/人）
100
40
60
有两个家庭分别去该公园游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果一家比另一家少花40元，则花费较少的一家花了 元．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．
19．（5分）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；
②作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BP，
∵ ＝ ＝ ＝AP，
∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．
∴∠APQ＝90°（ ）．（填写推理的依据）
即PQ⊥l．
20．（5分）关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根．
（1）求实数m，n需满足的条件；
（2）写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．
22．（5分）如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，sinB＝，求EF的长．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过点P（3，4）．
（1）求k的值；
（2）求OP的长；
（3）直线y＝mx（m≠0）与反比例函数的图象有两个交点A，B，若AB＞10，直接写出m的取值范围．
24．（6分）如图，P是半圆O中所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交于点M，作射线PN交于点N，使得∠NPB＝45°，连接MN．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，点M也与点A重合，当点P与点B重合时，y的值为0）
小超根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
4.2
2.9
2.6
2.0
1.6
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当MN＝2AP时，AP的长度约为 cm．
25．（6分）某部门为新的生产线研发了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，在相同条件下与人工操作进行了抽样对比．过程如下，请补充完整．
收集数据对同一个生产动作，机器人和人工各操作20次，测试成绩（十分制）如下：
机器人
8.0
8.1
8.1
8.1
8.2
8.2
8.3
8.4
8.4
9.0
9.0
9.0
9.1
9.1
9.4
9.5
9.5
9.5
9.5
9.6
人工
6.1
6.2
6.6
7.2
7.2
7.5
8.0
8.2
8.3
8.5
9.1
9.6
9.8
9.9
9.9
9.9
10
10
10
10
整理、描述数据按如下分段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
人数
生产方式
6≤x＜7
7≤x＜8
8≤x＜9
9≤x≤10
机器人
0
0
9
11
人工
（说明：成绩在9.0分及以上为操作技能优秀，8.0～8.9分为操作技能良好，6.0～7.9分为操作技能合格，6.0分以下为操作技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：
平均数
中位数
众数
方差
机器人
8.8
9.5
0.333
人工
8.6
10
1.868
得出结论
（1）如果生产出一个产品，需要完成同样的操作200次，估计机器人生产这个产品达到操作技能优秀的次数为 ；
（2）请结合数据分析机器人和人工在操作技能方面各自的优势： ．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．
（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）记函数（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
27．（7分）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．
（1）如图，若OA＝1，OP＝，依题意补全图形；
（2）若OP＝，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；
（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA＝1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．
28．（7分）M（﹣1，﹣），N（1，﹣）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
（1）在点，，，A4（2，2）中，线段MN的可视点为 ；
（2）若点B是直线y＝x+上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．
2019年北京市朝阳区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列轴对称图形中只有一条对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、扇形只有一条对称轴，故此选项符合题意；
B、矩形有2条对称轴，故此选项不符合题意；
C、等边三角形有3条对称轴，故此选项不符合题意；
D、圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（2分）2019年4月25﹣27日，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，自“一带一路”倡议提出以来，五年之间，北京市对外贸易总额累计约30000亿美元，年均增速1.5%．将30000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.0×103 B．0.3×104 C．3.0×104 D．0.3×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：30000＝3.0×104，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．四棱柱
【分析】根据四棱柱的展开图解答．
【解答】解：由图可知，这个几何体是四棱柱．
故选：D．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记四棱柱的展开图的形状是解题的关键．
4．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．ac＞0 B．|b|＜|c| C．a＞﹣d D．b+d＞0
【分析】首先根据数轴，写出a，b，c，d的取值范围，然后根据四个现象进行逐个判断
【解答】解：根据数轴，﹣4＜a＜﹣3，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，2＜d＜3，
∵﹣4＜a＜﹣3，0＜c＜1，∴ac＜0，故A错误；
∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，故|c|＜|b|，故B错误；
∵﹣4＜a＜﹣3，2＜d＜3，∴﹣3＜﹣d＜﹣2，故a＜﹣d，故C错误；
∵﹣2＜b＜﹣1，2＜d＜3，∴b+d＞0，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查实数与数轴以及实数的大小比较，熟练实数相关知识点是解答此题的关键．
5．（2分）如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】根据垂线的定义和三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据等腰三角形的性质可求∠BCA的度数，再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DCA＝20°，
∴∠BAC＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BCA＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝70°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6．（2分）如果x﹣3y＝0，那么代数式的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．3
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x＝3y代入化简可得．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
∵x﹣3y＝0，
∴x＝3y，
则原式＝＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
7．（2分）某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A，B，C，D四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍．为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：
根据以上信息，下列推断合理的是（ ）
A．改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化
B．改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍
C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少
D．改进生产工艺后，D级产品的数量减少
【分析】设原生产总量为1，则改进后生产总量为2，所以原A、B、C、D等级的生产量为0.3、0.37、0.28、0.05，改进后四个等级的生产量为0.6、1.2、0.12、0.08，据此逐一判断即可得．
【解答】解：设原生产总量为1，则改进后生产总量为2，
所以原A、B、C、D等级的生产量为0.3、0.37、0.28、0.05，
改进后四个等级的生产量为0.6、1.2、0.12、0.08，
A．改进生产工艺后，A级产品的数量增加，此选项错误；
B．改进生产工艺后，B级产品的数量增加超过三倍，此选项错误；
C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少，此选项正确；
D．改进生产工艺后，D级产品的数量增加，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
8．（2分）小明使用图形计算器探究函数y＝的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【分析】由图象可知，当x＞0时，y＞0，可知a＞0；图象的右侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向右平移，则b＞0；
【解答】解：由图象可知，当x＞0时，y＞0，
∴a＞0；
∵图象的右侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向右平移，
∴b＞0；
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定b的取值是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣ ．
【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：由题意得，2x+1≠0，
解得x≠﹣．
故答案为x≠﹣．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（2分）颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝ 45 °．
【分析】利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：360°÷8＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，明确任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．
11．（2分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1 ＜ y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5可知，其图象开口向上，且对称轴为x＝2，
∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，
∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
12．（2分）水果在物流运输过程中会产生一定的损耗，下表统计了某种水果发货时的重量和收货时的重量．
发货时重量（kg）
100
200
300
400
500
600
1000
收货时重量（kg）
94
187
282
338
435
530
901
若一家水果商店以6元/kg的价格购买了5000kg该种水果，不考虑其他因素，要想获得约15000元的利润，销售此批水果时定价应为 10 元/kg．
【分析】根据表格中的数据可知，损耗率约等于10%，然后根据题意，即可列出相应的方程，从而可以得到水果的定价．
【解答】解：设销售此批水果时定价为x元/kg，
由表格可知，水果的损耗接近10%，
则5000×（1﹣10%）x﹣5000×6＝15000，
解得，x＝10
答：销售此批水果时定价应为10元/kg，
故答案为：10．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．
13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB＝ 30 °．
【分析】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，根据折叠的性质得到OE＝OF，根据直角三角形的性质解答．
【解答】解：作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，
由折叠的性质可知，EF＝OE＝OF，
∴OE＝OA，
在Rt△AOE中，OE＝OA，
∴∠CAB＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．（2分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为 9 ．
【分析】根据正方形的性质得OB＝OD，AD∥BC，根据三角形相似的性质和判定得：＝，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴△BEF∽△DEA，
∴，
∵E是OB的中点，
∴，
∴＝，
∴＝，
∵△BEF的面积为1，
∴△AEB的面积为3，
∵，
∴＝，
∴△AED的面积为9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形面积，三角形相似的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是关键．
15．（2分）世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉），两种计量之间有如下的对应表：
摄氏温度（℃）
0
10
20
30
40
50
华氏温度（℉）
32
50
68
86
104
122
由上表可以推断出，华氏0度对应的摄氏温度是 ℃，若某一温度时华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等，则此温度为 ﹣40 ℃．
【分析】（1）设摄氏温度为x（℃）与华氏温度为y（℉）之间的函数关系式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解析式，把y＝0代入解析式即可解答；
（2）当y＝x时，代入解析式求出x的值就可以得出结论．
【解答】解：（1）设摄氏温度为x（℃）与华氏温度为y（℉）之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得
，解得，
即y＝1.8x+32．
当y＝0时，1.8x+32＝0，解得．
故答案为：；
（2）当y＝x时，x＝1.8x+32，
解得：x＝﹣40．
因此当华氏﹣40度时，摄氏也是﹣40度．
故答案为：﹣40
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
16．（2分）某公园门票的收费标准如下：
门票类别
成人票
儿童票
团体票（限5张及以上）
价格（元/人）
100
40
60
有两个家庭分别去该公园游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果一家比另一家少花40元，则花费较少的一家花了 260 元．
【分析】设花费较少的一家花了x元，由一家比另一家少花40元（由每个家庭出外游玩至少有一个成人可得出花费较多的家庭购买的是团体票），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论（结论正好为1个成人4个儿童购票钱数）．
【解答】解：设花费较少的一家花了x元，
依题意，得：x+40＝60×5，
解得：x＝260．
故答案为：260．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）计算：．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、负指数幂、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2×++4﹣2＝++4﹣2＝4．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可．
【解答】解：原不等式组为
解不等式①得，．
解不等式②得，x＜2．
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的所有整数解为﹣1，0，1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（5分）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；
②作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BP，
∵ BP ＝ BA ＝ BQ ＝AP，
∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．
∴∠APQ＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）．（填写推理的依据）
即PQ⊥l．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到BP＝BA＝BQ＝AP，利用圆的定义得到点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．然后根据圆周角定理得到∠APQ＝90°．
【解答】解：（1）如图，
（2）证明：连接BP，
∵BP＝BA＝BQ＝AP，
∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．
∴∠APQ＝90°（直径所对的圆周角是直角），
即PQ⊥l．
故答案为BP，BA，BQ，直径所对的圆周角是直角．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了圆周角定理．
20．（5分）关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根．
（1）求实数m，n需满足的条件；
（2）写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）先计算判别式得到△＝﹣4mn，根据非负数的性质得到△≥0，依此可得实数m，n需满足的条件；
（2）取m＝1，n＝0，则方程化为x2﹣2x+1＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根，
∴m≠0，
△＝（﹣2m）2﹣4m（m+n）＝﹣4mn≥0，
∴mn≤0．
∴实数m，n需满足的条件为mn≤0且m≠0．
（2）答案不唯一，如：m＝1，n＝0．
此时方程为x2﹣2x+1＝0．
解得x1＝x2＝1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AB，推出四边形BECD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）取BE中点G，连接FG．由（1）可知，FB＝FC＝FE，得到FG＝CE＝1，FG⊥BE，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°．
∴▱BECD是矩形；
（2）解：如图，取BE中点G，连接FG．
由（1）可知，FB＝FC＝FE，
∴FG＝CE＝1，FG⊥BE，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠DAB＝30°．
∴BG＝．
∴AB＝BE＝．
∴AG＝，
∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF＝
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，含30°交的直角三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
22．（5分）如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，sinB＝，求EF的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到∠DAB＝90°，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°．由等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）解直角三角形得到DE＝，BE＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝90°，
∴∠CAD+∠CAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠B，
∵CE＝CD，
∴AE＝AD，
∴∠CAE＝∠CAD＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠CAE＝∠F，
∴AC＝CF；
（2）解：由（1）可知，sin∠CAE＝sin∠CAD＝sinB＝．
∵AB＝4，
∴在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝5，
∴在Rt△ACD中，CD＝，
∴DE＝，BE＝，
∵∠CEF＝∠AEB，∠B＝∠F，
∴△CEF～△AEB．
∴．
∴EF＝．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过点P（3，4）．
（1）求k的值；
（2）求OP的长；
（3）直线y＝mx（m≠0）与反比例函数的图象有两个交点A，B，若AB＞10，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据勾股定理即可求得；
（3）由（2）可知当A（﹣3，﹣4），B（3，4）或A（﹣4，﹣3），B（4，3）时，AB＝10，此时m＝或m＝，若AB＞10，则或．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点P（3，4），
∴k＝12，
（2）过点P作PE⊥x轴于点E．
∵点P（3，4），
∴OE＝3，PE＝4．
∴在Rt△EOP中，由勾股定理可求OP＝5；
（3）由（2）可知，当A（﹣3，﹣4），B（3，4）或A（﹣4，﹣3），B（4，3）时，AB＝10，m＝或m＝
若AB＞10，则或．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理的应用．
24．（6分）如图，P是半圆O中所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交于点M，作射线PN交于点N，使得∠NPB＝45°，连接MN．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，点M也与点A重合，当点P与点B重合时，y的值为0）
小超根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
4.2
2.9
2.6
2.0
1.6
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当MN＝2AP时，AP的长度约为 1.4 cm．
【分析】（1）当x＝3时，点P与点O重合，连接M′N′、N′B，即可求解；
（2）描点绘绘制即可；
（3）从图象查找当MN＝2AP时的AP值即可．
【解答】解：（1）当x＝3时，点P与点O重合，连接M′N′、N′B，过点N′作HN′⊥AB交点B，
则M′N′＝N′B＝＝＝2.2965≈2.3，
故答案为2.3，如下表格：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
4.2
2.9
2.6
2.3
2.0
1.6
0
（2）描绘的图象如下所示：
（3）从图象可以看出：当MN＝2AP时，AP的长度约为1.4，
故答案为1.4．
【点评】本题考查圆的综合运用，涉及到函数图象作图、解直角三角形等知识点，通常按照题设顺序顺次求解．
25．（6分）某部门为新的生产线研发了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，在相同条件下与人工操作进行了抽样对比．过程如下，请补充完整．
收集数据对同一个生产动作，机器人和人工各操作20次，测试成绩（十分制）如下：
机器人
8.0
8.1
8.1
8.1
8.2
8.2
8.3
8.4
8.4
9.0
9.0
9.0
9.1
9.1
9.4
9.5
9.5
9.5
9.5
9.6
人工
6.1
6.2
6.6
7.2
7.2
7.5
8.0
8.2
8.3
8.5
9.1
9.6
9.8
9.9
9.9
9.9
10
10
10
10
整理、描述数据按如下分段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
人数
生产方式
6≤x＜7
7≤x＜8
8≤x＜9
9≤x≤10
机器人
0
0
9
11
人工
3
3
4
（说明：成绩在9.0分及以上为操作技能优秀，8.0～8.9分为操作技能良好，6.0～7.9分为操作技能合格，6.0分以下为操作技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：
平均数
中位数
众数
方差
机器人
8.8
9.0
9.5
0.333
人工
8.6
8.8
10
1.868
得出结论
（1）如果生产出一个产品，需要完成同样的操作200次，估计机器人生产这个产品达到操作技能优秀的次数为 110 ；
（2）请结合数据分析机器人和人工在操作技能方面各自的优势： 机器人的样本数据的平均数和中位数都明显高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定．人工的样本数据的众数为10，机器人的样本数据的最大值为9.6，可以推断人工的优势在于能完成一些最高水平的操作． ．
【分析】（1）根据三数定义和方差计算公式分别计算得出答案；
（2）计算出抽测的20次的优秀所占比例，再乘以200即可；
（3）根据（1）中所得数据进行全面分析即可．
【解答】解：补全表格如下：
6≤x＜7
7≤x＜8
8≤x＜9
9≤x≤10
机器人
0
0
9
11
人工
3
3
4
10
平均数
中位数
众数
方差
机器人
8.8
9.0
9.5
0.333
人工
8.6
8.8
10
1.868
（1）×200＝110；
（2）机器人的样本数据的平均数和中位数都明显高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定．人工的样本数据的众数为10，机器人的样本数据的最大值为9.6，可以推断人工的优势在于能完成一些最高水平的操作．
【点评】此题主要考查了方差和众数、中位数、平均数，关键是掌握三数定义和方差的计算公式．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．
（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）记函数（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2a2x的对称轴是直线，
∴点P的坐标是（a，0）；
（2）由题意可知图形M为线段AB，A（﹣1，3），B（3，0）．
当抛物线经过点A时，解得或a＝1；
当抛物线经过点B时，解得．……………………………………………………（3分）
如图1，当时，抛物线与图形M恰有一个公共点．
如图2，当a＝1时，抛物线与图形M恰有两个公共点．
如图3，当时，抛物线与图形M恰有两个公共点．
结合函数的图象可知，当或0＜a＜1或时，抛物线与图形M恰有一个公共点．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键．
27．（7分）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．
（1）如图，若OA＝1，OP＝，依题意补全图形；
（2）若OP＝，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；
（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA＝1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．
【分析】（1）由已知可知PA⊥OA，PA＝1由旋转性质可知PC＝PA＝1，PC平行OA，CD＝AB＝1，即可根据旋转画出图形．
（2）作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点F．当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA＝EC．即可求出OA的取值范围．
（3）由圆的最大弦是直径可知当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD＝1，Q在CD的中点，由（2）可知此时EQ＝，即可计算OP、OQ的长．
【解答】解：（1）∵OA＝1，OP＝，∠MON＝45°，
∴PA⊥OA，PA＝1
∴OC∥OA，PC＝1．
由旋转性质可知：PC⊥CD，CD＝AB＝1，
∴D正好落在OM上．
补全图形，如图1所示．
（2）如图2，作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点F．
∵OP＝，∠MON＝45°，
∴OE＝2．
由题意可知，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA＝EC．
如图2，当点D与点F重合时，OA取得最小值为1．
如图3，当点C与点F重合时，OA取得最大值为2．
综上所述，OA的取值范围是1≤OA≤2．
（3）如图4．作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点Q．
当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD＝1，Q在CD的中点，QC＝
由（2）可知CE＝OA＝1，
∴QE＝，
∵∠MON＝45°，
∴OP＝，OQ＝．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是根据旋转的性质找到OA＝CE，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
28．（7分）M（﹣1，﹣），N（1，﹣）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
（1）在点，，，A4（2，2）中，线段MN的可视点为 A1，A3 ；
（2）若点B是直线y＝x+上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN的可视点在以E为圆心，EM长为半径的⊙E的内部或⊙E上，根据坐标可以判断哪些点符合要求．
（2）点B既要在直线y＝x+上，又要⊙E的内部或圆上，且在⊙G的外部或圆上，故应该在直线y＝x+与⊙G、⊙E的交点E、F为端点的线段上，求出E、F的横坐标即可．
（3）通过求极点，可求b的范围．
【解答】解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F，
∵MN是⊙G的直径，
∴∠MA1N＝90°，
∵M（﹣1，﹣），N（1，﹣）
∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2
∴EM＝EF＝，
∴∠MFN＝∠MEN＝45°，
∵45°≤∠MPN≤90°，
∴点P应落在⊙E内部，且落在⊙G外部
∴线段MN的可视点为A1，A3；
故答案为A1，A3；
（2）如图2，以（0，）为圆心，1为半径作圆，以（0，）为圆心，为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线分别交于点E，F．
过点F作FH⊥x轴，过点E作EH⊥FH于点H，
∵FH⊥x轴，
∴FH∥y轴，
∴∠EFH＝∠MEG＝45°，
∵∠EHF＝90°，EF＝，
∴EH＝FH＝1，
∴E（0，），F（1，）．
只有当点B在线段EF上时，满足45°≤∠MBN≤90°，点B是线段MN的可视点．
∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1．
（3）如图3，⊙G与x轴交于H，与y轴交于E，连接GH，OG＝，GH＝1，
∴OH＝＝＝，
∴H（，0），E（0，），
当直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，
若直线y＝x+b过点E（0，），可得b＝，
若直线y＝x+b过点H（，0），可得b＝﹣
若直线y＝x+b过点N，
将 N（1，﹣）代入得b＝﹣，
当直线y＝x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q，连接ET，则ET⊥TQ，
∵∠EQT＝45°，
∴TQ＝ET＝EM＝，
∴EQ＝＝＝2
∴OQ＝OE+EQ＝+2＝，
∴﹣≤b≤﹣或≤b≤．
综上所述：﹣≤b≤﹣或≤b≤．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角、圆心角的性质，解题关键要将可视点转化为圆内点、圆上点、圆外点分别对弦的视角问题．
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日期：2020/6/19 16:03:23；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080
2019年北京市朝阳区中考数学二模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列轴对称图形中只有一条对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）2019年4月25﹣27日，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，自“一带一路”倡议提出以来，五年之间，北京市对外贸易总额累计约30000亿美元，年均增速1.5%．将30000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.0×103 B．0.3×104 C．3.0×104 D．0.3×105
3．（2分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．四棱柱
4．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．ac＞0 B．|b|＜|c| C．a＞﹣d D．b+d＞0
5．（2分）如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．（2分）如果x﹣3y＝0，那么代数式的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．3
7．（2分）某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A，B，C，D四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍．为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：
根据以上信息，下列推断合理的是（ ）
A．改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化
B．改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍
C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少
D．改进生产工艺后，D级产品的数量减少
8．（2分）小明使用图形计算器探究函数y＝的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
10．（2分）颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝ °．
11．（2分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1 y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
12．（2分）水果在物流运输过程中会产生一定的损耗，下表统计了某种水果发货时的重量和收货时的重量．
发货时重量（kg）
100
200
300
400
500
600
1000
收货时重量（kg）
94
187
282
338
435
530
901
若一家水果商店以6元/kg的价格购买了5000kg该种水果，不考虑其他因素，要想获得约15000元的利润，销售此批水果时定价应为 元/kg．
13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB＝ °．
14．（2分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为 ．
15．（2分）世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉），两种计量之间有如下的对应表：
摄氏温度（℃）
0
10
20
30
40
50
华氏温度（℉）
32
50
68
86
104
122
由上表可以推断出，华氏0度对应的摄氏温度是 ℃，若某一温度时华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等，则此温度为 ℃．
16．（2分）某公园门票的收费标准如下：
门票类别
成人票
儿童票
团体票（限5张及以上）
价格（元/人）
100
40
60
有两个家庭分别去该公园游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果一家比另一家少花40元，则花费较少的一家花了 元．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．
19．（5分）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；
②作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BP，
∵ ＝ ＝ ＝AP，
∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．
∴∠APQ＝90°（ ）．（填写推理的依据）
即PQ⊥l．
20．（5分）关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根．
（1）求实数m，n需满足的条件；
（2）写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．
22．（5分）如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，sinB＝，求EF的长．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过点P（3，4）．
（1）求k的值；
（2）求OP的长；
（3）直线y＝mx（m≠0）与反比例函数的图象有两个交点A，B，若AB＞10，直接写出m的取值范围．
24．（6分）如图，P是半圆O中所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交于点M，作射线PN交于点N，使得∠NPB＝45°，连接MN．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，点M也与点A重合，当点P与点B重合时，y的值为0）
小超根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
4.2
2.9
2.6
2.0
1.6
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当MN＝2AP时，AP的长度约为 cm．
25．（6分）某部门为新的生产线研发了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，在相同条件下与人工操作进行了抽样对比．过程如下，请补充完整．
收集数据对同一个生产动作，机器人和人工各操作20次，测试成绩（十分制）如下：
机器人
8.0
8.1
8.1
8.1
8.2
8.2
8.3
8.4
8.4
9.0
9.0
9.0
9.1
9.1
9.4
9.5
9.5
9.5
9.5
9.6
人工
6.1
6.2
6.6
7.2
7.2
7.5
8.0
8.2
8.3
8.5
9.1
9.6
9.8
9.9
9.9
9.9
10
10
10
10
整理、描述数据按如下分段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
人数
生产方式
6≤x＜7
7≤x＜8
8≤x＜9
9≤x≤10
机器人
0
0
9
11
人工
（说明：成绩在9.0分及以上为操作技能优秀，8.0～8.9分为操作技能良好，6.0～7.9分为操作技能合格，6.0分以下为操作技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：
平均数
中位数
众数
方差
机器人
8.8
9.5
0.333
人工
8.6
10
1.868
得出结论
（1）如果生产出一个产品，需要完成同样的操作200次，估计机器人生产这个产品达到操作技能优秀的次数为 ；
（2）请结合数据分析机器人和人工在操作技能方面各自的优势： ．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．
（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）记函数（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
27．（7分）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．
（1）如图，若OA＝1，OP＝，依题意补全图形；
（2）若OP＝，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；
（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA＝1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．
28．（7分）M（﹣1，﹣），N（1，﹣）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
（1）在点，，，A4（2，2）中，线段MN的可视点为 ；
（2）若点B是直线y＝x+上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．
2019年北京市朝阳区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列轴对称图形中只有一条对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、扇形只有一条对称轴，故此选项符合题意；
B、矩形有2条对称轴，故此选项不符合题意；
C、等边三角形有3条对称轴，故此选项不符合题意；
D、圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（2分）2019年4月25﹣27日，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，自“一带一路”倡议提出以来，五年之间，北京市对外贸易总额累计约30000亿美元，年均增速1.5%．将30000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.0×103 B．0.3×104 C．3.0×104 D．0.3×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：30000＝3.0×104，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．四棱柱
【分析】根据四棱柱的展开图解答．
【解答】解：由图可知，这个几何体是四棱柱．
故选：D．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记四棱柱的展开图的形状是解题的关键．
4．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．ac＞0 B．|b|＜|c| C．a＞﹣d D．b+d＞0
【分析】首先根据数轴，写出a，b，c，d的取值范围，然后根据四个现象进行逐个判断
【解答】解：根据数轴，﹣4＜a＜﹣3，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，2＜d＜3，
∵﹣4＜a＜﹣3，0＜c＜1，∴ac＜0，故A错误；
∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，故|c|＜|b|，故B错误；
∵﹣4＜a＜﹣3，2＜d＜3，∴﹣3＜﹣d＜﹣2，故a＜﹣d，故C错误；
∵﹣2＜b＜﹣1，2＜d＜3，∴b+d＞0，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查实数与数轴以及实数的大小比较，熟练实数相关知识点是解答此题的关键．
5．（2分）如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】根据垂线的定义和三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据等腰三角形的性质可求∠BCA的度数，再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DCA＝20°，
∴∠BAC＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BCA＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝70°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6．（2分）如果x﹣3y＝0，那么代数式的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．3
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x＝3y代入化简可得．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
∵x﹣3y＝0，
∴x＝3y，
则原式＝＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
7．（2分）某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A，B，C，D四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍．为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：
根据以上信息，下列推断合理的是（ ）
A．改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化
B．改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍
C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少
D．改进生产工艺后，D级产品的数量减少
【分析】设原生产总量为1，则改进后生产总量为2，所以原A、B、C、D等级的生产量为0.3、0.37、0.28、0.05，改进后四个等级的生产量为0.6、1.2、0.12、0.08，据此逐一判断即可得．
【解答】解：设原生产总量为1，则改进后生产总量为2，
所以原A、B、C、D等级的生产量为0.3、0.37、0.28、0.05，
改进后四个等级的生产量为0.6、1.2、0.12、0.08，
A．改进生产工艺后，A级产品的数量增加，此选项错误；
B．改进生产工艺后，B级产品的数量增加超过三倍，此选项错误；
C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少，此选项正确；
D．改进生产工艺后，D级产品的数量增加，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
8．（2分）小明使用图形计算器探究函数y＝的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【分析】由图象可知，当x＞0时，y＞0，可知a＞0；图象的右侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向右平移，则b＞0；
【解答】解：由图象可知，当x＞0时，y＞0，
∴a＞0；
∵图象的右侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向右平移，
∴b＞0；
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定b的取值是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣ ．
【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：由题意得，2x+1≠0，
解得x≠﹣．
故答案为x≠﹣．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（2分）颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝ 45 °．
【分析】利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：360°÷8＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，明确任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．
11．（2分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1 ＜ y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5可知，其图象开口向上，且对称轴为x＝2，
∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，
∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
12．（2分）水果在物流运输过程中会产生一定的损耗，下表统计了某种水果发货时的重量和收货时的重量．
发货时重量（kg）
100
200
300
400
500
600
1000
收货时重量（kg）
94
187
282
338
435
530
901
若一家水果商店以6元/kg的价格购买了5000kg该种水果，不考虑其他因素，要想获得约15000元的利润，销售此批水果时定价应为 10 元/kg．
【分析】根据表格中的数据可知，损耗率约等于10%，然后根据题意，即可列出相应的方程，从而可以得到水果的定价．
【解答】解：设销售此批水果时定价为x元/kg，
由表格可知，水果的损耗接近10%，
则5000×（1﹣10%）x﹣5000×6＝15000，
解得，x＝10
答：销售此批水果时定价应为10元/kg，
故答案为：10．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．
13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB＝ 30 °．
【分析】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，根据折叠的性质得到OE＝OF，根据直角三角形的性质解答．
【解答】解：作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，
由折叠的性质可知，EF＝OE＝OF，
∴OE＝OA，
在Rt△AOE中，OE＝OA，
∴∠CAB＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．（2分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为 9 ．
【分析】根据正方形的性质得OB＝OD，AD∥BC，根据三角形相似的性质和判定得：＝，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴△BEF∽△DEA，
∴，
∵E是OB的中点，
∴，
∴＝，
∴＝，
∵△BEF的面积为1，
∴△AEB的面积为3，
∵，
∴＝，
∴△AED的面积为9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形面积，三角形相似的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是关键．
15．（2分）世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉），两种计量之间有如下的对应表：
摄氏温度（℃）
0
10
20
30
40
50
华氏温度（℉）
32
50
68
86
104
122
由上表可以推断出，华氏0度对应的摄氏温度是 ℃，若某一温度时华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等，则此温度为 ﹣40 ℃．
【分析】（1）设摄氏温度为x（℃）与华氏温度为y（℉）之间的函数关系式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解析式，把y＝0代入解析式即可解答；
（2）当y＝x时，代入解析式求出x的值就可以得出结论．
【解答】解：（1）设摄氏温度为x（℃）与华氏温度为y（℉）之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得
，解得，
即y＝1.8x+32．
当y＝0时，1.8x+32＝0，解得．
故答案为：；
（2）当y＝x时，x＝1.8x+32，
解得：x＝﹣40．
因此当华氏﹣40度时，摄氏也是﹣40度．
故答案为：﹣40
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
16．（2分）某公园门票的收费标准如下：
门票类别
成人票
儿童票
团体票（限5张及以上）
价格（元/人）
100
40
60
有两个家庭分别去该公园游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果一家比另一家少花40元，则花费较少的一家花了 260 元．
【分析】设花费较少的一家花了x元，由一家比另一家少花40元（由每个家庭出外游玩至少有一个成人可得出花费较多的家庭购买的是团体票），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论（结论正好为1个成人4个儿童购票钱数）．
【解答】解：设花费较少的一家花了x元，
依题意，得：x+40＝60×5，
解得：x＝260．
故答案为：260．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）计算：．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、负指数幂、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2×++4﹣2＝++4﹣2＝4．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可．
【解答】解：原不等式组为
解不等式①得，．
解不等式②得，x＜2．
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的所有整数解为﹣1，0，1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（5分）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；
②作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BP，
∵ BP ＝ BA ＝ BQ ＝AP，
∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．
∴∠APQ＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）．（填写推理的依据）
即PQ⊥l．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到BP＝BA＝BQ＝AP，利用圆的定义得到点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．然后根据圆周角定理得到∠APQ＝90°．
【解答】解：（1）如图，
（2）证明：连接BP，
∵BP＝BA＝BQ＝AP，
∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．
∴∠APQ＝90°（直径所对的圆周角是直角），
即PQ⊥l．
故答案为BP，BA，BQ，直径所对的圆周角是直角．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了圆周角定理．
20．（5分）关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根．
（1）求实数m，n需满足的条件；
（2）写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）先计算判别式得到△＝﹣4mn，根据非负数的性质得到△≥0，依此可得实数m，n需满足的条件；
（2）取m＝1，n＝0，则方程化为x2﹣2x+1＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根，
∴m≠0，
△＝（﹣2m）2﹣4m（m+n）＝﹣4mn≥0，
∴mn≤0．
∴实数m，n需满足的条件为mn≤0且m≠0．
（2）答案不唯一，如：m＝1，n＝0．
此时方程为x2﹣2x+1＝0．
解得x1＝x2＝1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AB，推出四边形BECD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）取BE中点G，连接FG．由（1）可知，FB＝FC＝FE，得到FG＝CE＝1，FG⊥BE，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°．
∴▱BECD是矩形；
（2）解：如图，取BE中点G，连接FG．
由（1）可知，FB＝FC＝FE，
∴FG＝CE＝1，FG⊥BE，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠DAB＝30°．
∴BG＝．
∴AB＝BE＝．
∴AG＝，
∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF＝
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，含30°交的直角三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
22．（5分）如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，sinB＝，求EF的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到∠DAB＝90°，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°．由等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）解直角三角形得到DE＝，BE＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝90°，
∴∠CAD+∠CAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠B，
∵CE＝CD，
∴AE＝AD，
∴∠CAE＝∠CAD＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠CAE＝∠F，
∴AC＝CF；
（2）解：由（1）可知，sin∠CAE＝sin∠CAD＝sinB＝．
∵AB＝4，
∴在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝5，
∴在Rt△ACD中，CD＝，
∴DE＝，BE＝，
∵∠CEF＝∠AEB，∠B＝∠F，
∴△CEF～△AEB．
∴．
∴EF＝．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过点P（3，4）．
（1）求k的值；
（2）求OP的长；
（3）直线y＝mx（m≠0）与反比例函数的图象有两个交点A，B，若AB＞10，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据勾股定理即可求得；
（3）由（2）可知当A（﹣3，﹣4），B（3，4）或A（﹣4，﹣3），B（4，3）时，AB＝10，此时m＝或m＝，若AB＞10，则或．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点P（3，4），
∴k＝12，
（2）过点P作PE⊥x轴于点E．
∵点P（3，4），
∴OE＝3，PE＝4．
∴在Rt△EOP中，由勾股定理可求OP＝5；
（3）由（2）可知，当A（﹣3，﹣4），B（3，4）或A（﹣4，﹣3），B（4，3）时，AB＝10，m＝或m＝
若AB＞10，则或．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理的应用．
24．（6分）如图，P是半圆O中所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交于点M，作射线PN交于点N，使得∠NPB＝45°，连接MN．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，点M也与点A重合，当点P与点B重合时，y的值为0）
小超根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
4.2
2.9
2.6
2.0
1.6
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当MN＝2AP时，AP的长度约为 1.4 cm．
【分析】（1）当x＝3时，点P与点O重合，连接M′N′、N′B，即可求解；
（2）描点绘绘制即可；
（3）从图象查找当MN＝2AP时的AP值即可．
【解答】解：（1）当x＝3时，点P与点O重合，连接M′N′、N′B，过点N′作HN′⊥AB交点B，
则M′N′＝N′B＝＝＝2.2965≈2.3，
故答案为2.3，如下表格：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
4.2
2.9
2.6
2.3
2.0
1.6
0
（2）描绘的图象如下所示：
（3）从图象可以看出：当MN＝2AP时，AP的长度约为1.4，
故答案为1.4．
【点评】本题考查圆的综合运用，涉及到函数图象作图、解直角三角形等知识点，通常按照题设顺序顺次求解．
25．（6分）某部门为新的生产线研发了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，在相同条件下与人工操作进行了抽样对比．过程如下，请补充完整．
收集数据对同一个生产动作，机器人和人工各操作20次，测试成绩（十分制）如下：
机器人
8.0
8.1
8.1
8.1
8.2
8.2
8.3
8.4
8.4
9.0
9.0
9.0
9.1
9.1
9.4
9.5
9.5
9.5
9.5
9.6
人工
6.1
6.2
6.6
7.2
7.2
7.5
8.0
8.2
8.3
8.5
9.1
9.6
9.8
9.9
9.9
9.9
10
10
10
10
整理、描述数据按如下分段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
人数
生产方式
6≤x＜7
7≤x＜8
8≤x＜9
9≤x≤10
机器人
0
0
9
11
人工
3
3
4
（说明：成绩在9.0分及以上为操作技能优秀，8.0～8.9分为操作技能良好，6.0～7.9分为操作技能合格，6.0分以下为操作技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：
平均数
中位数
众数
方差
机器人
8.8
9.0
9.5
0.333
人工
8.6
8.8
10
1.868
得出结论
（1）如果生产出一个产品，需要完成同样的操作200次，估计机器人生产这个产品达到操作技能优秀的次数为 110 ；
（2）请结合数据分析机器人和人工在操作技能方面各自的优势： 机器人的样本数据的平均数和中位数都明显高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定．人工的样本数据的众数为10，机器人的样本数据的最大值为9.6，可以推断人工的优势在于能完成一些最高水平的操作． ．
【分析】（1）根据三数定义和方差计算公式分别计算得出答案；
（2）计算出抽测的20次的优秀所占比例，再乘以200即可；
（3）根据（1）中所得数据进行全面分析即可．
【解答】解：补全表格如下：
6≤x＜7
7≤x＜8
8≤x＜9
9≤x≤10
机器人
0
0
9
11
人工
3
3
4
10
平均数
中位数
众数
方差
机器人
8.8
9.0
9.5
0.333
人工
8.6
8.8
10
1.868
（1）×200＝110；
（2）机器人的样本数据的平均数和中位数都明显高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定．人工的样本数据的众数为10，机器人的样本数据的最大值为9.6，可以推断人工的优势在于能完成一些最高水平的操作．
【点评】此题主要考查了方差和众数、中位数、平均数，关键是掌握三数定义和方差的计算公式．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．
（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）记函数（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2a2x的对称轴是直线，
∴点P的坐标是（a，0）；
（2）由题意可知图形M为线段AB，A（﹣1，3），B（3，0）．
当抛物线经过点A时，解得或a＝1；
当抛物线经过点B时，解得．……………………………………………………（3分）
如图1，当时，抛物线与图形M恰有一个公共点．
如图2，当a＝1时，抛物线与图形M恰有两个公共点．
如图3，当时，抛物线与图形M恰有两个公共点．
结合函数的图象可知，当或0＜a＜1或时，抛物线与图形M恰有一个公共点．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键．
27．（7分）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．
（1）如图，若OA＝1，OP＝，依题意补全图形；
（2）若OP＝，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；
（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA＝1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．
【分析】（1）由已知可知PA⊥OA，PA＝1由旋转性质可知PC＝PA＝1，PC平行OA，CD＝AB＝1，即可根据旋转画出图形．
（2）作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点F．当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA＝EC．即可求出OA的取值范围．
（3）由圆的最大弦是直径可知当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD＝1，Q在CD的中点，由（2）可知此时EQ＝，即可计算OP、OQ的长．
【解答】解：（1）∵OA＝1，OP＝，∠MON＝45°，
∴PA⊥OA，PA＝1
∴OC∥OA，PC＝1．
由旋转性质可知：PC⊥CD，CD＝AB＝1，
∴D正好落在OM上．
补全图形，如图1所示．
（2）如图2，作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点F．
∵OP＝，∠MON＝45°，
∴OE＝2．
由题意可知，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA＝EC．
如图2，当点D与点F重合时，OA取得最小值为1．
如图3，当点C与点F重合时，OA取得最大值为2．
综上所述，OA的取值范围是1≤OA≤2．
（3）如图4．作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点Q．
当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD＝1，Q在CD的中点，QC＝
由（2）可知CE＝OA＝1，
∴QE＝，
∵∠MON＝45°，
∴OP＝，OQ＝．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是根据旋转的性质找到OA＝CE，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
28．（7分）M（﹣1，﹣），N（1，﹣）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
（1）在点，，，A4（2，2）中，线段MN的可视点为 A1，A3 ；
（2）若点B是直线y＝x+上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN的可视点在以E为圆心，EM长为半径的⊙E的内部或⊙E上，根据坐标可以判断哪些点符合要求．
（2）点B既要在直线y＝x+上，又要⊙E的内部或圆上，且在⊙G的外部或圆上，故应该在直线y＝x+与⊙G、⊙E的交点E、F为端点的线段上，求出E、F的横坐标即可．
（3）通过求极点，可求b的范围．
【解答】解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F，
∵MN是⊙G的直径，
∴∠MA1N＝90°，
∵M（﹣1，﹣），N（1，﹣）
∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2
∴EM＝EF＝，
∴∠MFN＝∠MEN＝45°，
∵45°≤∠MPN≤90°，
∴点P应落在⊙E内部，且落在⊙G外部
∴线段MN的可视点为A1，A3；
故答案为A1，A3；
（2）如图2，以（0，）为圆心，1为半径作圆，以（0，）为圆心，为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线分别交于点E，F．
过点F作FH⊥x轴，过点E作EH⊥FH于点H，
∵FH⊥x轴，
∴FH∥y轴，
∴∠EFH＝∠MEG＝45°，
∵∠EHF＝90°，EF＝，
∴EH＝FH＝1，
∴E（0，），F（1，）．
只有当点B在线段EF上时，满足45°≤∠MBN≤90°，点B是线段MN的可视点．
∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1．
（3）如图3，⊙G与x轴交于H，与y轴交于E，连接GH，OG＝，GH＝1，
∴OH＝＝＝，
∴H（，0），E（0，），
当直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，
若直线y＝x+b过点E（0，），可得b＝，
若直线y＝x+b过点H（，0），可得b＝﹣
若直线y＝x+b过点N，
将 N（1，﹣）代入得b＝﹣，
当直线y＝x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q，连接ET，则ET⊥TQ，
∵∠EQT＝45°，
∴TQ＝ET＝EM＝，
∴EQ＝＝＝2
∴OQ＝OE+EQ＝+2＝，
∴﹣≤b≤﹣或≤b≤．
综上所述：﹣≤b≤﹣或≤b≤．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角、圆心角的性质，解题关键要将可视点转化为圆内点、圆上点、圆外点分别对弦的视角问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/6/19 16:03:23；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080
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