北京市朝阳区2022年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．下列计算正确的是(   )

A．2x﹣x＝1 B．x2•x3＝x6

C．(m﹣n)2＝m2﹣n2 D．(﹣xy3)2＝x2y6

2．下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3=a6    B．a3+a2=a5    C．（a2）4=a8    D．a3﹣a2=a

3．计算－5x2－3x2的结果是(   )

A．2x2 B．3x2 C．－8x2 D．8x2

4．以下各图中，能确定的是（    ）

A． B． C． D．

5．每个人都应怀有对水的敬畏之心，从点滴做起，节水、爱水，保护我们生活的美好世界．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的统计量不会发生改变的是（　　）

A．平均数、中位数    B．众数、中位数    C．平均数、方差    D．众数、方差

6．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：”.

小明的做法：原式；

小亮的做法：原式；

小芳的做法：原式．

其中正确的是（    ）

A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的

7．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ）

A． B． C． D．

8．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（　　）

A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③

9．如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m2，广告牌所占的面积是 30m2（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m2，设矩形面积是xm2，三角形面积是ym2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（　　）

A． B． C． D．

10．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率

B．抛一枚硬币，出现正面的概率

C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率

D．任意写一个整数，它能被2整除的概率

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为____．

12．如图，路灯距离地面6，身高1.5的小明站在距离灯的底部（点）15的处，则小明的影子的长为________．

13．化简3m﹣2（m﹣n）的结果为_____．

14．因式分解：4ax2﹣4ay2=_____．

15．比较大小：_______3（填“”或“”或“”）

16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．

17．不等式组的解是____.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）计算：.化简：.

19．（5分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．

（1）求∠BCD的度数．

（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）

20．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点，点D是弧BC中点，过点D作⊙O切线DF，连接AC并延长交DF于点E．

（1）求证：AE⊥EF；

（2）若圆的半径为5，BD＝6  求AE的长度．

21．（10分）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．若∠A＝n°，求∠BOC的度数．

22．（10分）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．

23．（12分）如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．

24．（14分）如图,甲、乙用4张扑克牌玩游戏,他俩将扑克牌洗匀后背面朝上,放置在桌面上,每人抽一张,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回.甲、乙约定:只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜;否则乙胜.请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同 .

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
根据合并同类项的法则，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

解：A、2x-x=x，错误；

B、x2•x3=x5，错误；

C、(m-n)2=m2-2mn+n2，错误；

D、(-xy3)2=x2y6，正确；

故选D．

【点睛】

考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果．

2、C

【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．

【详解】

A、a2•a3=a5，故原题计算错误；

B、a3和a2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；

C、（a2）4=a8，故原题计算正确；

D、a3和a2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，以及合并同类项，关键是掌握计算法则．

3、C

【解析】
利用合并同类项法则直接合并得出即可．

【详解】

解： 

故选C.

【点睛】

此题主要考查了合并同类项，熟练应用合并同类项法则是解题关键．

4、C

【解析】
逐一对选项进行分析即可得出答案．

【详解】

A中，利用三角形外角的性质可知，故该选项错误；

B中，不能确定的大小关系，故该选项错误；

C中，因为同弧所对的圆周角相等，所以，故该选项正确；

D中，两直线不平行，所以，故该选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．

5、B

【解析】
由频数分布表可知后两组的频数和为4，即可得知频数之和，结合前两组的频数知第6、7个数据的平均数，可得答案．

【详解】

∵6吨和7吨的频数之和为4-x+x=4，

∴频数之和为1+2+5+4=12，

则这组数据的中位数为第6、7个数据的平均数，即=5，

∴对于不同的正整数x，中位数不会发生改变，

∵后两组频数和等于4，小于5，

∴对于不同的正整数x，众数不会发生改变，众数依然是5吨.

故选B．

【点睛】

本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义和计算方法是解题的关键．

6、C

【解析】

试题解析：

=

=

=

=

=1．

所以正确的应是小芳．

故选C．

7、A

【解析】
列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：

【详解】

列表如下：

∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，

∴，

故选A.

8、D

【解析】
∵在▱ABCD中，AO=AC，

∵点E是OA的中点，

∴AE=CE，

∵AD∥BC，

∴△AFE∽△CBE，

∴=，

∵AD=BC，

∴AF=AD，

∴；故①正确；

∵S△AEF=4， =（）2=，

∴S△BCE=36；故②正确；

∵ =，

∴=，

∴S△ABE=12，故③正确；

∵BF不平行于CD，

∴△AEF与△ADC只有一个角相等，

∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故选D．

9、A

【解析】
根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积﹣阴影面积＝30；②（矩形面积﹣阴影面积）﹣（三角形面积﹣阴影面积）＝4，据此列出方程组．

【详解】

依题意得：

．

故选A．

【点睛】

考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．

10、C

【解析】

解：A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误；

B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；

C．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：≈0.33；故此选项正确；

D．任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误．

故选C．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、2

【解析】
解：如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，

∵AB=AC，点E为BD的中点，且AD=AB，

∴设BE=DE=x，则AD=AF=1x．

∵DG⊥AC，EF⊥AC，

∴DG∥EF，∴，即，解得．

∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=1．

又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，

∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴，即，解得．

在Rt△ABH中，由勾股定理，得．

∴．

又∵△ADF∽△ABC，∴，

∴

∴．

故答案为：2．

12、1．

【解析】
易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．

【详解】

解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知

，

即，
解得AM=1m．则小明的影长为1米．
故答案是：1．

【点睛】

本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．

13、m+2n

【解析】分析：先去括号，再合并同类项即可得．

详解：原式=3m-2m+2n=m+2n，

故答案为：m+2n．

点睛：本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号与合并同类项的法则．

14、4a（x﹣y）（x+y）

【解析】
首先提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式即可．

【详解】

4ax2-4ay2=4a（x2-y2）

=4a（x-y）（x+y）．

故答案为4a（x-y）（x+y）．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

15、>.

【解析】
先利用估值的方法先得到≈3.4，再进行比较即可.

【详解】

解：∵≈3.4，3.4>3.

∴>3.

故答案为：>.

【点睛】

本题考查了实数的比较大小，对进行合理估值是解题的关键.

16、

【解析】
根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．

【详解】

解：∵，

∴∠A＝60°，

∴．

故答案为．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．

17、

【解析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【详解】

解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≤1，
所以不等式组的解集是1＜x≤1，
故答案是：1＜x≤1．

【点睛】

考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）5；（2）-3x+4

【解析】
(1)第一项计算算术平方根，第二项计算零指数幂，第三项计算特殊角的三角函数值，最后计算有理数运算.

（2）利用完全平方公式和去括号法则进行计算，再进行合并同类项运算.

【详解】

（1）解：原式

（2）解：原式

【点睛】

本题考查实数的混合运算和整式运算，解题关键是熟练运用完全平方公式和熟记特殊角的三角函数值.

19、（1）38°；（2）20.4m．

【解析】
（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；

（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．

【详解】

（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；

（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确添加辅助线构建直角三角形、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

20、（1）详见解析；（2）AE＝6.1．

【解析】
(1)连接OD，利用切线的性质和三角形的内角和证明OD∥EA，即可证得结论；

(2)利用相似三角形的判定和性质解答即可．

【详解】

(1)连接OD，

∵EF是⊙O的切线，

∴OD⊥EF，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∵点D是弧BC中点，

∴∠EAD=∠OAD，

∴∠EAD=∠ODA，

∴OD∥EA，

∴AE⊥EF；

(2)∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∵圆的半径为5，BD=6 

∴AB=10，BD=6，

在Rt△ADB中，，

∵∠EAD=∠DAB，∠AED=∠ADB=90°，

∴△AED∽△ADB，

∴，

即，

解得：AE=6.1．

【点睛】

本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及圆周角定理，关键是利用切线的性质和相似三角形判定和性质进行解答．

21、（1）125°；（2）125°；（3）∠BOC=90°+n°．

【解析】
如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．

【详解】

如图，

∵BO、CO是角平分线，

∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

∴2∠1+2∠2+∠A=180°，

∵∠1+∠2+∠BOC=180°，

∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，

∴2∠BOC﹣∠A=180°，

∴∠BOC=90°+∠A，

（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，

∴∠BOC=90°+×70°=125°；

（2）∠BOC=90°+∠A=125°；

（3）∠BOC=90°+n°．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

22、,当x＝1时，原式＝﹣1．

【解析】
先化简分式，然后将x的值代入计算即可．

【详解】

解：原式＝

＝ .

且，

∴x的整数有，

∴取，

当时，

原式．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．

23、2.7米．

【解析】
先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．

【详解】

在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.2米，

∴AB2＝0.72+2.22＝6.1．

在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝1.5米，BD2+A′D2＝A′B′2，

∴BD2+1.52＝6.1，

∴BD2＝2．

∵BD＞0，

∴BD＝2米．

∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7米．

答：小巷的宽度CD为2.7米．

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

24、甲、乙获胜的机会不相同.

【解析】试题分析：先画出树状图列举出所有情况，再分别算出甲、乙获胜的概率，比较即可判断.

∴

∴甲、乙获胜的机会不相同.

考点：可能性大小的判断

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率的求法，即可完成.