人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试教学ppt课件

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第十八章专题：《平行四边形》最值问题（四）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF=60°，则△BEF周长的最小值是（　　）A．6          B．4             C．4+                 D．4+2【答案】D【解析】连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ADB与△CDB是等边三角形，
∴∠DBE=∠C=∠60°，BD=DC，
∵∠EDF=60°，∴∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△CDF中，∠DBE＝∠C，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，
∴△DBE≌△DCF，∴DE=DF，∠BDE=∠CDF，BE=CF，
∴∠EDF=∠BDC=60°，∴△DEF是等边三角形，
∵△BEF的周长=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF，
∴等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，
当DE⊥AB时，DE最小=2，∴△BEF的周长最小值为4+2，
 如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长___________。【答案】【解析】如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等边三角形．
∴BF=BG=F，．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．
∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=， 如图，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）A．2               B．2             C．           D．【答案】A【解析】连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．
∴所求最小值为2 如图，正方形ABCD的边长为6，EF为正方形ABCD的对称轴，交BC于F点，点G是对称轴EF上的一个动点，连接GC，将线段GC绕点C逆时针旋转90°得到HC，连接HF，则在点G运动过程中，HF的最小值是（　　）A．             B．2            C．2                D．3【答案】D【解析】如图所示，取CD的中点P，连接GP，
∵正方形ABCD的边长为6，EF为正方形ABCD的对称轴，
∴CP=CF=3，∠FCP=90°，
∵将线段GC绕点C逆时针旋转90°得到HC，∴CG=CH，∠HCG=90°，
∴∠PCG+∠GCF=∠FCH+∠GCF=90°，∴∠PCG=∠FCH，
在△PCG和△FCH中，CP＝CF,∠PCG＝∠FCH,CG＝CH，
∴△PCG≌△FCH（SAS），∴FH=PG，
∵点P到EF的距离为3，∴当GP⊥CD时，GP最短为3，此时，FH最短为3，
 如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF． EF的最小值为___________。 【答案】2【解析】矩形PECF中，EF=CP，所以当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小，
此时△BPC是等腰直角三角形，斜边为BC=4，则CP=2，所以EF的最小值为2， 如图，E、F是正方形ABCD边AD上的两个动点且AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为2，则线段DH长度的最小值为___________。 【答案】【解析】延长AG交CD于M，如图1，∵ABCD是正方形
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG
∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC
∴△ADM≌△CDF∴FD=DM且AE=DF
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°
∴△ABE≌△ADM,∴∠DAM=∠ABE
∵∠DAM+∠BAM=90°,∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°
∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH
∵AB=AD=2，O是AB中点，∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD=
∵DH≥OD-OH∴DH≥，∴DH的最小值为故选：A．  如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一点，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为___________。    【答案】5【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM=MP+CP=HE+EC=2+3=5，
                 如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值是___________。 【答案】2+2【解析】如图所示：
作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．∴A′E′==2，
∴四边形AEPQ的周长最小值=2+2．  如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为___________。 【答案】． 如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是___________。【答案】5【解析】作MG⊥DC于G，如图所示：
设MN=y，PC=x，
根据题意得：GN=5，MG=|10-2x|，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2=MG2+GN2，
即y2=52+（10-2x）2．
∵0＜x≤10，
∴当10-2x=0，即x=5时，y2最小值=25，
∴y最小值=5．即MN的最小值为5；
 如图，正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为___________。 【答案】5-2【解析】如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF=∠ODM=90°，∴∠EDO=∠FDM，
∵DE=DF，DO=DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，
∴OC=，∴OD=5，∴OM=5，
∵OF+MF≥OM，∴OF≥5-2，
∴线段OF长的最小值为5-2．
 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为BC边的中点，M为对角线BD上的一个动点．则下列线段的长等于AM+BM最小值的是（　　）A．AD            B．AE          C．BD          D．BE【答案】B【解析】如图，过点M作MF⊥BC于F，∵四边形ABCD是菱形
∴∠DBC=∠ABC=30°，且MF⊥BC，∴MF=BM
∴AM+BM=AM+MF，∴AM+BM最小值为AE