广东省深圳市坪山区弘金地学校2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

广东省深圳市坪山区弘金地学校2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是

A.
B.
C.
D.

4. 已知长方形的长和宽分别为和，其周长为，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点，则点的坐标是     

A.  B.  C.  D.

6. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，，且，则的度数是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在边上时，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在等边三角形中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
    点与的距离为；；．
    其中正确的结论是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 若，，则的值是______．
12. 如图，，的坐标为，若将线段平移至，则的值为______．

13. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是          ．
     

14. 若整数使关于的不等式组有且只有个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则下列选项中满足条件的整数有______．
    A.
    B.
    C.
    D.
15. 如图，中，，，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是______．

三．解答题（本题共7小题，共54分）

16. 分解因式：
    ；
    先因式分解，再计算求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
17. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度的三个顶点，，．
    将以点为旋转中心顺时针旋转，得到，请画出并写出点的坐标；
    平移，使点的对应点坐标为，请画出平移后对应的，并写出点的坐标；
    若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心点的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
19. 某商店准备购进一批冰箱和空调，每台冰箱的进价比每台空调的进价多元，商城购进台冰箱和台空调刚好花费元．
    求每台冰箱与空调的进价分别是多少？
    已知冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，现商城准备购进这两种家电共台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的倍，则该商店购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？
    
    
    
    
    
    
     
20. 阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
    解：设，
    原式第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    
    回答下列问题：
    该同学第二步到第三步运用了因式分解的______填代号．
    A.提取公因式
    B.平方差公式
    C.两数和的完全平方公式
    D.两数差的完全平方公式
    请你模仿以上方法，分解因式：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，点是等边内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，．
    求证：≌．
    若，，，求的度数．

22. 如图，已知点，过点作轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，连接，以为斜边在的上方构造等腰，连接．
    当的坐标为时，点的坐标是______ ；
    当点在轴正半轴上运动的时候，点是否在一直线上运动，如果是，请求出点所在直线的解析式；如果不是，请说明理由；
    在点的运动过程中，猜想与有怎样的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、是中心对称图形，但不是轴对称图形．故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，，正确；
B、，，正确；
C、，，正确；
D、，，错误；
故选：．
根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．
此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】
解：、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、因式分解错误，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：长方形的长和宽分别为和，其周长为，
，
则．
故选：．
直接利用矩形的性质结合完全平方公式计算得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】分析
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
本题考查了坐标的平移，掌握坐标平移变化规律是本题的解题关键．
解答
解：将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点，
点的横坐标为，纵坐标为，
的坐标为．
故选A．
 

6.【答案】
 

【解析】解：点在第二象限，
，
解得：，
故选：．
先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
本题考查不等式组的解法，数轴等知识，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法，属于中考常考题型．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用线段的垂直平分线的性质，推出，想办法证明是等边三角形即可解决问题．
【解答】
解：垂直平分线段，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，可证是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：为等边三角形，
，，
，，
，
，
，，
点是的中点，
，
，，，
，
故选：．
根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，，，即可得出的长．
本题考查了含角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含角直角三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：连结，如图，
线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，所以正确；
为等边三角形，
，，
，即，
在和中
，
≌，
，
在中，，，，
，
，
为等边三角形，
，
，所以正确；
≌，
，





，所以正确．
故选：．
连结，如图，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得；由为等边三角形得到，，则，然后根据“”可证明≌，则在中，由于，，，
则，于是可根据勾股定理的逆定理可得，加上为等边三角形得，所以；利用≌得，则．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了因式分解的应用，以及代入法求整式的值的应用，要熟练掌握．
首先把化为，然后把，代入，求出算式的值是多少即可．
【解答】
解：，，




故答案为：．  

12.【答案】
 

【解析】解：由题意可知：，
，
．
由图可得到点的纵坐标是如何变化的，让的纵坐标也作相应变化即可得到的值；看点的横坐标是如何变化的，让的横坐标也做相应变化即可得到的值，相加即可得到所求．
本题考查了平移中的坐标变化以及代数式求值，解决本题的关键是得到各点的平移规律．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
【解答】

解：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】解：解不等式组得：，
不等式组有且只有个整数解，
，
解得：，
整理分式方程，得：，
方程两边同时乘以，得：，
解得：，
分式方程的解为非负数，
且，
且，
解得：且，
满足条件的整数有，，，，
故答案为：．
解不等式组，根据其整数解的个数确定的取值范围，解分式方程，根据其解的非负性确定的取值．
本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，掌握解不等式组和解方程的步骤准确计算是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，，
，，，
，
是等边三角形，，
，
，
是等边三角形，
，，，
，
．
故答案为：．
首先证明，是等边三角形，推出是直角三角形即可解决问题．
本题考查旋转的性质、度角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明，是等边三角形，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：原式．
当时，原式


．
 

【解析】先提公因式，再用公式分解．
先因式分解，再求值．
本题考查因式分解及整式混合运算，选择正确的分解方法是求解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为：，
在数轴上表示解集为：
．
 

【解析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示不等式组的解集，关键是熟练掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
首先分别解出每一个不等式，然后根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定解集，然后在数轴上表示不等式组的解集即可．
 

18.【答案】解：如图所示，即为所求，；
如图所示，即为所求，；
旋转中心坐标．

 

【解析】利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
利用旋转图形的性质，得到对应点，对应点连线的交点即为旋转中心．
此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
 

19.【答案】解：设每台冰箱的进价为元，每台空调的进价为元，
由题意得，，
解得，
，
答：每台电冰箱进价为元，每台空调进价为元；
设购进冰箱台，利润为元，由题意可得，
，
购进空调数量不超过冰箱数量的倍，
，解得，
为正整数，，，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，
此时元，，
答：当购进冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元．
 

【解析】设每台冰箱的进价为元，每台空调的进价为元，由题意得，解方程可得答案；
设购进冰箱台，利润为元，则，再根据一次函数的性质可得最大利润．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意列出一次函数的关系式．
 

20.【答案】
 

【解析】解：，
第二步到第三步运用了因式分解的“两数和的完全平方公式”，
故答案为：；
设，





．
利用完全平方公式的意义，即可求解；
按照例题的分解方法进行分解即可．
本题考查了应用公式法分解因式，理解例题的分解方法是解题的关键．
 

21.【答案】证明：绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
．
解：，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
．
 

【解析】见答案
 

22.【答案】
 

【解析】解：设点，点，
过点作轴的平行线交过点于轴的平行线于点，交的延长线于点，

，，
，
，，
≌，
，，
即，，
即且，即点的坐标为，
当点时，即，
则，解得，，
故答案为；

点在一直线上运动，理由：
由知，，
即点所在直线的解析式为；

由、知，点、、的坐标分别为、、，
则，
而，
故，
即与的数量关系是：，
证明≌，则，，可得点的坐标为，进而求解；
由知，，即可求解；
由、知，点、、的坐标分别为、、，则，而，即可求解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等等，有一定的综合性，难度适中．