2021-2022学年广东省深圳市三校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省深圳市三校联考八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 若，则下列结论错误的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标为

A.  B.  C.  D.

6. 用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设

A. 四边形的四个角都是直角 B. 四边形的四个角都是锐角
C. 四边形的四个角都是钝角 D. 四边形的四个角都是钝角或直角

7. 若关于的方程有增根，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 下列说法正确的是

A. 若，则，
B. 有两边相等的两个直角三角形全等
C. 经过旋转，对应线段平行且相等
D. 若关于的不等式恰有个正整数解，则的最大值是

9. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，交于点，若，则的周长为

A.
B.
C.
D.

10. 在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点以下说法正确的有个
    ；；；；若，则．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 分解因式： ______ ．
12. 如图，直线与直线相交于点则关于的不等式的不等式的解为______．

13. 若，则的值是______．
14. 新安街道某段道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作天可完成，若单独施工，甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的倍．甲工程队单独完成此项工程需要______天．
15. 如图，为等腰直角三角形，，若，点为的中点，动点，满足，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）

16. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来；
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 因式分解：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中是满足的整数．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示．每个小方格都是边长为个单位长度的正方形．
    将沿轴方向向左平移个单位，画出平移后得到的；
    将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的．
    可看作由绕点旋转而成，点坐标为______．

20. 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．
    求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
    若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于不考虑其他因素，那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
    
    
    
    
    
    
     
21. 【问题情境】兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．经过小组合作交流，卓越小组得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接勤思小组得到的方法是，过点作直线的平行线，并交的延长线于点请结合两个小组提供的方法思考：
    图中，边上的中线长度的取值范围是______；
    【灵活运用】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
    【拓展延伸】如图，已知，点是的中点，点在线段上，若，，，求证．

22. 如图，在等边中，已知是的角平分线，为延长线上一点，以为一边且在以左作等边，连接．
    求证：；
    若，，求四边形的面积；
    在的条件下，延长，为射线上一点，，且，若点在射线上，且以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、不合因式分解的定义，故本选项错误；
C、左边右边，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项正确．
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
本题考查了因式分解的意义．正确把握因式分解的定义是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由题意，可得，
所以
故选：．
根据被开方数是非负数、除数不等于，确定的取值范围．
本题考查了一元一次不等式的解法及分式有意义的条件．本题易错，往往只注意了二次根式有意义的条件而忽略了除数不为．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由，可得，故本选项不合题意；
B.由，可得，所以，故本选项符合题意；
C.由可得，故本选项不合题意；
D.由可得，故本选项不合题意；
故选：．
根据不等式的性质在不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案．
此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：点的对应点为，
线段向右平移的距离为：，向下平移的距离为：，
点的对应点的坐标，
．
故选：．
先根据点、的坐标判断平移的方向与距离，再根据点的坐标计算出点的坐标即可．
本题主要考查了坐标与图形变化，掌握坐标的平移变化规律是解题的关键．在坐标平面内，左右平移时，点的横坐标改变；上下平移时，点的纵坐标改变．
 

6.【答案】
 

【解析】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，
可先假设四边形的四个角都是锐角，
故选：．
根据四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形的四个角都是锐角解答即可．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

7.【答案】
 

【解析】解：方程可变形为，
解得：．
原分式方程有增根，
，
解得：．
故选：．
解分式方程找出方程的根为，由此根为增根可得出，解之即可得出的值．
本题考查了分式方程的增根以及解分式方程，根据原分式方程有增根找出是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，
，同号，即，或，，故选项A不符合题意；
当一个直角三角形的两直角边和另一个直角三角形的一条直角边、一条斜边相等时，这两个直角三角形不全等，故选项B不符合题意；
经过旋转后，对应线段相等但不一定平行，故选项C不符合题意；
，
，
不等式恰有个正整数解，
，
，
的最大值是，故选项D符合题意，
故选：．
利用旋转的性质，全等三角形的判定，一元一次不等式的整数解依次判断可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，一元一次不等式的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由图中的尺规作图得：是的平分线，
则，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
同理：，
，
，
的周长，
故选：．
由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，，，

，
，
的平分线交于，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
≌，
，
，，
，
，，
的平分线交于，
，
，
又，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，故正确；
在中，，
，
，故错误；
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，则故正确．
综上所述：，共个．
故选C．
连接，，，根据证得≌，即可证得，可以判断正确；由已知，，，从而证得三个直角三角形，即：，，再通过已知，的平分线和对顶角得，即得为等腰三角形，，证明四边形是菱形，可以判断正确；根据等腰直角三角形的性质可以判断错误；根据等底等高的两个三角形面积相等可以判断正确．
此题考查的是菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质、定理是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．
 

12.【答案】
 

【解析】解：把代入得，解得，
，
时，，
关于的不等式的不等式的解为．
故答案为．
先利用解析式确定点坐标，然后结合图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：认真体会一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式


，
当时，
原式
．
故答案为：．
根据分式的加减运算进行化简，然后将代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：甲工程队单独完成此项工程需要天．
故答案为：．
设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据甲工程队完成的任务量乙工程队完成的任务量工程总量，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
 

15.【答案】
 

【解析】解：连接，将绕顺时针旋转得到，连接，，如图：

将线段绕点顺时针旋转得到线段，将绕顺时针旋转得到，
，，，
，
≌，
，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设线段交于，当运动到时，最小，最小值即为的长度，
，，，点为的中点，
，
，
，
，即线段的最小值为，
故答案为：．
连接，将绕顺时针旋转得到，连接，，根据将线段绕点顺时针旋转得到线段，将绕顺时针旋转得到，可证明≌，即得，可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设线段交于，当运动到时，最小，最小值即为的长度，由，，，点为的中点，可得，即得，故线段的最小值为．
本题考查直角三角形中的旋转变换，涉及全等三角形判定与性质，勾股定理应用等，解题的关键是求出点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式组的解集如图所示：


，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，并把其解集表示在数轴上，即可解答；
按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；
．
，
．
 

【解析】利用提公因式法进行分解，即可解答；
先利用完全平方公式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

18.【答案】解：



，
，，时，原分式无意义，是满足的整数，
，
当时，原式．
 

【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后从中选取使得原分式有意义的整数，代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

19.【答案】
 

【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
可看作由绕点旋转而成，点坐标为．
故答案为：．

利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：设第一次购进冰墩墩个，则第二次购进冰墩墩个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩个．
由知，第二次购进冰墩墩的数量为个．
设每个冰墩墩的标价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每个冰墩墩的标价至少为元．
 

【解析】设第一次购进冰墩墩个，由题意：第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．列出分式方程，解方程即可；
设每个冰墩墩的标价为元，由题意：全部销售完后的利润率不低于，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】
 

【解析】解：延长到，使，连接，

是边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
，
故答案为：；

解：结论：．
理由：如图中，延长，交于点，

，
，
在和中，
，
≌，
，
是的平分线，
，
，
，
，
；

证明：如图，延长交的延长线于点，

是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
延长到，使，连接，证≌，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可．
结论：延长，交于点，证明≌，推出，再证明即可解决问题．
如图，延长交的延长线于点，证明是等腰三角形，可得结论．
本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

22.【答案】证明：，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
．

解：，平分，
，，
≌，
，




．

解：当点中点的右侧时，作于．
≌，
，
，
，
在中，，
在中，，，
．
当点在线段上时，若，则．
若，则．
若，设则有，
解得，
，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
 

【解析】只要证明≌即可；
由≌，可知，推出，由此即可解决问题；
作于由≌，推出，推出，分两种情形，分别解直角三角形即可解决问题；
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考压轴题．