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2021-2022学年广东省深圳市龙岗区新亚洲学校八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广东省深圳市龙岗区新亚洲学校八年级（上）期中数学试卷 解析版，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市龙岗区新亚洲学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每道3分，共30分）
1．（3分）在以下实数：，，﹣，（）2，3.1415926，0.7171，0.141441444…中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）下面四组数，其中是勾股数的一组是（ ）
A．32，42，52 B．0.3，0.4，0.5
C．3，4，5 D．6，7，8
3．（3分）已知：n＝，则估算n的取值范围是（ ）
A．3＜n＜4 B．4＜n＜5 C．5＜n＜6 D．6＜n＜7
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2021，2022）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝16，则AB＝（ ）
A．2 B．12 C．2 D．20
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是（ ）
A．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同
C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同
7．（3分）如果P（a，b）在第三象限，那么点Q（a+b，ab）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）已知一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣kbx（k，b为常数，且kb≠0），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m2﹣1的值为（ ）
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
10．（3分）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每道3分，共15分）
11．（3分）点（﹣5，3）到y轴上的距离是 ．
12．（3分）已知一次函数y＝x+2，当﹣3≤x≤3时，y的最小值等于 ．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则CD＝ ．
14．（3分）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2021＝ ．
15．（3分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
三、解答题（共7小题）
16．（12分）计算：
（1）；
（2）解方程组：；
（3）解方程组：．
17．（5分）若是二元一次方程4x﹣3y＝10的一个解，求m的值．
18．（6分）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
19．（7分）如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的集装箱卡车能通过该隧道吗？
20．（8分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣6，0），点P（x，y）是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．
（1）在点P的运动过程，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式；
（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为15？求出此时点P的坐标．
21．（8分）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为P ；
（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为P ；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+2020的值．
22．（9分）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省深圳市龙岗区新亚洲学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每道3分，共30分）
1．（3分）在以下实数：，，﹣，（）2，3.1415926，0.7171，0.141441444…中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先根据二次根据的性质计算＝4，（）2＝3，再由无理数的概念解答即可．
【解答】解：＝4，（）2＝3，
∴在以下实数：，，﹣，（）2，3.1415926，0.7171，0.141441444…中，无理数有，0.141441444…共2个，
故选：A．
2．（3分）下面四组数，其中是勾股数的一组是（ ）
A．32，42，52 B．0.3，0.4，0.5
C．3，4，5 D．6，7，8
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】解：A、（32）2+（42）2≠（52 ），不能构成勾股数，故错误；
B、0.32+0.42＝0.52，但是它们不是整数，所以能不是勾股数，故错误；
C、32+42＝52能构成勾股数，故正确；
D、62+72≠82不能构成勾股数，故错误；
故选：C．
3．（3分）已知：n＝，则估算n的取值范围是（ ）
A．3＜n＜4 B．4＜n＜5 C．5＜n＜6 D．6＜n＜7
【分析】利用算术平方根的意义估算的大小即可．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴＜＜，
即3＜＜4，
故选：A．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2021，2022）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用第二象限内的点：横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出答案．
【解答】解：∵点P的坐标为P（﹣2021，2022），即横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴点P在第二象限．
故选：B．
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝16，则AB＝（ ）
A．2 B．12 C．2 D．20
【分析】根据勾股定理直接代入计算．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
即4+16＝AB2，
∵AB＞0，
∴AB＝2，
故选：C．
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是（ ）
A．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同
C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同
【分析】根据与x轴平行的直线上点的坐标特征计算判断．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，
∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同．
故选：C．
7．（3分）如果P（a，b）在第三象限，那么点Q（a+b，ab）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第三象限内点的坐标特征求出a、b的正负情况，然后对点Q的坐标进行判断即可．
【解答】解：∵P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴a+b＜0，ab＞0，
∴点Q（a+b，ab）在第二象限．
故选：B．
8．（3分）已知一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣kbx（k，b为常数，且kb≠0），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论：①k＞0，b＞0；②k＞0，b＜0；③k＜0，b＞0；④k＜0，b＜0．
【解答】解：①当k＞0，b＞0时，
y＝kx﹣b经过第一、三、四象限，y＝﹣kbx过第二、四象限；
②当k＞0，b＜0时，
y＝kx﹣b经过第一、二、三象限，y＝﹣kbx过第一、三象限；
③当k＜0，b＞0时，
y＝kx﹣b经过第二、三、四象限，y＝﹣kbx过第一、三象限；
④当k＜0，b＜0时，
y＝kx﹣b经过第一、二、四象限，y＝﹣kbx过第二、四象限；
∴符合条件的选项为D．
故选：D．
9．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m2﹣1的值为（ ）
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
【分析】先求解二元一次方程组得x＝，再由x是整数，m为正整数，可得3+m＝10或3+m＝5，求出m的值，再验证y值是否符合，即可求解．
【解答】解：，
①+②，得3x+mx＝10，
合并同类项，得（3+m）x＝10，
解得x＝，
∵x是整数，m为正整数，
∴3+m＞3，
∴3+m＝10或3+m＝5，
∴m＝7或m＝2，
当m＝7时，x＝1，y＝（舍），
当m＝2时，x＝2，y＝3，
∴m2﹣1＝3，
故选：B．
10．（3分）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每道3分，共15分）
11．（3分）点（﹣5，3）到y轴上的距离是 5 ．
【分析】确定点到y轴的距离，即为点的横坐标的绝对值．
【解答】解：点P（﹣5，3）到y轴的距离是|﹣5|＝5，
故答案为：5．
12．（3分）已知一次函数y＝x+2，当﹣3≤x≤3时，y的最小值等于 ﹣3 ．
【分析】由k＝＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣3≤x≤3，即可得出当x＝﹣3时y取得最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出y的最小值．
【解答】解：∵k＝＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵﹣3≤x≤3，
∴当x＝﹣3时，y取得最小值，此时y＝×（﹣3）+2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则CD＝ 4.8 ．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，然后再利用三角形的面积可得CD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中：AB＝＝10，
∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴×10×CD＝×6×8，
∴CD＝4.8，
故答案为：4.8．
14．（3分）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2021＝ ．
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，
∴OP4＝＝，
…，
OP2021＝．
故答案为：．
15．（3分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3.6或4.32或4.8 ．
【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AB＝3，S△ABC＝6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，
∴AB＝＝＝3，S△ABC＝AB•BC＝6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝3.6；
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，
作△ABC的高BD，则BD＝＝＝2.4，
∴AD＝DP＝＝1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝4.32；
③当CB＝CP＝4时，如图③所示，
S等腰△BCP＝S△ABC＝×6＝4.8；
④当BP＝CP时，点P在线段BC的垂直平分线上，
根据平行线分线段成比例定理得点P是AC的中点，
∴BP是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BP＝AP，
此时△ABP也是等腰三角形，不符合题意，舍去．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
三、解答题（共7小题）
16．（12分）计算：
（1）；
（2）解方程组：；
（3）解方程组：．
【分析】（1）根据乘法分配律，绝对值及立方根的定义化简，再相加减可求解；
（2）可利用加减消元法解二元一次方程组即可求解；
（3）先将原方程组化简，再利用加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2），
①×3+②×2得19x＝114，
解得x＝6，
将x＝6代入①得3×6+4y＝16，
解得y＝，
∴原方程组的解为；
（3）原方程组化简为，
①﹣②得﹣2y＝2，
解得y＝﹣1，
将y＝﹣1代入②得2x﹣（﹣1）＝6，
解得x＝，
∴原方程组的解为．
17．（5分）若是二元一次方程4x﹣3y＝10的一个解，求m的值．
【分析】把代入方程4x﹣3y＝10，得出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：把代入方程4x﹣3y＝10，
可得：12m+4﹣6m+6＝10，
解得：m＝0．
18．（6分）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；
（2）将a＝1代入m＝（a+6）2中，可得m的值；
（3）根据平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
19．（7分）如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的集装箱卡车能通过该隧道吗？
【分析】直接利用直角三角形的性质结合勾股定理得出CO的长，进而分析得出答案．
【解答】解：图中的长方形ABCD是卡车横截面的示意图，AB的中点O是隧道的截面半圆的圆心，
OB＝＝1.5m，BC＝2.4m，∠OBC＝90°，
在Rt△OBC中，由勾股定理，得OB2+BC2＝OC2，
即OC2＝BC2+OB2＝2.42+1.52＝8.01，
∵3.62＝12.96，
∴12.96＞8.01．
∴卡车能通过该隧道．
20．（8分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣6，0），点P（x，y）是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．
（1）在点P的运动过程，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式；
（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为15？求出此时点P的坐标．
【分析】（1）先求出点A的坐标，然后分x＞﹣8和当x＜﹣8进行讨论，即可求出S关于x的函数关系式；
（2）根据S和x的函数关系式和S的值，求P点坐标即可．
【解答】解：（1）直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令y＝x+4＝0，则x＝﹣8，
∴点A为（﹣8，0），
∵点P（x，y）是直线y＝x+4上的一个动点（点P不与点A重合）．
当x＞﹣8时，△OPC的面积S＝×|﹣6|×（x+4）＝x+12；
当x＜﹣8时，△OPC的面积S＝×|﹣6|×（﹣x﹣4）＝﹣x﹣12．
综上，△OPC的面积S与x之间的函数关系式为S＝；
（2）当△OPC的面积为S＝15时，
设x＞﹣8时，x+12＝15，
解得x＝2，
把x＝2代入得到y＝×2+4＝5，
∴点P的坐标为（2，5）；
设x＜﹣8时，﹣x﹣12＝15，
解得x＝﹣18，
把x＝﹣18代入得到y＝×（﹣18）+4＝﹣5；
∴点P的坐标为（﹣18，﹣5）；
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣18，﹣5）．
21．（8分）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为P （2，0） ；
（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为P （5，﹣1） ；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+2020的值．
【分析】（1）根据题意列出方程即可解决问题；
（2）根据题意列出方程即可解决问题；
（3）根据题意列出方程得出a的值代入即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意可得：2+a＝0，解得：a＝﹣2，
﹣3a﹣4＝6﹣4＝2，
所以点P的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）根据题意可得：﹣3a﹣4＝5，解得：a＝﹣3，
2+a＝﹣1，
所以点P的坐标为（5，﹣1），
故答案为：（5，﹣1）；
（3）根据题意可得：﹣3a﹣4＝﹣2﹣a，
解得：a＝﹣1，
﹣3a﹣4＝﹣1，2+a＝1，
（﹣1，1）在第二象限，
把a＝﹣1代入a2020+2020＝2021．
22．（9分）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；
（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB 上且AP＝3，写出P的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；
（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即可．
【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，
∴|a﹣3|＝0，＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；
（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，
∵AO＝3，
∴点P运动3秒时，点P在线段AB 上，且AP＝3，
∴点P的坐标是（3，3）；
如图，作PE∥AO．
∵CB∥AO，PE∥AO，
∴CB∥PE，
∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，
∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；
（3）存在．
∵t≠0，
∴点P可能运动到AB或BC或OC上．
①当点P运动到AB上时，2t≤7，
∵0＜t≤，PA＝2t﹣OA＝2t﹣3，
∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，
∴PA＝2×2﹣3＝1，
∴点P的坐标为（3，1）；
②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，
∵点P到x轴的距离为4，
∴t＝4，解得t＝8，
∵≤t≤5，
∴此种情况不符合题意；
③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，
∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，
∴14﹣2t＝t，解得：t＝，
∴PO＝﹣2×+14＝，
∴点P的坐标为（0，）．
综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．
2021-2022学年广东省深圳市龙岗区新亚洲学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每道3分，共30分）
1．（3分）在以下实数：，，﹣，（）2，3.1415926，0.7171，0.141441444…中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）下面四组数，其中是勾股数的一组是（ ）
A．32，42，52 B．0.3，0.4，0.5
C．3，4，5 D．6，7，8
3．（3分）已知：n＝，则估算n的取值范围是（ ）
A．3＜n＜4 B．4＜n＜5 C．5＜n＜6 D．6＜n＜7
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2021，2022）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝16，则AB＝（ ）
A．2 B．12 C．2 D．20
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是（ ）
A．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同
C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同
7．（3分）如果P（a，b）在第三象限，那么点Q（a+b，ab）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）已知一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣kbx（k，b为常数，且kb≠0），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m2﹣1的值为（ ）
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
10．（3分）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每道3分，共15分）
11．（3分）点（﹣5，3）到y轴上的距离是 ．
12．（3分）已知一次函数y＝x+2，当﹣3≤x≤3时，y的最小值等于 ．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则CD＝ ．
14．（3分）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2021＝ ．
15．（3分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
三、解答题（共7小题）
16．（12分）计算：
（1）；
（2）解方程组：；
（3）解方程组：．
17．（5分）若是二元一次方程4x﹣3y＝10的一个解，求m的值．
18．（6分）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
19．（7分）如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的集装箱卡车能通过该隧道吗？
20．（8分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣6，0），点P（x，y）是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．
（1）在点P的运动过程，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式；
（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为15？求出此时点P的坐标．
21．（8分）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为P ；
（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为P ；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+2020的值．
22．（9分）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省深圳市龙岗区新亚洲学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每道3分，共30分）
1．（3分）在以下实数：，，﹣，（）2，3.1415926，0.7171，0.141441444…中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先根据二次根据的性质计算＝4，（）2＝3，再由无理数的概念解答即可．
【解答】解：＝4，（）2＝3，
∴在以下实数：，，﹣，（）2，3.1415926，0.7171，0.141441444…中，无理数有，0.141441444…共2个，
故选：A．
2．（3分）下面四组数，其中是勾股数的一组是（ ）
A．32，42，52 B．0.3，0.4，0.5
C．3，4，5 D．6，7，8
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】解：A、（32）2+（42）2≠（52 ），不能构成勾股数，故错误；
B、0.32+0.42＝0.52，但是它们不是整数，所以能不是勾股数，故错误；
C、32+42＝52能构成勾股数，故正确；
D、62+72≠82不能构成勾股数，故错误；
故选：C．
3．（3分）已知：n＝，则估算n的取值范围是（ ）
A．3＜n＜4 B．4＜n＜5 C．5＜n＜6 D．6＜n＜7
【分析】利用算术平方根的意义估算的大小即可．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴＜＜，
即3＜＜4，
故选：A．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2021，2022）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用第二象限内的点：横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出答案．
【解答】解：∵点P的坐标为P（﹣2021，2022），即横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴点P在第二象限．
故选：B．
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝16，则AB＝（ ）
A．2 B．12 C．2 D．20
【分析】根据勾股定理直接代入计算．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
即4+16＝AB2，
∵AB＞0，
∴AB＝2，
故选：C．
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是（ ）
A．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同
C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同
【分析】根据与x轴平行的直线上点的坐标特征计算判断．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，
∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同．
故选：C．
7．（3分）如果P（a，b）在第三象限，那么点Q（a+b，ab）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第三象限内点的坐标特征求出a、b的正负情况，然后对点Q的坐标进行判断即可．
【解答】解：∵P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴a+b＜0，ab＞0，
∴点Q（a+b，ab）在第二象限．
故选：B．
8．（3分）已知一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣kbx（k，b为常数，且kb≠0），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论：①k＞0，b＞0；②k＞0，b＜0；③k＜0，b＞0；④k＜0，b＜0．
【解答】解：①当k＞0，b＞0时，
y＝kx﹣b经过第一、三、四象限，y＝﹣kbx过第二、四象限；
②当k＞0，b＜0时，
y＝kx﹣b经过第一、二、三象限，y＝﹣kbx过第一、三象限；
③当k＜0，b＞0时，
y＝kx﹣b经过第二、三、四象限，y＝﹣kbx过第一、三象限；
④当k＜0，b＜0时，
y＝kx﹣b经过第一、二、四象限，y＝﹣kbx过第二、四象限；
∴符合条件的选项为D．
故选：D．
9．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m2﹣1的值为（ ）
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
【分析】先求解二元一次方程组得x＝，再由x是整数，m为正整数，可得3+m＝10或3+m＝5，求出m的值，再验证y值是否符合，即可求解．
【解答】解：，
①+②，得3x+mx＝10，
合并同类项，得（3+m）x＝10，
解得x＝，
∵x是整数，m为正整数，
∴3+m＞3，
∴3+m＝10或3+m＝5，
∴m＝7或m＝2，
当m＝7时，x＝1，y＝（舍），
当m＝2时，x＝2，y＝3，
∴m2﹣1＝3，
故选：B．
10．（3分）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每道3分，共15分）
11．（3分）点（﹣5，3）到y轴上的距离是 5 ．
【分析】确定点到y轴的距离，即为点的横坐标的绝对值．
【解答】解：点P（﹣5，3）到y轴的距离是|﹣5|＝5，
故答案为：5．
12．（3分）已知一次函数y＝x+2，当﹣3≤x≤3时，y的最小值等于 ﹣3 ．
【分析】由k＝＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣3≤x≤3，即可得出当x＝﹣3时y取得最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出y的最小值．
【解答】解：∵k＝＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵﹣3≤x≤3，
∴当x＝﹣3时，y取得最小值，此时y＝×（﹣3）+2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则CD＝ 4.8 ．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，然后再利用三角形的面积可得CD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中：AB＝＝10，
∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴×10×CD＝×6×8，
∴CD＝4.8，
故答案为：4.8．
14．（3分）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2021＝ ．
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，
∴OP4＝＝，
…，
OP2021＝．
故答案为：．
15．（3分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3.6或4.32或4.8 ．
【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AB＝3，S△ABC＝6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，
∴AB＝＝＝3，S△ABC＝AB•BC＝6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝3.6；
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，
作△ABC的高BD，则BD＝＝＝2.4，
∴AD＝DP＝＝1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝4.32；
③当CB＝CP＝4时，如图③所示，
S等腰△BCP＝S△ABC＝×6＝4.8；
④当BP＝CP时，点P在线段BC的垂直平分线上，
根据平行线分线段成比例定理得点P是AC的中点，
∴BP是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BP＝AP，
此时△ABP也是等腰三角形，不符合题意，舍去．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
三、解答题（共7小题）
16．（12分）计算：
（1）；
（2）解方程组：；
（3）解方程组：．
【分析】（1）根据乘法分配律，绝对值及立方根的定义化简，再相加减可求解；
（2）可利用加减消元法解二元一次方程组即可求解；
（3）先将原方程组化简，再利用加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2），
①×3+②×2得19x＝114，
解得x＝6，
将x＝6代入①得3×6+4y＝16，
解得y＝，
∴原方程组的解为；
（3）原方程组化简为，
①﹣②得﹣2y＝2，
解得y＝﹣1，
将y＝﹣1代入②得2x﹣（﹣1）＝6，
解得x＝，
∴原方程组的解为．
17．（5分）若是二元一次方程4x﹣3y＝10的一个解，求m的值．
【分析】把代入方程4x﹣3y＝10，得出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：把代入方程4x﹣3y＝10，
可得：12m+4﹣6m+6＝10，
解得：m＝0．
18．（6分）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；
（2）将a＝1代入m＝（a+6）2中，可得m的值；
（3）根据平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
19．（7分）如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的集装箱卡车能通过该隧道吗？
【分析】直接利用直角三角形的性质结合勾股定理得出CO的长，进而分析得出答案．
【解答】解：图中的长方形ABCD是卡车横截面的示意图，AB的中点O是隧道的截面半圆的圆心，
OB＝＝1.5m，BC＝2.4m，∠OBC＝90°，
在Rt△OBC中，由勾股定理，得OB2+BC2＝OC2，
即OC2＝BC2+OB2＝2.42+1.52＝8.01，
∵3.62＝12.96，
∴12.96＞8.01．
∴卡车能通过该隧道．
20．（8分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣6，0），点P（x，y）是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．
（1）在点P的运动过程，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式；
（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为15？求出此时点P的坐标．
【分析】（1）先求出点A的坐标，然后分x＞﹣8和当x＜﹣8进行讨论，即可求出S关于x的函数关系式；
（2）根据S和x的函数关系式和S的值，求P点坐标即可．
【解答】解：（1）直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令y＝x+4＝0，则x＝﹣8，
∴点A为（﹣8，0），
∵点P（x，y）是直线y＝x+4上的一个动点（点P不与点A重合）．
当x＞﹣8时，△OPC的面积S＝×|﹣6|×（x+4）＝x+12；
当x＜﹣8时，△OPC的面积S＝×|﹣6|×（﹣x﹣4）＝﹣x﹣12．
综上，△OPC的面积S与x之间的函数关系式为S＝；
（2）当△OPC的面积为S＝15时，
设x＞﹣8时，x+12＝15，
解得x＝2，
把x＝2代入得到y＝×2+4＝5，
∴点P的坐标为（2，5）；
设x＜﹣8时，﹣x﹣12＝15，
解得x＝﹣18，
把x＝﹣18代入得到y＝×（﹣18）+4＝﹣5；
∴点P的坐标为（﹣18，﹣5）；
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣18，﹣5）．
21．（8分）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为P （2，0） ；
（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为P （5，﹣1） ；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+2020的值．
【分析】（1）根据题意列出方程即可解决问题；
（2）根据题意列出方程即可解决问题；
（3）根据题意列出方程得出a的值代入即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意可得：2+a＝0，解得：a＝﹣2，
﹣3a﹣4＝6﹣4＝2，
所以点P的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）根据题意可得：﹣3a﹣4＝5，解得：a＝﹣3，
2+a＝﹣1，
所以点P的坐标为（5，﹣1），
故答案为：（5，﹣1）；
（3）根据题意可得：﹣3a﹣4＝﹣2﹣a，
解得：a＝﹣1，
﹣3a﹣4＝﹣1，2+a＝1，
（﹣1，1）在第二象限，
把a＝﹣1代入a2020+2020＝2021．
22．（9分）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；
（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB 上且AP＝3，写出P的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；
（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即可．
【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，
∴|a﹣3|＝0，＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；
（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，
∵AO＝3，
∴点P运动3秒时，点P在线段AB 上，且AP＝3，
∴点P的坐标是（3，3）；
如图，作PE∥AO．
∵CB∥AO，PE∥AO，
∴CB∥PE，
∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，
∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；
（3）存在．
∵t≠0，
∴点P可能运动到AB或BC或OC上．
①当点P运动到AB上时，2t≤7，
∵0＜t≤，PA＝2t﹣OA＝2t﹣3，
∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，
∴PA＝2×2﹣3＝1，
∴点P的坐标为（3，1）；
②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，
∵点P到x轴的距离为4，
∴t＝4，解得t＝8，
∵≤t≤5，
∴此种情况不符合题意；
③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，
∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，
∴14﹣2t＝t，解得：t＝，
∴PO＝﹣2×+14＝，
∴点P的坐标为（0，）．
综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．
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