2021-2022学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是(    )

A. 有害垃圾 B. 厨余垃圾
C. 其它垃圾 D. 可回收物

2. 若，则下列各式中不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，有、两点，则点可看作是由点(    )

A. 向上平移个单位长度得到 B. 向下平移个单位长度得到
C. 向左平移个单位长度得到 D. 向右平移个单位长度得到

4. 如图，是的平分线，点到的距离为，点是上的任意一点，则线段的取值范围为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列命题是真命题的是(    )

A. 有两条边、一个角相等的两个三角形全等
B. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线
C. 全等三角形对应边上的中线相等
D. 有一个角是的三角形是等边三角形

6. 如图，在中，，，边的垂直平分线交于，交于点，若，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，直线，且分别与的两条边相交，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图中，，，，为的中点，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，现有下列结论：
    ；；平分；；
    其中正确的有(    )

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 若等腰三角形的一个底角是，则它的顶角是______．
12. 如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是______．

13. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______．

14. 如图，在中，，，，将绕顶点，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点恰好为的中点，则线段的长度为______．

15. 是边长为的等边三角形，点为直线上的动点，把线段绕点逆时针旋转至，为边上一动点，则的最小值为______．

三．解答题（本题共7小题，共55分）

16. 解不等式，并在数轴上表示其解集；
    解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
17. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点．
    先将竖直向上平移个单位，再水平向右平移个单位得到，请画出；
    将绕点顺时针旋转，得，请画出；
    求中点旋转到点所经过的弧长结果保留．

18. 如图，在中，，，将沿方向向右平移得到．
    试求出的度数；
    若，请求出的长度．
     

19. 如图，直线，的平分线交于点，的平分线交延长线于点．
    证明：；
    若，求的大小．

20. 如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
     

求证：是等腰三角形；

当时，求的度数．

21. 为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买台甲型设备比购买台乙型设备多元，购买台甲型设备比购买台乙型设备少元．

求、的值；
若购买该批设备的资金不超过元，且要求监控半径覆盖范围不低于米，两种型号的设备均要至少买一台，请你为学校设计购买方案，并计算最低购买费用．

22. 如图，已知中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上直角三角板的短直角边为，长直角边为，点在上，点在上．
    求重叠部分的面积；
    如图，将直角三角板绕点按顺时针方向旋转度，交于点，交于点，请说明；在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由；
    如图，将直角三角板绕点按顺时针方向旋转度，交于点，交于点，则的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？请直接写出结论不需说明理由
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时减去，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
B、在不等式的两边同时乘以，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
C、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意．
D、当时，不等式不一定成立，故本选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质进行解答．
考查了不等式的性质，做这类题时应注意：不等式的基本性质是有条件的，如果不符合其中的条件，那么运用此性质得出的结论是不对的．不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数不等于，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
点可看作是由点向上平移个单位长度得到，
故选：．
根据平移的规律即可得到结论．
本题考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键。
作于，根据角平分线的性质得到，得到答案。
【解答】
解：作于，

是的平分线，，

点是上的任意一点，


故选C。  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定等知识，属于基础题，比较简单．
利用全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定对各选项逐一判断后即可确定答案．
【解答】
解：两边及其夹角对应相等的三角形全等，故错误，为假命题；
B.等腰三角形的对称轴应是一条直线，故错误，为假命题；
C.正确，为真命题；
D.有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故错误，为假命题，
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：垂直平分线段，
，
，，
的周长为：，
故选：．
利用线段垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式计算可求解．
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：过作，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
是的中点，，
中，，
，，
的面积为．
故选：．
根据，可得和的度数，根据是的中点可以求得的长，从而可以求得和的长，本题得以解决．
本题考查含度角的直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

9.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有个整数解，
，
解得：，
故选：．
先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
本题主要考查的是不等式的解集，由不等式有个整数解判断出与的大小关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键。根据角平分线的性质可得；先求出，再根据直角三角形中角性质得到，，从而得到；先假设平分推出，是否等于不知道，从而得解；通过证明≌，得到，再根据线段关系即可求解。
【解答】
解：如图所示：连接、。

平分，，，

正确
，平分，



，

同理：

正确。
由题意可知：
假设平分，则则，
又


是否等于不知道，
不能判定平分，
故错误。
是的垂直平分线，

在和中

≌


又，

故正确。
故选C。  

11.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的一个底角是，
它的顶角．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理，可求出等腰三角形的顶角，此题得解．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，牢记等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意有的面积等于的面积是，．
根据三角形的面积公式，则边上的高是．
故答案为：．
根据成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等可得．
此题主要考查了中心对称，运用中心对称的性质进行分析计算得出是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出点坐标．
首先利用待定系数法求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
【解答】
解：函数过点，
，
解得：，
，
不等式的解集为．
故答案为：
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
点是的中点，
，
，
将绕顶点，按顺时针方向旋转到处，
，
，
故答案为：．
由勾股定理可求的长，由旋转的性质可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，作于．

是等边三角形，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，
，，
，
，
根据垂线段最短，可知的最小值，
故答案为．
如图，连接，作于首先证明，再求出平行线之间的距离即可解决问题．
本题考查旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

16.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
在数轴上表示解集为：

解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
不等式组的解集为：，
非负整数解为：，，． 

【解析】按照解不等式的步骤解不等式即可得出不等式的解集，在数轴上表示解集即可；
分别解这两个不等式，得到不等式组的解集，得到非负整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的整数解，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

中点旋转到点所经过的弧长 

【解析】利用网格特点和平移的性质画出点、、的对应点、、，即可得到；
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，即可得到；
根据弧长公式计算．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式和平移变换．
 

18.【答案】解：在中，，，
，
由平移得，；
由平移得，，
，，
，
． 

【解析】本题主要考查了平移的性质，注意：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等．
根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数；
根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长．
 

19.【答案】证明：的平分线交于点，
，
，
，
，
；
解：，，
，，
的平分线交延长线于点．
，
． 

【解析】由题意可得，，则，结论得证；
可求出，，可求出，则可求出．
本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中
，
≌，
，
是等腰三角形；

≌，
，，
，



 

【解析】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是，因此有一定的难度，属于中档题．
由，，，利用边角边定理证明≌，然后即可求证是等腰三角形．
根据可求出根据≌，利用三角形内角和定理即可求出的度数．
 

21.【答案】解：由题意得：，
解得；

设购买甲型设备台，则购买乙型设备台，依题意得
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则，
取值为或．
当时，购买所需资金为：元，
当时，购买所需资金为：元，
最省钱的购买方案为：购甲型设备台，乙型设备台． 

【解析】根据购买台甲型设备比购买台乙型设备多元，购买台甲型设备比购买台乙型设备少元，可列出方程组，解之即可得到、的值；
可设购买甲型设备台，则购买乙型设备台，根据购买该批设备的资金不超过元、监控半径覆盖范围不低于米，列出不等式组，根据的值确定方案，然后对所需资金进行比较，并作出选择．
本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．要会用分类的思想来解决讨论方案的问题．
 

22.【答案】解：连结．
，，
，
则的面积是；
作，分别于点，，
又，，
，
≌，
，
则四边形是正方形．


又
≌，
，
直角三角板绕点按顺时针方向旋转度，
此条件下重叠部分的面积等于正方形的面积是．
的结论仍成立，重叠部分的面积会变． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形和旋转的基本性质的知识点；正确理解题目中叙述的旋转过程，正确作出题目中的两条辅助线是解决本题的关键．
重叠部分是一个等腰直角三角形，求出其直角边，即可求解；
作，分别于点，，证明≌即可求得；
根据中的结论，可以直接写出．