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2022年天津市东丽区中考数学一模试卷
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这是一份2022年天津市东丽区中考数学一模试卷，共23页。
2022年天津市东丽区中考数学一模试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）计算6×（﹣9）的值是（ ）
A．54 B．﹣54 C．15 D．﹣3
2．（3分）2tan30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一天有8.64×104秒，一年如果按365天计算，一年有多少秒，用科学记数法表示为（ ）
A．3153.6×104 B．315.36×105 C．31.536×106 D．3.1536×107
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）估计2的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（），（﹣1，﹣），对角线相交于点O，则点C的坐标为（ ）
A．（） B．（） C．（1，﹣） D．（﹣1，）
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y＝图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，连接BD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CBA＝∠E B．∠ADE＝∠C C．AC∥BD D．AC＝BD
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象的对称轴是x＝1，经过点（x1，0），且﹣1＜x1＜0．现有下列结论：①abc＞0；②b﹣2a＜0；③a﹣b+c＞0；④2c＜3b．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算5a2﹣6a2的结果等于 ．
14．（3分）计算的结果等于 ．
15．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、4个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是 ．
16．（3分）把直线y＝﹣x﹣3向上平移5个单位长度，平移后的直线与y轴的交点坐标为 ．
17．（3分）如图，正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为6和2，点E，G分别在边BC，AB上，点H为DF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
18．（3分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．
（1）线段BC的长等于 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°，并简要说明画图方法（不要求证明）．
三．解答题（本大题共7小题，共66分）
19．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．教师想了解学生们每天在上学的路上要花费多少时间，因此对全班学生进行了调查，根据调查结果，绘制出如图统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）扇形统计图中的m＝ ；
（Ⅱ）求所调查的学生上学所花费时间的平均数、众数和中位数．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD，BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，若∠ADC＝58°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，求∠CED的大小．
22．某数学社团开展实践性研究，在一公园南门A测得观景亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得观景亭C在游船码头B的北偏东53°方向．求南门A与观景亭C之间的距离．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
23．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）根据题意填空：每分钟进水 L，出水 L；
（2）求当0≤x≤12时，直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）图中a的值为 ．
24．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角板ABC移动时间为x秒．
（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
25．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．且点N在点M的下方，点P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．
2022年天津市东丽区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）计算6×（﹣9）的值是（ ）
A．54 B．﹣54 C．15 D．﹣3
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：6×（﹣9）
＝﹣（6×9）
＝﹣54，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．
2．（3分）2tan30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：2tan30°＝2×＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．（3分）一天有8.64×104秒，一年如果按365天计算，一年有多少秒，用科学记数法表示为（ ）
A．3153.6×104 B．315.36×105 C．31.536×106 D．3.1536×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：依题意有8.64×104×365＝3 153.6×104＝3.1536×107．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．风，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．和，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．日，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．丽，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
6．（3分）估计2的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】根据4＜＜5即可得解．
【解答】解：∵2＝，
∵4＜＜5，
∴2在4和5之间，
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，正确估算出4＜＜5是解题的关键．
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】利用同分母分式的减法法则运算，最后化简即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，正确利用分式的减法法则运算是解题的关键．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（），（﹣1，﹣），对角线相交于点O，则点C的坐标为（ ）
A．（） B．（） C．（1，﹣） D．（﹣1，）
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵A，B两点的坐标分别是（），（﹣1，﹣），
∴点C（2，﹣2），点D（1，），
故选B．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
10．（3分）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y＝图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝5＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴y1＜0，y2＜0，y3＞0，
∵在第三象限y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
∴y3＞y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键．
11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，连接BD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CBA＝∠E B．∠ADE＝∠C C．AC∥BD D．AC＝BD
【分析】由旋转的性质可得∠CAE＝∠DAB＝60°，AD＝AB，由等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠ABD＝60°，可得结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠CAE＝∠DAB＝60°，AD＝AB，
∴∠ABD＝60°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∴AC∥BD，
故选C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象的对称轴是x＝1，经过点（x1，0），且﹣1＜x1＜0．现有下列结论：①abc＞0；②b﹣2a＜0；③a﹣b+c＞0；④2c＜3b．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；
②由于a＜0，所以﹣2a＞0．
又b＞0，
所以b﹣2a＞0，
故②错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算5a2﹣6a2的结果等于 ﹣a2 ．
【分析】根据合并同类项的法则计算即可．
【解答】解：原式＝（5﹣6）a2
＝﹣a2．
故答案为：﹣a2．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变是解题的关键．
14．（3分）计算的结果等于 11 ．
【分析】直接利用平方差公式计算，进而得出答案．
【解答】解：原式＝（2）2﹣32
＝20﹣9
＝11．
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式计算是解题关键．
15．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、4个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是 ．
【分析】用蓝色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
【解答】解：由题意，可得从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
16．（3分）把直线y＝﹣x﹣3向上平移5个单位长度，平移后的直线与y轴的交点坐标为 （0，2） ．
【分析】利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与y轴的交点．
【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣3沿y轴向上平移5个单位，
∴平移后的解析式为：y＝﹣x+2，
当x＝0，则y＝2，
∴平移后直线与y轴的交点坐标为：（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，得出平移后解析式是解题关键．
17．（3分）如图，正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为6和2，点E，G分别在边BC，AB上，点H为DF的中点，连接GH，则GH的长为 2 ．
【分析】延长GH交AD的延长线于N，证明△FGH≌△DNH（AAS），得GH＝HN，GF＝DN＝2，AN＝AD+DN＝8，用勾股定理可得GN＝＝4，故GH＝GN＝2．
【解答】解：延长GH交AD的延长线于N，如图：
∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，
∴BE∥GF∥AD，GF＝BG＝2，AB＝AD＝6，
∴∠FGH＝∠N，GA＝4，
∵点H是DF的中点，
∴DH＝FH，
在△FGH和△CNH中，
，
∴△FGH≌△DNH（AAS），
∴GH＝HN，GF＝DN＝2，
∴AN＝AD+DN＝8，
∴GN＝＝＝4，
∴GH＝GN＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．（3分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．
（1）线段BC的长等于 5 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°，并简要说明画图方法（不要求证明）．
【分析】（1）根据勾股定理可得BC的长；
（2）构建等腰直角△BDC，作矩形BMDN，画对角线交点T，作射线CT，交AB于点E，
【解答】解：（1）由勾股定理得：BC＝＝5；
故答案为：5；
（2）取点D，连接CD、BD，取格点M、N，连接MN交BD于点T，连接CT并延长交AB于点E，则∠BCE＝45°．
则点E即为所求．
【点评】本题考查作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（本大题共7小题，共66分）
19．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3＜x≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；
（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣3；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为
故答案为：x≤1，x＞﹣3，﹣3＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．教师想了解学生们每天在上学的路上要花费多少时间，因此对全班学生进行了调查，根据调查结果，绘制出如图统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）扇形统计图中的m＝ 16 ；
（Ⅱ）求所调查的学生上学所花费时间的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据各组所占百分比之和等于单位1，结合扇形统计图中的数据，可以计算出m的值；
（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得，m%＝1﹣（8%+20%+32%+24%）＝16%，
∴m＝16．
故答案为：16；
（Ⅱ）（min）．
∵花费15min的人数为16人，人数最多，
∴众数是15min．
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是15和15，有，
∴这组数据的中位数是15min．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD，BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，若∠ADC＝58°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，求∠CED的大小．
【分析】（Ⅰ）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求得∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣58°＝32°，根据圆周角定理即可得到结论；
（II ）连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，等量代换得到∠COB＝∠ABD，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝58°，
∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣58°＝32°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×32°＝64°．
（II ）连接OC，
∵CE与⊙O相切，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABD＝2∠CDB，
∵∠COB＝2∠CDB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵OC∥DB．
∴∠OCE+∠CED＝180°，
∴∠CED＝90°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．某数学社团开展实践性研究，在一公园南门A测得观景亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得观景亭C在游船码头B的北偏东53°方向．求南门A与观景亭C之间的距离．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
【分析】过点C作CE⊥BA于E，设EC＝xm，BE＝ym，由题意可构建方程组求出x，y，再由勾股定理即可解决问题．
【解答】解：过点C作CE⊥BA于E，如图所示：
设EC＝xm，BE＝ym，
在Rt△ECB中，tan53°＝，
即 ≈，
∴x≈y，
在Rt△AEC中，tan37°＝，
即 ≈，
∴≈，
解得：y≈135，x≈180，
∴AE≈105+135＝240（m），
∴AC＝≈＝300（m），
答：南门A与观景亭C之间的距离约为300m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题．
23．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）根据题意填空：每分钟进水 5 L，出水 3.75 L；
（2）求当0≤x≤12时，直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）图中a的值为 20 ．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得每分钟进水、出水各多少升；
（2）根据题意和函数图象可以求得y与x的函数关系式；
（3）由题意可知，当12≤x≤a时，只放水，不进水了，通过（1）中的计算结果，再进行运算可得出结论．
【解答】解：（1）进水管的速度为：20÷4＝5L/min，
出水管的速度为：＝3.75L/min，
答：每分钟进水、出水各5L，3.75L．
故答案为：5；3.75；
（2）当0≤x≤4时，设y关于x的函数解析式是y＝kx，
4k＝20，得k＝5，
即当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y＝5x，
当4≤x≤12时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当4≤x≤12时，y与x的函数关系式为y＝x+15，
由上可得，y＝；
（3）由（1）知每分钟出水3.75L，
∴放水时间为：30÷3.75＝8（min），
∴a＝12+8＝20；
故答案为：20．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角板ABC移动时间为x秒．
（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【分析】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，由题意可知CF＝x，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；
（2）根据“S重叠＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．
【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠E＝30°，
∴∠EQC＝∠AQM＝60°，
∴△AMQ为等边三角形，
过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．
在Rt△ABC中，，
∴EF＝BC＝3，
根据题意可知CF＝x，
∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，，
∴，
∴，
而，
∴，
（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x，，
∴
＝﹣﹣（3﹣x）×（3﹣x）
＝，
所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．且点N在点M的下方，点P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．
【分析】（1）用待定系数法可求出答案；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），由A点及B点坐标可求出直线AB的解析式，由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x＝2，则可求出答案；
②由题意可得点N的坐标是（2，m2﹣9），P点的坐标是（﹣1，m2﹣6m），由平移的性质求出PE及MN的长，根据PE+MN＝10列出方程可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5）和点B（5，0），
∴，
解得：，
∴b，c的值分别为﹣4，﹣5；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），
把A（0，﹣5），B（5，0）的坐标分别代入表达式，得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣5．
由（1）得，抛物线L为y＝x2﹣4x﹣5，
∴对称轴是直线x＝2，
当x＝2时，y＝x﹣5＝﹣3，
∴点M的坐标是（2，﹣3）；
②∵抛物线L为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
设抛物线L1的表达式为y＝（x﹣2+m）2﹣9，
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是（2，m2﹣9），
∵点P的横坐标为﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，m2﹣6m），
设PE交抛物线L1于另一点Q，
∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2﹣m，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是（5﹣2m，m2﹣6m），
如图，当点N在点M的下方时，即0＜m＜时，
∴PQ＝5﹣2m﹣（﹣1）＝6﹣2m，MN＝﹣3﹣（m2﹣9）＝6﹣m2，
由平移的性质得，QE＝m，
∴PE＝6﹣2m+m＝6﹣m，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+6﹣m2＝10，
解得，m1＝﹣2（舍去），m2＝1，
∴m的值是1．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点，待定系数法，两点的距离，平移的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
2022年天津市东丽区中考数学一模试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）计算6×（﹣9）的值是（ ）
A．54 B．﹣54 C．15 D．﹣3
2．（3分）2tan30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一天有8.64×104秒，一年如果按365天计算，一年有多少秒，用科学记数法表示为（ ）
A．3153.6×104 B．315.36×105 C．31.536×106 D．3.1536×107
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）估计2的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（），（﹣1，﹣），对角线相交于点O，则点C的坐标为（ ）
A．（） B．（） C．（1，﹣） D．（﹣1，）
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y＝图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，连接BD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CBA＝∠E B．∠ADE＝∠C C．AC∥BD D．AC＝BD
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象的对称轴是x＝1，经过点（x1，0），且﹣1＜x1＜0．现有下列结论：①abc＞0；②b﹣2a＜0；③a﹣b+c＞0；④2c＜3b．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算5a2﹣6a2的结果等于 ．
14．（3分）计算的结果等于 ．
15．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、4个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是 ．
16．（3分）把直线y＝﹣x﹣3向上平移5个单位长度，平移后的直线与y轴的交点坐标为 ．
17．（3分）如图，正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为6和2，点E，G分别在边BC，AB上，点H为DF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
18．（3分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．
（1）线段BC的长等于 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°，并简要说明画图方法（不要求证明）．
三．解答题（本大题共7小题，共66分）
19．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．教师想了解学生们每天在上学的路上要花费多少时间，因此对全班学生进行了调查，根据调查结果，绘制出如图统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）扇形统计图中的m＝ ；
（Ⅱ）求所调查的学生上学所花费时间的平均数、众数和中位数．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD，BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，若∠ADC＝58°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，求∠CED的大小．
22．某数学社团开展实践性研究，在一公园南门A测得观景亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得观景亭C在游船码头B的北偏东53°方向．求南门A与观景亭C之间的距离．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
23．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）根据题意填空：每分钟进水 L，出水 L；
（2）求当0≤x≤12时，直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）图中a的值为 ．
24．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角板ABC移动时间为x秒．
（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
25．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．且点N在点M的下方，点P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．
2022年天津市东丽区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）计算6×（﹣9）的值是（ ）
A．54 B．﹣54 C．15 D．﹣3
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：6×（﹣9）
＝﹣（6×9）
＝﹣54，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．
2．（3分）2tan30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：2tan30°＝2×＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．（3分）一天有8.64×104秒，一年如果按365天计算，一年有多少秒，用科学记数法表示为（ ）
A．3153.6×104 B．315.36×105 C．31.536×106 D．3.1536×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：依题意有8.64×104×365＝3 153.6×104＝3.1536×107．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．风，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．和，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．日，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．丽，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
6．（3分）估计2的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】根据4＜＜5即可得解．
【解答】解：∵2＝，
∵4＜＜5，
∴2在4和5之间，
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，正确估算出4＜＜5是解题的关键．
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】利用同分母分式的减法法则运算，最后化简即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，正确利用分式的减法法则运算是解题的关键．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（），（﹣1，﹣），对角线相交于点O，则点C的坐标为（ ）
A．（） B．（） C．（1，﹣） D．（﹣1，）
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵A，B两点的坐标分别是（），（﹣1，﹣），
∴点C（2，﹣2），点D（1，），
故选B．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
10．（3分）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y＝图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝5＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴y1＜0，y2＜0，y3＞0，
∵在第三象限y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
∴y3＞y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键．
11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，连接BD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CBA＝∠E B．∠ADE＝∠C C．AC∥BD D．AC＝BD
【分析】由旋转的性质可得∠CAE＝∠DAB＝60°，AD＝AB，由等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠ABD＝60°，可得结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠CAE＝∠DAB＝60°，AD＝AB，
∴∠ABD＝60°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∴AC∥BD，
故选C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象的对称轴是x＝1，经过点（x1，0），且﹣1＜x1＜0．现有下列结论：①abc＞0；②b﹣2a＜0；③a﹣b+c＞0；④2c＜3b．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；
②由于a＜0，所以﹣2a＞0．
又b＞0，
所以b﹣2a＞0，
故②错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算5a2﹣6a2的结果等于 ﹣a2 ．
【分析】根据合并同类项的法则计算即可．
【解答】解：原式＝（5﹣6）a2
＝﹣a2．
故答案为：﹣a2．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变是解题的关键．
14．（3分）计算的结果等于 11 ．
【分析】直接利用平方差公式计算，进而得出答案．
【解答】解：原式＝（2）2﹣32
＝20﹣9
＝11．
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式计算是解题关键．
15．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、4个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是 ．
【分析】用蓝色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
【解答】解：由题意，可得从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
16．（3分）把直线y＝﹣x﹣3向上平移5个单位长度，平移后的直线与y轴的交点坐标为 （0，2） ．
【分析】利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与y轴的交点．
【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣3沿y轴向上平移5个单位，
∴平移后的解析式为：y＝﹣x+2，
当x＝0，则y＝2，
∴平移后直线与y轴的交点坐标为：（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，得出平移后解析式是解题关键．
17．（3分）如图，正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为6和2，点E，G分别在边BC，AB上，点H为DF的中点，连接GH，则GH的长为 2 ．
【分析】延长GH交AD的延长线于N，证明△FGH≌△DNH（AAS），得GH＝HN，GF＝DN＝2，AN＝AD+DN＝8，用勾股定理可得GN＝＝4，故GH＝GN＝2．
【解答】解：延长GH交AD的延长线于N，如图：
∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，
∴BE∥GF∥AD，GF＝BG＝2，AB＝AD＝6，
∴∠FGH＝∠N，GA＝4，
∵点H是DF的中点，
∴DH＝FH，
在△FGH和△CNH中，
，
∴△FGH≌△DNH（AAS），
∴GH＝HN，GF＝DN＝2，
∴AN＝AD+DN＝8，
∴GN＝＝＝4，
∴GH＝GN＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．（3分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．
（1）线段BC的长等于 5 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°，并简要说明画图方法（不要求证明）．
【分析】（1）根据勾股定理可得BC的长；
（2）构建等腰直角△BDC，作矩形BMDN，画对角线交点T，作射线CT，交AB于点E，
【解答】解：（1）由勾股定理得：BC＝＝5；
故答案为：5；
（2）取点D，连接CD、BD，取格点M、N，连接MN交BD于点T，连接CT并延长交AB于点E，则∠BCE＝45°．
则点E即为所求．
【点评】本题考查作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（本大题共7小题，共66分）
19．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3＜x≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；
（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣3；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为
故答案为：x≤1，x＞﹣3，﹣3＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．教师想了解学生们每天在上学的路上要花费多少时间，因此对全班学生进行了调查，根据调查结果，绘制出如图统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）扇形统计图中的m＝ 16 ；
（Ⅱ）求所调查的学生上学所花费时间的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据各组所占百分比之和等于单位1，结合扇形统计图中的数据，可以计算出m的值；
（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得，m%＝1﹣（8%+20%+32%+24%）＝16%，
∴m＝16．
故答案为：16；
（Ⅱ）（min）．
∵花费15min的人数为16人，人数最多，
∴众数是15min．
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是15和15，有，
∴这组数据的中位数是15min．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD，BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，若∠ADC＝58°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，求∠CED的大小．
【分析】（Ⅰ）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求得∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣58°＝32°，根据圆周角定理即可得到结论；
（II ）连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，等量代换得到∠COB＝∠ABD，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝58°，
∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣58°＝32°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×32°＝64°．
（II ）连接OC，
∵CE与⊙O相切，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABD＝2∠CDB，
∵∠COB＝2∠CDB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵OC∥DB．
∴∠OCE+∠CED＝180°，
∴∠CED＝90°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．某数学社团开展实践性研究，在一公园南门A测得观景亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得观景亭C在游船码头B的北偏东53°方向．求南门A与观景亭C之间的距离．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
【分析】过点C作CE⊥BA于E，设EC＝xm，BE＝ym，由题意可构建方程组求出x，y，再由勾股定理即可解决问题．
【解答】解：过点C作CE⊥BA于E，如图所示：
设EC＝xm，BE＝ym，
在Rt△ECB中，tan53°＝，
即 ≈，
∴x≈y，
在Rt△AEC中，tan37°＝，
即 ≈，
∴≈，
解得：y≈135，x≈180，
∴AE≈105+135＝240（m），
∴AC＝≈＝300（m），
答：南门A与观景亭C之间的距离约为300m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题．
23．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）根据题意填空：每分钟进水 5 L，出水 3.75 L；
（2）求当0≤x≤12时，直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）图中a的值为 20 ．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得每分钟进水、出水各多少升；
（2）根据题意和函数图象可以求得y与x的函数关系式；
（3）由题意可知，当12≤x≤a时，只放水，不进水了，通过（1）中的计算结果，再进行运算可得出结论．
【解答】解：（1）进水管的速度为：20÷4＝5L/min，
出水管的速度为：＝3.75L/min，
答：每分钟进水、出水各5L，3.75L．
故答案为：5；3.75；
（2）当0≤x≤4时，设y关于x的函数解析式是y＝kx，
4k＝20，得k＝5，
即当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y＝5x，
当4≤x≤12时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当4≤x≤12时，y与x的函数关系式为y＝x+15，
由上可得，y＝；
（3）由（1）知每分钟出水3.75L，
∴放水时间为：30÷3.75＝8（min），
∴a＝12+8＝20；
故答案为：20．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角板ABC移动时间为x秒．
（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【分析】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，由题意可知CF＝x，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；
（2）根据“S重叠＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．
【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠E＝30°，
∴∠EQC＝∠AQM＝60°，
∴△AMQ为等边三角形，
过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．
在Rt△ABC中，，
∴EF＝BC＝3，
根据题意可知CF＝x，
∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，，
∴，
∴，
而，
∴，
（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x，，
∴
＝﹣﹣（3﹣x）×（3﹣x）
＝，
所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．且点N在点M的下方，点P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．
【分析】（1）用待定系数法可求出答案；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），由A点及B点坐标可求出直线AB的解析式，由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x＝2，则可求出答案；
②由题意可得点N的坐标是（2，m2﹣9），P点的坐标是（﹣1，m2﹣6m），由平移的性质求出PE及MN的长，根据PE+MN＝10列出方程可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5）和点B（5，0），
∴，
解得：，
∴b，c的值分别为﹣4，﹣5；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），
把A（0，﹣5），B（5，0）的坐标分别代入表达式，得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣5．
由（1）得，抛物线L为y＝x2﹣4x﹣5，
∴对称轴是直线x＝2，
当x＝2时，y＝x﹣5＝﹣3，
∴点M的坐标是（2，﹣3）；
②∵抛物线L为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
设抛物线L1的表达式为y＝（x﹣2+m）2﹣9，
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是（2，m2﹣9），
∵点P的横坐标为﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，m2﹣6m），
设PE交抛物线L1于另一点Q，
∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2﹣m，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是（5﹣2m，m2﹣6m），
如图，当点N在点M的下方时，即0＜m＜时，
∴PQ＝5﹣2m﹣（﹣1）＝6﹣2m，MN＝﹣3﹣（m2﹣9）＝6﹣m2，
由平移的性质得，QE＝m，
∴PE＝6﹣2m+m＝6﹣m，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+6﹣m2＝10，
解得，m1＝﹣2（舍去），m2＝1，
∴m的值是1．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点，待定系数法，两点的距离，平移的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
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