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【解析版】枣庄市山亭区2022学年九年级上期中数学试卷
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这是一份【解析版】枣庄市山亭区2022学年九年级上期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年山东省枣庄市山亭区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共45分）
1．下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
2．下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A． x2﹣x+1=0 B． x2+x+1=0 C． （x﹣1）（x+2）=0 D． （x﹣1）2+1=0
3．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（ ）
A． AP2=AB•PB B． AB2=AP•PB C． PB2=AP•AB D． AP2+BP2=AB2
4．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（ ）
A． 4.5 B． 5 C． 6 D． 9
5．方程x2=5x的根是（ ）
A． x=5 B． x=0 C． x1=0，x2=5 D． x1=0，x2=﹣5
6．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（ ）
A． （x+4）2=9 B． （x﹣4）2=9 C． （x+8）2=23 D． （x﹣8）2=9
7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（ ）
A． 1： B． 1：2 C． 1：3 D． 1：4
8．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A． 选①② B． 选②③ C． 选①③ D． 选②④
9．放假了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（ ）
A． 10米 B． 12米 C． 15米 D． 22.5米
11．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（ ）
A． 512（1+x%）2=800 B． 800（1﹣2x%）=512 C． 800（1﹣x%）2=512 D． 800﹣2x%=512
12．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）
A． 2 B． C． 6 D． 3
13．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A． 0.618 B． C． D． 2
14．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
15．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）
A． 27 B． 36 C． 27或36 D． 18
二、填空题（每题3分，共24分）
16．若==（abc≠0），则= ．
17．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为 ．
18．关于x的一元二次方程mx2﹣x+1=0有实根，则m的取值范围是 ．
19．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 ．
20．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（2★3）★x=9的根为 ．
21．已知m，n是方程x2+2x﹣6=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= ．
22．下列命题：（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似；（2）三边对应成比例的两个三角形相似；（3）两个等边三角形一定相似；（4）任意两个矩形一定相似，其中真命题有 个．
23．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ．
三、解答题（共7小题，满分51分）
24．（1）x2+2x﹣6=0
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．
25．小刚在研究矩形性质时，把两张完全相同的矩形纸片叠放在一起（如图中矩形ABCD和矩形BFDE），请你帮他判断重叠部分的四边形BNDM的性状，并给出证明．
26．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区内标上数字（如图所示），指针的位置固定，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数时，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜，如果指针落在分割线上，则需重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
27．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB•AD；∠ADC=90°，E为AB的中点，
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．
28．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
29．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？为什么？
（3）当OA与BC满足 时，四边形DGEF是一个矩形（直接填答案，不需证明．）
30．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
2022学年山东省枣庄市山亭区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共45分）
1．下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
解答： 解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确；
B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
D、正方形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误．
故选A．
点评： 本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，正确理解定义是解题关键．
2．下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A． x2﹣x+1=0 B． x2+x+1=0 C． （x﹣1）（x+2）=0 D． （x﹣1）2+1=0
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．
解答： 解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；
D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（ ）
A． AP2=AB•PB B． AB2=AP•PB C． PB2=AP•AB D． AP2+BP2=AB2
考点： 黄金分割．
分析： 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
解答： 解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，
∴PB2=AP•AB．
故选C．
点评： 本题考查了黄金分割的概念，熟记定义是解题的关键．
4．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（ ）
A． 4.5 B． 5 C． 6 D． 9
考点： 菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
分析： 可先求得AB的长，再根据三角形中位线定理可求得OH的长．
解答： 解：∵四边形ABCD为菱形，且周长为36，
∴AB=BC=CD=AD=9，
又∵O为BD中点，H为AD的中点，
∴OH为△ABD的中位线，
∴OH=AB=4.5，
故选A．
点评： 本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．
5．方程x2=5x的根是（ ）
A． x=5 B． x=0 C． x1=0，x2=5 D． x1=0，x2=﹣5
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 由于方程左右两边都含有x，所以用提公因式法比较简单．
解答： 解：把方程移项得，x2﹣5x=0即x（x﹣5）=0，
解得x1=0，x2=5．
故选C．
点评： 本题考查用因式分解法解一元二次方程，要先移项再解方程，不要漏掉一个根．
6．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（ ）
A． （x+4）2=9 B． （x﹣4）2=9 C． （x+8）2=23 D． （x﹣8）2=9
考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： 将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解答： 解：x2+8x+7=0，
移项得：x2+8x=﹣7，
配方得：x2+8x+16=9，即（x+4）2=9．
故选A
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（ ）
A． 1： B． 1：2 C． 1：3 D． 1：4
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得△ADE∽△ACB，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
解答：解：在△ADE与△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴S△ADE：S△ACB=（AE：AB）2=1：4，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3．
故选C．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
8．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A． 选①② B． 选②③ C． 选①③ D． 选②④
考点： 正方形的判定；平行四边形的性质．
分析： 要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
解答： 解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
点评： 本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
9．放假了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先用A，B，C分别表示红荷湿地、台儿庄古城、莲青山，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与两家抽到同一景点的情况，继而求得答案．
解答： 解：用A，B，C分别表示红荷湿地、台儿庄古城、莲青山，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两家抽到同一景点的有3种情况，
∴两家抽到同一景点的概率是：=．
故选A．
点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（ ）
A． 10米 B． 12米 C． 15米 D． 22.5米
考点： 相似三角形的应用．
专题： 应用题．
分析： 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
解答： 解：∵=
即=，
∴楼高=10米．
故选A．
点评： 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
11．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（ ）
A． 512（1+x%）2=800 B． 800（1﹣2x%）=512 C． 800（1﹣x%）2=512 D． 800﹣2x%=512
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用800（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答： 解：当商品第一次降价x%时，其售价为800﹣800x%=800（1﹣x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为800（1﹣x%）﹣800（1﹣x%）x%=800（1﹣x%）2．
∴800（1﹣x%）2=512．
故选C．
点评： 本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于512即可．
12．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）
A． 2 B． C． 6 D． 3
考点： 菱形的性质；矩形的性质．
分析： 根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，再由锐角三角函数求出BE，得出AE，即可得出结果．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
即BA⊥BF，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，
∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
∴AE=EO=CF=FO，
∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE==2 ，
∴BF=BE=2 ，
∴CF=AE=BE=，
∴BC=BF+CF=3 ，
故选：D．
点评： 本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及锐角三角函数；根据题意弄清各个角之间的关系求出角的度数是解决问题的关键．
13．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A． 0.618 B． C． D． 2
考点： 相似多边形的性质．
分析： 根据矩形ABCD与矩形ABFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得出的值．
解答： 解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，
∴=（）2=2，
∴=．
故选C．
点评： 本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
14．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定．
专题： 网格型．
分析： 根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．
解答： 解：根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC==，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，
A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．
故选：B．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．
15．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）
A． 27 B． 36 C． 27或36 D． 18
考点： 等腰三角形的性质；一元二次方程的解．
专题： 分类讨论．
分析： 由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
解答： 解：分两种情况：
①当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，
得32﹣12×3+k=0，
解得k=27．
将k=27代入原方程，
得x2﹣12x+27=0，
解得x=3或9．
3，3，9不能够组成三角形，不符合题意舍去；
②当3为底时，则其他两条边相等，即△=0，
此时144﹣4k=0，
解得k=36．
将k=36代入原方程，
得x2﹣12x+36=0，
解得x=6．
3，6，6能够组成三角形，符合题意．
故k的值为36．
故选：B．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解．
二、填空题（每题3分，共24分）
16．若==（abc≠0），则= 4 ．
考点： 比例的性质．
分析： 根据比例的性质，可用a表示b，可用a表示过c，根据分式的性质，可得答案．
解答： 解：由==（abc≠0），得
b=a，c=a．
原式===4，
故答案为：4．
点评： 本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a表示b，a表示过c是解题关键．
17．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为 24 ．
考点： 菱形的性质．
分析： 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
解答： 解：如图所示：∵菱形ABCD的两条对角线的长分别为12和8，
∴菱形ABCD的面积=×12×8=48，
∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，
∴阴影部分的面积=S菱形ABCD=×48=24．
故答案为：24．
点评： 本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
18．关于x的一元二次方程mx2﹣x+1=0有实根，则m的取值范围是 m≤ ．
考点： 根的判别式．
分析： 由于x的一元二次方程mx2﹣x+1=0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣x+1=0有实根，
∴m≠0，并且△=b2﹣4ac=1﹣4m≥0，
∴m≤且m≠0．
故填空答案：m≤且m≠0．
点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
19．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 15°或75° ．
考点： 正方形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 当E在正方形ABCD内时，根据正方形ABCD，得到AD=CD，∠ADC=90°，根据等边△CDE，得到CD=DE，∠CDE=60°，推出AD=DE，得出∠DAE=∠AED，根据三角形的内角和定理求出即可；
当E在正方形ABCD外时，根据等边三角形CDE，推出∠ADE=150°，求出即可．
解答： 解：有两种情况：
（1）当E在正方形ABCD内时，如图1
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵等边△CDE，
∴CD=DE，∠CDE=60°，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=（180°﹣∠ADE）=75°；
（2）当E在正方形ABCD外时，如图2
∵等边三角形CDE，
∴∠EDC=60°，
∴∠ADE=90°+60°=150°，
∴∠AED=∠DAE=（180°﹣∠ADE）=15°．
故答案为：15°或75°．
点评： 本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
20．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（2★3）★x=9的根为 x1=4，x2=﹣4 ．
考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
专题： 新定义．
分析： 根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根．
解答： 解：根据新定义可以列方程：
（22﹣32）★x=9，
（﹣5）2﹣x2=9，
25﹣x2=9，
x2=16，
x1=4，x2=﹣4．
故答案为：x1=4，x2=﹣4．
点评： 本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，一般是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根．
21．已知m，n是方程x2+2x﹣6=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 10 ．
考点： 根与系数的关系．
分析： 利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=6﹣2m，然后根据根与系数的关系知m+n=﹣2，mn=﹣6，最后将m2、m+n，mn的值代入所求的代数式求值即可．
解答： 解：∵m，n是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，
∴m2+2m﹣6=0，即m2=6﹣2m；
∵m+n=﹣2，mn=﹣6，
∴m2﹣mn+3m+n=6﹣2m﹣mn+3m+n=m+n﹣mn+6=﹣2+6+6=10．
故答案为：10．
点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．以及一元二次方程的解．
22．下列命题：（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似；（2）三边对应成比例的两个三角形相似；（3）两个等边三角形一定相似；（4）任意两个矩形一定相似，其中真命题有 3 个．
考点： 命题与定理．
分析： 根据特殊三角形的性质及相似三角形的判定方法即可判断（1）是真命题，（2）、（3）是真命题，根据多边形相似的判定方法即可判断（4）是假命题，从而可以确定真命题．
解答： 解：（1）有两个角对应相等的两个三角形相似，故有一个锐角相等的两个直角三角形相似，是真命题；
（2）三边对应成比例的两个三角形相似，是真命题；
（3）等边三角形的三个角均是60°，符合有两个角对应相等的两个三角形相似，故两个等边三角形一定相似，是真命题；
（4）多边形相似的条件是：对应角相等，对应边成比例，任意两个矩形只具备对应角相等，不具备对应边成比例，故任意两个矩形一定相似，是假命题．
故其中真命题有3个．
故答案为：3．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定方法，多边形相似的判定方法，要注意的是一定相似的三角形有：等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形
23．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 （）n﹣1 ．
考点： 矩形的性质；菱形的性质．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为（）2，依此类推，第n个矩形的面积为（）n﹣1．
解答： 解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2﹣1=；
第三个矩形的面积是（）3﹣1=；
…
故第n个矩形的面积为：（）n﹣1．
点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（共7小题，满分51分）
24．（1）x2+2x﹣6=0
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．
考点： 解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法．
分析： （1）根据配方法的步骤先移项，再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得出（x+）2=8，然后开方即可；
（2）先移项，再把等号左边因式分解，然后进行计算即可．
解答： 解：（1）x2+2x﹣6=0，
x2+2x=6，
x2+2x+2=8，
（x+）2=8，
x+=±2，
x1=，x2=﹣3；
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2，
（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，
[（y+2）+（3y﹣1）][（y+2）﹣（3y﹣1）]=0，
（4y+1）（﹣2y+3）=0，
4y+1=0，﹣2y+3=0，
y1=﹣，y2=．
点评： 此题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，掌握配方法的步骤和平方差公式是本题的关键．
25．小刚在研究矩形性质时，把两张完全相同的矩形纸片叠放在一起（如图中矩形ABCD和矩形BFDE），请你帮他判断重叠部分的四边形BNDM的性状，并给出证明．
考点： 菱形的判定．
分析： 首先根据矩形的性质可得MB∥DN，BN∥MD，进而得到四边形BNDM是平行四边形，再证明△ABM≌△EDM，可得BM=DM，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BNDM是菱形．
解答： 解：四边形BNDM是菱形，
∵四边形ABCD、BFDE是矩形，
∴MB∥DN，BN∥MD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
在△ABM和△EDM中，
，
∴△ABM≌△EDM（AAS），
∴BM=DM，
∴四边形BNDM是菱形．
点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形．
26．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区内标上数字（如图所示），指针的位置固定，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数时，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜，如果指针落在分割线上，则需重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．
分析： （1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率；
（2）根据图表（1）得出“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．
解答： 解：（1）如图所示：
，
所有的可能为：4，5，6，5，6，7，6，7，8，7，8，9，
∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，
∴P（甲）==；
（2）∵“和是4的倍数”的结果有3种，
∴P（乙）==；
∵≠，即P（甲）≠P（乙），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
点评： 此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB•AD；∠ADC=90°，E为AB的中点，
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： （1）证明∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90，即可解决问题；
（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠EAC=∠ECA，根据角平分线的定义，可得∠CAD=∠CAB，根据平行线的判定，可得答案．
解答： 证明：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）CE∥AD；
∵E是AB的中点，
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴CAD=∠ECA，
∴CE∥AD．
点评： 该题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．
28．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
考点： 一元二次方程的应用．
分析： 根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（3﹣0.5x）=10求出即可．
解答： 解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）=10．
化简，整理，的x2﹣3x+2=0．
解这个方程，得x1=1，x2=2，
则3+1=4，2+3=5，
答：每盆应植4株或者5株．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．
29．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？为什么？
（3）当OA与BC满足 OA⊥BC 时，四边形DGEF是一个矩形（直接填答案，不需证明．）
考点： 中点四边形．
分析： （1）首先利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE=BC，同理，GF∥BC，GF=BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四边形DGFE是平行四边形；
（2）利用（1）中所求，只要邻边再相等即可得出答案．
（3）利用（1）中所求，只要邻边相互垂直的平行四边形即为矩形．
解答： （1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．
∴DE∥BC，DE=BC．
同理，GF∥BC，GF=BC．
∴DE∥GF，DE=GF．
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）解：解法一：点O的位置满足两个要求：AO=BC，且点O不在射线CD、射线BE上．
∵由（1）得出四边形DEFG是平行四边形，
∴点O的位置满足两个要求：AO=BC，且点O不在射线CD、射线BE上时，
可得GD=AO，GF=BC，
∴DG=GE，
∴平行四边形DEFG是菱形；
解法二：点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点．
解法三：过点A作BC的平行线l，点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括l与⊙A的两个交点．
（3）由（1）知，四边形DEFG是平行四边形．
当OA⊥BC时，DG⊥GF，
故平行四边形DGFE是矩形．
故答案是：OA⊥BC．
点评： 此题主要考查了中点四边形的判定以及三角形的中位线的性质和平行四边形以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．
30．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用．
专题： 几何动点问题．
分析： （1）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解；
（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．
解答： 解：（1）经过t秒后，PC=4﹣2t，CQ=t，
当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，
即（4﹣2t）•t=××3×4，
解得；t=或t=；
∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则=，即=，解之得t=1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则=，=，解之得t=；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒；
（3）∵∠C=90°，
∴（4﹣2t）2+t2=1，
∵此方程无实数解，
∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．
点评： 本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，特别是（2）注意分类讨论．
2022学年山东省枣庄市山亭区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共45分）
1．下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
2．下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A． x2﹣x+1=0 B． x2+x+1=0 C． （x﹣1）（x+2）=0 D． （x﹣1）2+1=0
3．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（ ）
A． AP2=AB•PB B． AB2=AP•PB C． PB2=AP•AB D． AP2+BP2=AB2
4．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（ ）
A． 4.5 B． 5 C． 6 D． 9
5．方程x2=5x的根是（ ）
A． x=5 B． x=0 C． x1=0，x2=5 D． x1=0，x2=﹣5
6．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（ ）
A． （x+4）2=9 B． （x﹣4）2=9 C． （x+8）2=23 D． （x﹣8）2=9
7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（ ）
A． 1： B． 1：2 C． 1：3 D． 1：4
8．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A． 选①② B． 选②③ C． 选①③ D． 选②④
9．放假了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（ ）
A． 10米 B． 12米 C． 15米 D． 22.5米
11．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（ ）
A． 512（1+x%）2=800 B． 800（1﹣2x%）=512 C． 800（1﹣x%）2=512 D． 800﹣2x%=512
12．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）
A． 2 B． C． 6 D． 3
13．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A． 0.618 B． C． D． 2
14．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
15．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）
A． 27 B． 36 C． 27或36 D． 18
二、填空题（每题3分，共24分）
16．若==（abc≠0），则= ．
17．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为 ．
18．关于x的一元二次方程mx2﹣x+1=0有实根，则m的取值范围是 ．
19．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 ．
20．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（2★3）★x=9的根为 ．
21．已知m，n是方程x2+2x﹣6=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= ．
22．下列命题：（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似；（2）三边对应成比例的两个三角形相似；（3）两个等边三角形一定相似；（4）任意两个矩形一定相似，其中真命题有 个．
23．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ．
三、解答题（共7小题，满分51分）
24．（1）x2+2x﹣6=0
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．
25．小刚在研究矩形性质时，把两张完全相同的矩形纸片叠放在一起（如图中矩形ABCD和矩形BFDE），请你帮他判断重叠部分的四边形BNDM的性状，并给出证明．
26．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区内标上数字（如图所示），指针的位置固定，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数时，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜，如果指针落在分割线上，则需重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
27．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB•AD；∠ADC=90°，E为AB的中点，
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．
28．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
29．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？为什么？
（3）当OA与BC满足 时，四边形DGEF是一个矩形（直接填答案，不需证明．）
30．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
2022学年山东省枣庄市山亭区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共45分）
1．下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
解答： 解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确；
B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
D、正方形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误．
故选A．
点评： 本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，正确理解定义是解题关键．
2．下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A． x2﹣x+1=0 B． x2+x+1=0 C． （x﹣1）（x+2）=0 D． （x﹣1）2+1=0
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．
解答： 解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；
D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（ ）
A． AP2=AB•PB B． AB2=AP•PB C． PB2=AP•AB D． AP2+BP2=AB2
考点： 黄金分割．
分析： 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
解答： 解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，
∴PB2=AP•AB．
故选C．
点评： 本题考查了黄金分割的概念，熟记定义是解题的关键．
4．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（ ）
A． 4.5 B． 5 C． 6 D． 9
考点： 菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
分析： 可先求得AB的长，再根据三角形中位线定理可求得OH的长．
解答： 解：∵四边形ABCD为菱形，且周长为36，
∴AB=BC=CD=AD=9，
又∵O为BD中点，H为AD的中点，
∴OH为△ABD的中位线，
∴OH=AB=4.5，
故选A．
点评： 本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．
5．方程x2=5x的根是（ ）
A． x=5 B． x=0 C． x1=0，x2=5 D． x1=0，x2=﹣5
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 由于方程左右两边都含有x，所以用提公因式法比较简单．
解答： 解：把方程移项得，x2﹣5x=0即x（x﹣5）=0，
解得x1=0，x2=5．
故选C．
点评： 本题考查用因式分解法解一元二次方程，要先移项再解方程，不要漏掉一个根．
6．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（ ）
A． （x+4）2=9 B． （x﹣4）2=9 C． （x+8）2=23 D． （x﹣8）2=9
考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： 将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解答： 解：x2+8x+7=0，
移项得：x2+8x=﹣7，
配方得：x2+8x+16=9，即（x+4）2=9．
故选A
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（ ）
A． 1： B． 1：2 C． 1：3 D． 1：4
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得△ADE∽△ACB，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
解答：解：在△ADE与△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴S△ADE：S△ACB=（AE：AB）2=1：4，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3．
故选C．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
8．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A． 选①② B． 选②③ C． 选①③ D． 选②④
考点： 正方形的判定；平行四边形的性质．
分析： 要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
解答： 解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
点评： 本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
9．放假了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先用A，B，C分别表示红荷湿地、台儿庄古城、莲青山，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与两家抽到同一景点的情况，继而求得答案．
解答： 解：用A，B，C分别表示红荷湿地、台儿庄古城、莲青山，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两家抽到同一景点的有3种情况，
∴两家抽到同一景点的概率是：=．
故选A．
点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（ ）
A． 10米 B． 12米 C． 15米 D． 22.5米
考点： 相似三角形的应用．
专题： 应用题．
分析： 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
解答： 解：∵=
即=，
∴楼高=10米．
故选A．
点评： 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
11．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（ ）
A． 512（1+x%）2=800 B． 800（1﹣2x%）=512 C． 800（1﹣x%）2=512 D． 800﹣2x%=512
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用800（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答： 解：当商品第一次降价x%时，其售价为800﹣800x%=800（1﹣x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为800（1﹣x%）﹣800（1﹣x%）x%=800（1﹣x%）2．
∴800（1﹣x%）2=512．
故选C．
点评： 本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于512即可．
12．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）
A． 2 B． C． 6 D． 3
考点： 菱形的性质；矩形的性质．
分析： 根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，再由锐角三角函数求出BE，得出AE，即可得出结果．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
即BA⊥BF，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，
∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
∴AE=EO=CF=FO，
∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE==2 ，
∴BF=BE=2 ，
∴CF=AE=BE=，
∴BC=BF+CF=3 ，
故选：D．
点评： 本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及锐角三角函数；根据题意弄清各个角之间的关系求出角的度数是解决问题的关键．
13．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A． 0.618 B． C． D． 2
考点： 相似多边形的性质．
分析： 根据矩形ABCD与矩形ABFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得出的值．
解答： 解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，
∴=（）2=2，
∴=．
故选C．
点评： 本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
14．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定．
专题： 网格型．
分析： 根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．
解答： 解：根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC==，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，
A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．
故选：B．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．
15．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）
A． 27 B． 36 C． 27或36 D． 18
考点： 等腰三角形的性质；一元二次方程的解．
专题： 分类讨论．
分析： 由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
解答： 解：分两种情况：
①当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，
得32﹣12×3+k=0，
解得k=27．
将k=27代入原方程，
得x2﹣12x+27=0，
解得x=3或9．
3，3，9不能够组成三角形，不符合题意舍去；
②当3为底时，则其他两条边相等，即△=0，
此时144﹣4k=0，
解得k=36．
将k=36代入原方程，
得x2﹣12x+36=0，
解得x=6．
3，6，6能够组成三角形，符合题意．
故k的值为36．
故选：B．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解．
二、填空题（每题3分，共24分）
16．若==（abc≠0），则= 4 ．
考点： 比例的性质．
分析： 根据比例的性质，可用a表示b，可用a表示过c，根据分式的性质，可得答案．
解答： 解：由==（abc≠0），得
b=a，c=a．
原式===4，
故答案为：4．
点评： 本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a表示b，a表示过c是解题关键．
17．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为 24 ．
考点： 菱形的性质．
分析： 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
解答： 解：如图所示：∵菱形ABCD的两条对角线的长分别为12和8，
∴菱形ABCD的面积=×12×8=48，
∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，
∴阴影部分的面积=S菱形ABCD=×48=24．
故答案为：24．
点评： 本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
18．关于x的一元二次方程mx2﹣x+1=0有实根，则m的取值范围是 m≤ ．
考点： 根的判别式．
分析： 由于x的一元二次方程mx2﹣x+1=0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣x+1=0有实根，
∴m≠0，并且△=b2﹣4ac=1﹣4m≥0，
∴m≤且m≠0．
故填空答案：m≤且m≠0．
点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
19．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 15°或75° ．
考点： 正方形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 当E在正方形ABCD内时，根据正方形ABCD，得到AD=CD，∠ADC=90°，根据等边△CDE，得到CD=DE，∠CDE=60°，推出AD=DE，得出∠DAE=∠AED，根据三角形的内角和定理求出即可；
当E在正方形ABCD外时，根据等边三角形CDE，推出∠ADE=150°，求出即可．
解答： 解：有两种情况：
（1）当E在正方形ABCD内时，如图1
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵等边△CDE，
∴CD=DE，∠CDE=60°，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=（180°﹣∠ADE）=75°；
（2）当E在正方形ABCD外时，如图2
∵等边三角形CDE，
∴∠EDC=60°，
∴∠ADE=90°+60°=150°，
∴∠AED=∠DAE=（180°﹣∠ADE）=15°．
故答案为：15°或75°．
点评： 本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
20．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（2★3）★x=9的根为 x1=4，x2=﹣4 ．
考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
专题： 新定义．
分析： 根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根．
解答： 解：根据新定义可以列方程：
（22﹣32）★x=9，
（﹣5）2﹣x2=9，
25﹣x2=9，
x2=16，
x1=4，x2=﹣4．
故答案为：x1=4，x2=﹣4．
点评： 本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，一般是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根．
21．已知m，n是方程x2+2x﹣6=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 10 ．
考点： 根与系数的关系．
分析： 利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=6﹣2m，然后根据根与系数的关系知m+n=﹣2，mn=﹣6，最后将m2、m+n，mn的值代入所求的代数式求值即可．
解答： 解：∵m，n是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，
∴m2+2m﹣6=0，即m2=6﹣2m；
∵m+n=﹣2，mn=﹣6，
∴m2﹣mn+3m+n=6﹣2m﹣mn+3m+n=m+n﹣mn+6=﹣2+6+6=10．
故答案为：10．
点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．以及一元二次方程的解．
22．下列命题：（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似；（2）三边对应成比例的两个三角形相似；（3）两个等边三角形一定相似；（4）任意两个矩形一定相似，其中真命题有 3 个．
考点： 命题与定理．
分析： 根据特殊三角形的性质及相似三角形的判定方法即可判断（1）是真命题，（2）、（3）是真命题，根据多边形相似的判定方法即可判断（4）是假命题，从而可以确定真命题．
解答： 解：（1）有两个角对应相等的两个三角形相似，故有一个锐角相等的两个直角三角形相似，是真命题；
（2）三边对应成比例的两个三角形相似，是真命题；
（3）等边三角形的三个角均是60°，符合有两个角对应相等的两个三角形相似，故两个等边三角形一定相似，是真命题；
（4）多边形相似的条件是：对应角相等，对应边成比例，任意两个矩形只具备对应角相等，不具备对应边成比例，故任意两个矩形一定相似，是假命题．
故其中真命题有3个．
故答案为：3．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定方法，多边形相似的判定方法，要注意的是一定相似的三角形有：等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形
23．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 （）n﹣1 ．
考点： 矩形的性质；菱形的性质．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为（）2，依此类推，第n个矩形的面积为（）n﹣1．
解答： 解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2﹣1=；
第三个矩形的面积是（）3﹣1=；
…
故第n个矩形的面积为：（）n﹣1．
点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（共7小题，满分51分）
24．（1）x2+2x﹣6=0
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．
考点： 解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法．
分析： （1）根据配方法的步骤先移项，再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得出（x+）2=8，然后开方即可；
（2）先移项，再把等号左边因式分解，然后进行计算即可．
解答： 解：（1）x2+2x﹣6=0，
x2+2x=6，
x2+2x+2=8，
（x+）2=8，
x+=±2，
x1=，x2=﹣3；
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2，
（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，
[（y+2）+（3y﹣1）][（y+2）﹣（3y﹣1）]=0，
（4y+1）（﹣2y+3）=0，
4y+1=0，﹣2y+3=0，
y1=﹣，y2=．
点评： 此题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，掌握配方法的步骤和平方差公式是本题的关键．
25．小刚在研究矩形性质时，把两张完全相同的矩形纸片叠放在一起（如图中矩形ABCD和矩形BFDE），请你帮他判断重叠部分的四边形BNDM的性状，并给出证明．
考点： 菱形的判定．
分析： 首先根据矩形的性质可得MB∥DN，BN∥MD，进而得到四边形BNDM是平行四边形，再证明△ABM≌△EDM，可得BM=DM，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BNDM是菱形．
解答： 解：四边形BNDM是菱形，
∵四边形ABCD、BFDE是矩形，
∴MB∥DN，BN∥MD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
在△ABM和△EDM中，
，
∴△ABM≌△EDM（AAS），
∴BM=DM，
∴四边形BNDM是菱形．
点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形．
26．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区内标上数字（如图所示），指针的位置固定，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数时，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜，如果指针落在分割线上，则需重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．
分析： （1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率；
（2）根据图表（1）得出“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．
解答： 解：（1）如图所示：
，
所有的可能为：4，5，6，5，6，7，6，7，8，7，8，9，
∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，
∴P（甲）==；
（2）∵“和是4的倍数”的结果有3种，
∴P（乙）==；
∵≠，即P（甲）≠P（乙），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
点评： 此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB•AD；∠ADC=90°，E为AB的中点，
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： （1）证明∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90，即可解决问题；
（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠EAC=∠ECA，根据角平分线的定义，可得∠CAD=∠CAB，根据平行线的判定，可得答案．
解答： 证明：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）CE∥AD；
∵E是AB的中点，
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴CAD=∠ECA，
∴CE∥AD．
点评： 该题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．
28．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
考点： 一元二次方程的应用．
分析： 根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（3﹣0.5x）=10求出即可．
解答： 解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）=10．
化简，整理，的x2﹣3x+2=0．
解这个方程，得x1=1，x2=2，
则3+1=4，2+3=5，
答：每盆应植4株或者5株．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．
29．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？为什么？
（3）当OA与BC满足 OA⊥BC 时，四边形DGEF是一个矩形（直接填答案，不需证明．）
考点： 中点四边形．
分析： （1）首先利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE=BC，同理，GF∥BC，GF=BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四边形DGFE是平行四边形；
（2）利用（1）中所求，只要邻边再相等即可得出答案．
（3）利用（1）中所求，只要邻边相互垂直的平行四边形即为矩形．
解答： （1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．
∴DE∥BC，DE=BC．
同理，GF∥BC，GF=BC．
∴DE∥GF，DE=GF．
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）解：解法一：点O的位置满足两个要求：AO=BC，且点O不在射线CD、射线BE上．
∵由（1）得出四边形DEFG是平行四边形，
∴点O的位置满足两个要求：AO=BC，且点O不在射线CD、射线BE上时，
可得GD=AO，GF=BC，
∴DG=GE，
∴平行四边形DEFG是菱形；
解法二：点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点．
解法三：过点A作BC的平行线l，点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括l与⊙A的两个交点．
（3）由（1）知，四边形DEFG是平行四边形．
当OA⊥BC时，DG⊥GF，
故平行四边形DGFE是矩形．
故答案是：OA⊥BC．
点评： 此题主要考查了中点四边形的判定以及三角形的中位线的性质和平行四边形以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．
30．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用．
专题： 几何动点问题．
分析： （1）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解；
（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．
解答： 解：（1）经过t秒后，PC=4﹣2t，CQ=t，
当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，
即（4﹣2t）•t=××3×4，
解得；t=或t=；
∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则=，即=，解之得t=1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则=，=，解之得t=；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒；
（3）∵∠C=90°，
∴（4﹣2t）2+t2=1，
∵此方程无实数解，
∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．
点评： 本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，特别是（2）注意分类讨论．
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